基于前景理論的不確定TOPSIS多屬性決策方法①

梁 薇,王應明

(福州大學 決策科學研究所,福州 350116)

引言

多屬性決策問題作為一個熱門的研究問題,各學者提出了不同的決策方法.1965年,Zadeh[1]首次提出了模糊集理論,但隨著決策情景的復雜化,模糊集理論的局限性越來越明顯.因此,許多國內外的研究學者對模糊理論進行拓展,提出了直覺模糊集[2]、區間模糊集[3]等,并將其廣泛的應用于多屬性決策問題.Torra 等[4]提出了模糊集的另一種拓展形式,即猶豫模糊集,它允許集合中元素的隸屬度由多個值表示,從而能夠有效表達決策者的猶豫以及解決當存在多個決策者時意見不一致的問題,在某種程度上避免了決策信息的流失.猶豫模糊集作為一種新的處理模糊性和不確定性的有效工具,引起了國內外學者的廣泛關注.Xu等[5]提出了猶豫模糊集的相關距離測度,并將其應用于多屬性決策問題中.Chen 等[6]基于優先級別關系,提出了一種 HF-ELECTRE II的多屬性決策方法.Xu 等[7]利用最大偏差法確定屬性權重,提出基于TOPSIS的猶豫模糊多屬性決策方法,解決了屬性權重部分已知的決策問題.劉小弟等[8]在猶豫模糊的環境下,提出基于正負理想點的雙向投影測度的決策方法.Liao等[9]針對猶豫模糊語言項集,提出一種新的根據距離測度和相似測度的決策方法.Farhadinia等[10]對猶豫模糊集進行擴展,得到有序加權模糊集,在此基礎上提出一種新的多屬性決策方法.王新鑫等[11]提出一種基于專家對應準則對猶豫模糊集進行擴展的多屬性決策方法,并根據得分函數進行方案的優劣選擇.林松等[12]基于元素個數和元素間的偏差定義了一種新的猶豫度,并提出新的符號距離測度,提出多屬性決策問題的新方法.Tang等[13]提出了新的猶豫模糊集距離測量公式,基于此提出了新的相似度公式,并應用于能源政策評估的多屬性決策問題中.

在現有文獻分析的基礎上,可以看出以上的猶豫模糊多屬性決策方法大多數沒有考慮到決策者的風險偏好,而是建立在假設決策者是完全理性的基礎上.在現實生活中,由于知識匱乏和時間壓力等因素的影響,決策者是有限理性的.此外,在傳統的決策方法中,用屬性間的距離作為測量尺度會使決策結果不合理,且僅僅只能反映數字曲線間的位置關系.隨著決策行為學的不斷豐富與發展,考慮決策者的不完全理性心理特征的多屬性決策方法已成為現在重要的一個研究方向.為克服此缺陷,王應明等[14]針對屬性權重未知的猶豫模糊多屬性決策問題,提出前景理論和TOPSIS相結合的決策方法.但該方法需要用主觀修正系數對權重進行修正,在一定程度上帶有較大的主觀性,且計算量較大.鑒于此,本文針對屬性值為猶豫模糊集且屬性權重完全未知的多屬性決策問題,引入粗糙集理論確定屬性權重.粗糙集理論[15]作為一種處理不確定性的數學工具,具有不需要任何所處理問題的數據集合之外先驗信息的優勢.因此,本文提出了一種基于前景理論和粗糙集的猶豫模糊多屬性決策方法.首先根據猶豫模糊數的前景函數定義了綜合前景價值,構造判斷矩陣;然后,利用粗糙集理論能夠在原有分類不變的條件下對冗余屬性進行約簡并確定屬性權重;用綜合前景值代替相對貼近度,利用猶豫模糊TOPSIS方法對各個備選方案進行排序,得到最優方案;最后,通過一個算例來驗證本文所提出方法的有效性和合理性,且與前人的決策方法對比分析以凸顯本文所提方法的實用性.

1 基礎理論

1.1 粗糙集的基本知識

定義1[16]. 設(S,C,A,f)為一個信息系統,其中S為非空有限對象集,即;C為非空有限屬性集,即C={c1,c2,···,cm} ;A是屬性值域;f為S和C之間的關系集,f:S×C→A是信息函數.

設R是A上的一個等價關系,即,f(y,b))∈R,?b∈B},令,RB為對象集S中的所有等價類集合.

設B?C,則集合X關于B的下近似集和上近似集為:

由下近似集可以定義X關于B的近似質量為:

表示應用關系R正確分類的對象的比率.

設(S,C,A,f)為一個信息系統,cj∈C,若RC=RC-{cj} ,則稱屬性cj在屬性集C中為冗余屬性,否則屬性cj在屬性集C中即為必要屬性.而將冗余屬性去除的過程,稱為屬性約簡.屬性集C中的冗余屬性可能不止一個,所有必要屬性所構成的集合稱為屬性集C的核,記為core(C).

1.2 猶豫模糊集的基本知識

定義2[17]. 設X是給定的一個論域,則X上的猶豫模糊集為H={〈x,hA(x)〉|x∈X},其中hA(x)?[0,1]表示x屬于集合H的所有可能隸屬度構成;其中一個猶豫模糊數為,;而猶豫模糊數h的補,其中l為猶豫模糊數中的元素個數.

定義3[18]. 設h1,h2∈H,且設,則h1和h2間的距離定義為,其中,l為h1,h2中所含的元素個數,分別表示h1和h2中第i大的元素.

1.3 前景理論的基本知識

定義4. Tversky和Kahneman[19]給出的價值函數為冪函數,即

其中,Δx是方案si相對于某一參考點的差值,當Δx≥0時,表示收益,當 Δx＜0時,表示損失;α和 β分別表示決策者對收益或損失的敏感程度,0＜α＜1,0＜β＜1,且α、β越大,決策者越傾向于冒險;θ是損失規避系數,且 θ ＞1,表示相對于收益而言,決策者對損失更加敏感.

定義5[14]. 設兩個猶豫模糊元中所含的元素個數是相同的,若以h2作為決策參考點,則猶豫模糊元h1的前景價值函數為:

2 前景理論下猶豫模糊TOPSIS決策方法

2.1 問題描述

本文將猶豫模糊多屬性決策問題定義為一個四元組,其中S={s1,s2,…,sn}為方案集,N={1,2,···,n};C={c1,c2,…,cm}為屬性集,M={1,2,···,m};各屬性的權重向量W=[w1,w2,···,wm]T未知,wj∈[0,1],且.決策者對各個方案的屬性進行評估,由于受到時間壓力或對方案的了解程度不同等因素,決策者進行評估時會出現猶豫不決的現象,于是得到猶豫模糊元xij作為屬性cj的屬性值,并構成決策矩陣.設,從而構成信息系統(S,C,A,f).

2.2 決策方法

隨著決策環境的日益復雜和決策專家評價方案屬性值時的猶豫不決的現象,確定屬性權重的難度也逐漸增加.同時在制定決策的實際過程中,決策者常常受到其主觀心理因素的影響.因此,本文在前景理論的基礎上,考慮決策者對損失和收益的不同偏好,提出了一種猶豫模糊環境下的決策方法.該方法根據屬性的重要性程度利用粗糙集理論確定屬性權重,再使用TOPSIS方法對所有備選方案的進行優劣排序.

Step 1.構造樣本數據的猶豫模糊決策矩陣X,首先,對猶豫模糊數內的所有元素以遞增的順序排列,將元素個數相對較少的猶豫模糊數按Xu等[20]提出的拓展規則進行拓展,使所有猶豫模糊集都具有相同的元素個數.然后為了消除不同量綱對決策結果的影響,對成本型屬性按Zhu[21]提出的方法轉化為效益型屬性,即:

Step 2.確定屬性cj的正、負理想點.

Step 3.計算方案si在屬性cj下的屬性值xij分別到的距離,即:

Step 4.計算方案si在各屬性下的前景價值函數.根據前景理論中價值函數的概念可得,當參考點為正理想解時,則所有方案相對于正理想解而言,都是損失的;而當參考點為負理想解時,則所有方案相對于負理想解而言,都是收益的,則:

Step 5.計算方案si在 屬性cj的綜合前景值.

Step 6.利用粗糙集理論進行屬性約簡,同時確定屬性cj的權重wj.

根據統計學方法,將V中的值按大小排序,然后根據實際情況設定閾值 ω ,并構造判斷矩陣,其中,

在信息系統(S,C,A,f)中,建立關于屬性集B?C的等價關系RB,使任意si∈S的關于屬性集B的等價類.所有等價類集合依舊記為.

S關于B的下近似集定義為:

由此可得,近似質量為:

屬性約簡是在保證分類不變的前提下,將冗余屬性去除.因為rC(S)=1,若存在l∈M,使rC-{cl}(S)=1,則表明cl是冗余屬性.屬性的核是由其他所有的非冗余屬性所構成的集合,記作core(C).而對于任意的非冗余屬性cj∈core(C),其權重為:

此外,有:

(1)wl=0,cl∈C-core(C)

(2)wj∈[0,1],且

故可根據上式計算出各屬性的權重wj.

Step 7.由式 (10)所得出的屬性權重,計算各方案的加權綜合前景值:

“這么說，我倒是要定這批玉器了。”胖子一時激動，脫口而出。但轉念一想，說道：“道爺，我對玉石不夠了解，分不出個好壞高低，也不知道爺這些法器是個什么價錢……”

根據Ti的大小對方案si進行排序,Ti越大,方案si越優.

3 算例分析

3.1 問題描述

在現代企業活動中.供應商已成為一種戰略資源,供應商的選擇問題在理論層面和現實層面都具有重大意義.某企業為其核心零件選擇合適的供應商,相關部門經過初步評價,選出8個供應商(方案),分別表示為{s1,s2,···,s8}.為了在這8個供應商中做出最優選擇,分5個評價指標對他們進行評估,這5個指標分別為產品價格、產品質量、交貨周期、準時交貨率和可信度,分別表示為 {c1,c2,···,c5},其中除產品價格為成本型屬性,其余皆為效益型屬性.相應的屬性權重{w1,w2,···,w5}未知,且滿足.決策者對方案si按各屬性cj進行評價,其評價結果以猶豫模糊矩陣的形式如表1所示.

表1 猶豫模糊決策矩陣

3.2 計算過程

首先根據式(1)將成本型屬性轉化為效益型屬性,本文假設決策者的風險偏好是風險規避型,根據拓展規則,猶豫模糊集中元素較少的猶豫模糊數可通過重復增加最小的元素,使得決策矩陣中的猶豫模糊數都具有相同的元素個數.

利用式(2)式(3)確定正、負理想點:

分別用式(4)和式(5)計算方案si在每個屬性下的屬性值到各對應屬性的正、負理想點的猶豫模糊歐幾里得距離分別記為

用式(6)和式(7)計算正、負前景值分別為:

其中,α = β=0.88,θ= 2.25[19].

因此,根據粗糙集可得:

由于rC-{c1}(S)=1,所以c1為冗余屬性,且屬性c1的屬性權重w1=0,屬性的核為core(C)={c2,c3,c4,c5},且:

由式(10)可得,

根據式(11)計算綜合加權前景值

由此可得,方案的優劣排序結果為s6＞s5＞s8＞s1＞s2＞s3＞s7＞s4,因此最佳供應商為s6.

3.3 比較分析

為了驗證本文方法的有效性,將與文獻[14]及文獻[22]所提出的猶豫模糊多屬性決策方法進行對比.文獻[14]在決策過程中考慮決策者的主觀風險偏好,利用猶豫模糊熵確定屬性權重,基于TOPSIS方法對方案進行排序.文獻[22]在不考慮決策者的主觀風險偏好的情況下,利用最大偏差法確定屬性權重,然后通過貼近度對備選方案進行優劣排序.

(1)文獻[14]利用猶豫模糊熵確定屬性權重,計算本文算例,求得屬性權重為W=(0.1970,0.1955,0.1910,0.2095,0.2071).然后通過計算方案的收益損失比值Ci對各備選方案進行排序,結果如下所示:

根據Ci值大小對方案進行排序,可得:s6＞s5＞s2＞s1＞s8＞s3＞s7＞s4.此方法得到的最優結果也是s6,但在具體的排序上略有差別.其原因主要在于文獻[14]所提出的決策方法中要根據決策者對指標集的不同偏好確定主觀的權重修正系數,對熵權進一步的修正,所求權重在一定程度上具有主觀色彩,于是會對決策的排序結果產生影響.而本文基于粗糙集確定屬性權重,根據屬性的重要程度對冗余屬性進行剔除且不改變原有的分類情況,降低決策者對屬性信息的主觀隨意性,其計算過程相對客觀.此外,與文獻[14]所提出的決策方法相比,本文方法計算過程更加簡潔明了,計算量相對小,決策結果更加符合實際情況.

(2)文獻[22]首先利用最大偏差法確定屬性的權重W=(0.1774,0.2038,0.1963,0.2414,0.1469),再分別計算方案si到正、負理想解的距離,同時通過距離可以得到各備選方案的相對貼近度CI(si):

根據相對貼近度的大小對方案進行優劣排序,得到如下結果:s6＞s5＞s1＞s2＞s3＞s8＞s7＞s4.由上可以看出兩種決策方法的排序結果不全一致,原因是文獻[22]是以各屬性值間的偏差程度來確定屬性權重,而本文是根據屬性的重要度來進行分析計算,屬性的重要性越大則該屬性占有的權重越大,利用屬性約簡剔除冗余屬性,使決策過程更加具有說服力.此外,文獻[22]僅僅只基于各個備選方案到正、負理想點的貼近度來對方案進行優劣排序,沒有考慮到決策者對損失、收益偏好的不同.本文在決策過程中對決策者面臨收益和損失時心理特征的不同進行了充分的考慮,更加全面,更加符合實際情況.但兩種方法的最優選擇和最差選擇是一致的,分別為s6和s4,表明本文的方法可以有效解決權重完全未知的猶豫模糊多屬性決策問題.

4 結論

本文針對多屬性決策問題中,屬性權重完全未知的情況,提出一種基于前景理論和粗糙集相結合的決策方法,能夠在原有分類不變的情況下剔除冗余屬性,并確定非冗余屬性的權重.進一步使用TOPSIS方法對備選方案進行優劣排序.該方法既考慮了各方案屬性值到正、負理想解的客觀距離,又考慮了決策者主觀的風險偏好,使決策結果更加符合決策者的心理預期,解決了只用客觀衡量尺度作為比較標準的不合理之處,從而使決策結果更加實際,更加具有參考價值.該方法概念清晰、計算簡便,并可以運用于實際多屬性決策問題中,如供應商、投資對象的選擇等決策問題,具有一定的應用價值.