一道三角恒等式證明的五種方法

孫風儀

三角恒等式的證明是高中數學學習中的一塊重要知識點。由于其分析思路復雜多變，不少同學難以掌握和靈活運用。本文以高中數學中的三角恒等式的證明方法為例，嘗試一題多解，能開拓解題思路，激發解三角恒等式的靈感， 培養數學學習興趣。以期對該類知識點的掌握和靈活運用有所幫助。

該題是：證明： =

證法一：比較法。比較法是證明等式或者不等式常用的方法，也是比較兩個實數大小的一種方法其理論依據是： ； ； .

- =

= = = 0

=

小結：根據要證 ，需證 。

證法二：切割化弦。切割化弦是處理三角題常用方法，尤其是同角三角函數之間的基本關系，一般地，一個式子有正切，余切或者正割，余割時，選擇切割化弦。

左邊 = = = = ①

右邊 = = = = ②

= = = .

左邊=右邊。 =

小結：在證法二中的 ，這個等式： = 類似于人教版必修4第19頁的例7，其證明方法也有很多種，下面給出一個利用正余弦倍角公式的方法，我們姑且稱之為證法三。

證法三：利用倍角公式。由上法二得

= = = = =

= = = = =

=

小結：其中 = = 是正切半角公式的另外兩種形式。

證法四與證法五：左到右或右到左：這也是證明等式的一種常用方法，即從一邊推到另一邊，一般都是從難到簡，因為這道題左右兩邊形式一樣，難易程度相同，故從左到右與右到左

都可。只需看清結論找準方向即可。

證法四：左邊右邊。

左邊 = =

= =

= =

= = 右邊

=

小結：方法四和方法五都是左邊到右邊，但分子分母原來的因子是不一樣的，方法四是看看右邊的分子部分尋求思路的。而方法五是根據右邊的分母部分選擇所配的因式，當然，這個題也可以從右邊往左邊證明，方法同上。

證法五：比例的性質。此種方法運用了初中學過的分比合比的性質.

∵tanx ∴ = --------③

∴ = = =

∴ =

再由③得 ： = 得：

= = =

∴ =

由于： = 前面在證法二中已證.

故： =

小結：在學習的過程中，進行解題訓練時，可以偏重于某一個或某幾個思路進行，待熟練掌握后，可以嘗試著尋求另外的一些分析方法，拓展自己的思維空間，改善自己的思維方式，同時也有助于更好的掌握這方面的知識點，增強自己的解題能力。