P-SV波入射時海水一層狀海床體系的自由場分析

柯小飛 陳少林 張洪翔

摘要：基于勢流理論及Biot多孔介質模型，分析了海水一飽和海床一彈性基巖體系在平面P-SV波入射情形下的動態響應。根據理想流體、飽和海床及彈性基巖之間的界面連續條件，運用Thomson-Haskell傳遞矩陣方法可得出飽和海床及其上覆海水層的穩態響應，并得到瞬態響應。通過算例驗證了該方法的可行性以及所編程序的正確性。進一步分析了入射角度、海水層厚度對自由場響應的影響。結果表明，P-SV波入射時，入射角度和海水層對飽和土表面的響應具有較大影響，在確定海底地震動設計中不可忽視。對于地震波入射時，復雜海底地形的地震反應，以及海水一海床一結構相互作用分析，該方法可為其提供自由場輸入。

關鍵詞：飽和海床;傳遞矩陣方法;自由場分析;P-SV波;海底地震動

中圖分類號：TU435

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-0966-11

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 005

引言

隨著中國海洋工程的發展，海洋平臺、海上風力機、跨海大橋以及海底隧道的抗震設計問題備受關注，需要提供海底地震動設計參數，如峰值加速度、反應譜、地面運動時程曲線等。相對陸地記錄而言，海底強震記錄較缺乏，使得海底地震動特性研究進展緩慢。一些研究者對世界范圍內有限的海底強震記錄進行了相關分析。Atakan等[1]統計分析了挪威北海（North Sea）北部的一些臨時海底強震儀和Oseberg海洋平臺附近的永久性海底強震儀采集到的海底強震記錄。Boore和Srriit[2]，Diao等[3]對美國南加利福尼亞海底地震觀察系統（ SEMS）強震記錄進行了分析，發現海底與陸地地震動存在較大差異。Chen等[4]應用日本K-net（Kyoshin net-work）臺網中海底與相鄰陸地臺站采集到的強震記錄，通過對比反應譜，發現海底與陸地地震動特性存在差異，特別是在短周期范圍內海底豎向地震動明顯低于陸地，并且震中距和海底場地條件對海底地震動有影響。由于觀測條件的限制，目前還沒有積累足夠的海底地震動資料。因此，經驗預報方法或者經驗模擬方法還不適合于預測海底地面運動。

一些學者嘗試利用解析方法分析海底地震動特性。以海洋領域的地震勘探為目的，早期的研究主要集中在海底地震波傳播特性及相關影響因素。Deresiewlcz等[5-8]分析了上覆海水層的飽和半空間面波頻散關系。Stoll和Kan[9]分析了地震波在海洋沉積土交界面處的折射和反射問題，豐富了海洋領域的地震勘探資料。Brekhovskikh和Godin[10]介紹了彈性波在理想流體一固體交界面上透射與反射現象。Santos等[11]分析了黏滯系數對平面波在流體與孔隙介質交界面處位移和能量透反射系數的影響。Feng等[12]采用改進的傳遞矩陣方法對平面波在水一飽和土一基巖體系中的透射與反射系數進行了分析。Chen等[13]考慮海床為氣液固三相的多孔介質，討論了P波入射時入射角度、含氣量及海床厚度對位移放大系數等的影響。

在地震工程領域主要考慮海水對設計地震動的影響以及地震引起的動水壓力。鄭天愉等[14]考慮基巖上覆海水層模型，采用廣義反射、透射系數矩陣和離散波數法計算海底的格林函數。文獻[15 -16]對海底地震動進行了初步探討，討論了海水、地形等對海底地震動特性的影響。W ang等[17-18]通過將海水視為理想流體，海床沉積土及其下臥基巖看成是飽和多孔介質與單相土的組合，分析了P-SV波入射時海水中的動壓變化特性。Li等[19]基于流體動力學方程和一維波動理論，以解析的方法建立包括基巖、含孔隙土層和海水層的海底場地，模擬海底地震動的傳播過程。Iida等[20]以水深較淺的東京灣海域為研究對象，建立2D模型，分析了強地震作用下海水層對地震動的影響。Nakamura等[21-22]通過有限差分法，建立考慮真實海底覆蓋層（地形與地質條件）的大尺寸海底場地模型，模擬地震波的傳播。Petukhin等[23]同樣利用有限差分法建立海底構造的三維模型，分析海水層、海底沉積層等對強震動的影響。

對于平面地震波入射時海底復雜地形的地震反應分析，以及海水一海床一結構體系的地震反應分析問題，需要先求解海水一水平成層海床在地震波入射時的響應，即自由場響應，以作為上述兩種問題的輸入。在文獻[24]的基礎上，考慮海水為無黏、無旋、可壓縮的理想流體，海床沉積土為水平成層的飽和多孔介質，基巖層為單相彈性土或飽和多孔介質兩種情況，采用傳遞矩陣方法[25-27]對海水一海床一基巖體系在P-SV波入射時的動力響應進行分析，并探討入射角度、海水厚度等因素對流體中動水壓力及飽和土層響應的影響。

1 基本方程

考慮成層飽和土，上覆深度為h的海水，下臥基巖半空間，如圖1所示。平面P波或SV波從基巖層入射，入射角為θ。

1.1 海水層

將海水視為無黏、無旋的理想流體，其聲波方程可由速度勢表示如下

式中 CO為海水中的壓縮波速，▽2為拉普拉斯算子。

速度V與動壓P可由速度勢ψ=（x，y，z，t）表示

式中 pm為海水密度。

方程（1）的解可以寫成如下形式

式中 Epl，Fpl分別表示入射波幅系數與反射波幅系數，w11，w13表示單位方向向量在xl，x3方向的分量，w為頻率，δ1為波數。

將式（3）代入式（2），可得到以波幅矢（Ep1，Fp1）表示的速度和壓力

式中 Vl，V3為海水水平方向與豎直方向的流速。

1.2 飽和多孔介質

根據Biotc28-30]多孔介質理論，用u表示固相位移，用U表示液相位移，飽和多孔介質運動方程可以表示如下

式中 D，N，Q，R為非負彈性常數;P11，P12，P22介質密度;n為衰減函數。考慮到實際工程應用中多處于低頻段，衰減函數可以簡化為：

，其中u為流體動力黏度，ψ為孔隙率，ko。為滲透率。

根據Helmholtz分解，方程（5）的勢函數可寫成

式中 ψ1為SV波的位勢;ψ1，ψ2分別表示為Pl波、P2波的位勢。Eplj，Ep2j，Esj分別為上行波位勢幅值;F plj，Fp2j，Fsj分別為下行波位勢幅值;wk1，wk3表示單位方向向量在xl，x3。兩方向的分量。假設入射波從基巖以θ角入射，根據斯奈爾定理，各平面諧波沿x1軸的水平波數相同，

所以

可以表示如下

固、液相位移可以由位勢表示為

式中 βl，β2，ao分別為P1，P2或S波中液相位移和固相位移之間的比例系數。

固、液相應力可以表示為

式中 δij巧表示克羅內克系數，ekk =▽·u，εkk =▽·U，p為孔壓。

1.3 基巖半空間

彈性介質的波動方程為

式中 un為位移，λn，un為拉梅常數，Pn為基巖密度。

根據Helmhoz分解，方程（10）的位勢ψn，ψn可以表示為

式中 ψn，ψn可以分別表示基巖中P波、SV波的位勢;Epn，Esn為上行波位勢幅值;Fpn，Fsn為下行波位勢幅值。

當P波入射時，

當SV波入射時，

其中，Cpn為P波波速，cm為SV波波速。

位移、應力用位勢可表達為

2 邊界條件

考慮由海水、水平成層飽和土、基巖半空間組成的成層介質體系，如圖1所示，其界面連續條件如下。

2.1 海水自由表面處

壓力為零：P=O

2.2 海水與飽和土分界面處

（1）固、液相相對平均速度與海水法向流速連續：（1-φ）u3+φU3=V3

。

（2）法向正應力與海水壓力連續：σ33+r=-P

（3）孑L壓與海水壓力連續：p=P

（4）飽和土體切應力為零：σ13 =0

2.3 成層飽和土分界面處

飽和土層分界面上，以下6個物理量保持連續：固相法向位移u3、固相切向位移u1、正應力σ33+r、剪應力σ13、孔壓p、固液相平均法向相對位移φ（U3 -u3）。

2.4 飽和土與基巖分界面處

（1）法向固相位移連續：un3=u3。

（2）切向固相位移連續：un1=ul

（3）法向正應力保持連續：σ33 =σ33+r

（4）切應力保持連續：σn13 =σ13

（5）基巖不透水條件：φ（U3 -u3）=O

3 傳遞矩陣

3.1 海水層

海水層速度勢波幅矢H1和壓力一速度矢S1如下所示：

Hi=（Epl，Fpl）T

（13）

Sl =（P，V）T（14）

由（4）可得

Sl一Ts1 H1

（15）

其中，Ts1見附錄

3.2 飽和土體

假設飽和土體中第j層波幅矢Hj和應力一位移矢Sj如下

Hj=（Eplj，Fplj，Ep2j，Fp2j，E，j，Fsj）T

（16）

Sj=（u3j，Ulj，σ33j+ιj，σ13j，Pi，φj（U3j -u3j））T，

j=2，…，n-1

（17）則，應力一位移矢與波幅矢存在如下關系

Sj=Tsj Hj

（18）式中轉換矩陣Tsj見附錄。

對于相鄰的（歹+1）層，有

Sj+l=Tj+lHj+l

（19）

按照圖1所示的局部坐標系，飽和土體中相鄰層間必須滿足如下的位移和應力的連續條件

Sj |x3=hj=sj+l|x3=0

（20）將式（18）、（19）代人（20）得到

Tsj|x3=hj Hj=ts（j+1）|x3=0Hj+l

（21）

經整理，相鄰層波幅矢Hj+l和Hj之間的轉換關系可用傳遞矩陣Tj表示

所以根據遞推公式（22）可以將飽和士中任意層的波幅矢和首層飽和土的波幅矢聯系起來

Hj=Tj2 H2

（23）其中

Tj2=Tj-l Tj-2…T2

（24）

Tj2為6×6方陣，其中，元素tjk與飽和土第二到第j層介質的力學性質、層厚、頻率等有關。所以若已知飽和土首層波幅矢H2，即可通過傳遞矩陣得到飽和土體中任意層波幅矢Hj。

3.3 彈性基巖

令基巖中波幅矢Hn和應力一位移矢Sn如下：

Hn=（Epn，Fpn，Esn，Fsn）T

（25）

Sn=（uex3，uex1，σ33，σe13）T

（26）

由式（11）和（12）可得

S=TsnHn

（27）其中Tsn見附錄。

根據海水自由表面壓力為零的條件（1個）、海水與飽和土界面連續條件（4個）及飽和土與基巖界面處的連續條件（5個），可以形成1 0個方程，而方程組中涉及海水層上行波波幅系數Hi中兩個波幅系數，首層飽和土H2中6個波幅系數，以及基巖層中的反射波幅系數Fpn，Fsn（當P波入射時Epn已知，Esn=O; SV波入射時Epn=O，Esn已知）共1 0個未知量。因此，可以聯立方程組進行求解，從而得到海水層的波幅系數Epl，Fpl，首層飽和土的波幅系數Ep12，Fp12，Ep22，Fp22，Es2，Fs2，以及基巖層的下行波波幅系數Fpn，Fsn。再由首層飽和土波幅系數H2與成層飽和土間的傳遞矩陣Tj2，可以求得任意層飽和土的波幅系數，從而可求得飽和土層的穩態響應。根據海水層波幅系數Epl，Fpl，可得到海水層的穩態響應，再經過FFT逆變換，可得到海水一飽和土一基巖體系的瞬態響應。

4 算例驗證

4.1 海水一彈性土體

若基巖半空間（密度為pz，壓縮波速為C2）上覆深度為h1，密度為Pl，壓縮波速為c1的海水層時，P波垂直入射情形下海水與基巖分界面處的豎向位移記為Ub;而不考慮海水層時，基巖表面處的豎向位移記為ua。Ua和Ub分別為ua和Ub的傅里葉譜。則Ua和Ub之間存在如下關系[31-32]

式中 廠為頻率（Hz），

，相位ξ可以由下

P2C2式求得

為了驗證本文方法的有效性，這里取海水深度為20 m，密度1000 kg/m3，壓縮波速1500 m/s，基巖半空間密度為2500 kg/m3，壓縮波速458 m/s。考慮圖2所示的單位脈沖P波垂直入射，時間步距dt=0. 015 s，脈沖寬度t0 =0.2 s，步數n=213（本文所有模型輸入均采用此脈沖）。其時間步距dt滿足

奈奎斯特定理

為信號中最高頻率，從圖2（b）中可知約為18 Hz。得到海水與基巖界面處的豎向位移時程Ub與基巖半空間自由面處的豎向位移時程ua，經傅里葉變換后二者的比值與公式（28）計算所得的解析解對比如圖3所示，兩者完全重合，本算例驗證了本文方法在分析平面波入射海水一彈性土體系動力響應時的有效性。

4.2 海水一飽和土一基巖

為了進一步驗證該方法在分析海水一飽和土層一彈性基巖體系時的有效性，設計如下對比模型。模型1：由上覆海水層（如表1所示），飽和土層（表2所示），下臥基巖半空間（表3所示）所組成。模型2：由上覆飽和土（如表2所示）和基巖半空間（如表3所示）組成。

SV波從彈性基巖垂直入射時，由于海水不能承受切應力，理論上兩種模型的響應相同。輸入荷載采用圖2所示的脈沖。圖4為兩模型中飽和土表面處的水平位移。圖5為兩模型中基巖表面處的水平位移，從圖4和5中可以看出，相應位置處的響應完全重合，與理論相符。

現考慮P波垂直入射時模型1的響應，圖6為海水與飽和土界面處的動水壓力與孔隙水壓力，兩者完全相等，滿足界面處水壓力連續條件。圖7分別為海水與飽和土界面處的海水動壓力與土體法向總應力，兩者數值相等（符號相反是因為海水中壓力以壓為正，飽和土中應力以拉為正），滿足界面應力連續條件。圖8分別為海水與飽和土界面處的海水豎向速度與飽和土固液相相對平均流速，兩者完全相等，滿足界面處的速度連續條件。因此海水與飽和土界面處的連續條件完全滿足。圖9為海水壓力隨深度的變化，在自由面處（x3 =0）壓力為零，滿足自由表面邊界條件。綜合上述SV波和P波入射的結果，可證明本文方法和程序的正確性。射角度的影響時，取海水層厚度為10 m。

5.1 入射角度的影響

根據基巖參數，可計算得到基巖中剪切波速。當時，基巖層的反射P波轉化為沿著分界面傳播的面波。圖10給出了不同角度的SV波入射時，

5 參數分析

為了探討平面波入射角度及海水層厚度對海水一飽和土一基巖體系響應的影響，考慮總層厚為1 0m的成層飽和土層上覆海水層，下臥彈性基巖。成層飽和土參數見表4，孔隙水密度Pf =1000 kg/m3，動力黏度u=O.O01 Pa·s，體積模量Kt =1. 38X109 Pa;下臥彈性基巖密度p=3000 kg/m3，u=3.O×l09 Pa，λn=2.20×l09 Pa;上覆海水密度pw=1000 kg/m3，壓縮波速Cp =1500 m/s。當考慮入飽和土層表面及基巖表面的位移，從圖中可以看出，入射角度對位移響應的影響較大，當入射角超過37°時，所得結果有違背因果律的情況，即零時刻便出現位移值，且時程尾部單調漸進趨向于零。

圖11為海水與飽和土界面處的海水壓力與速度。從圖中可以看出，θ=0時（SV波垂直入射），海水層無響應，壓力與各方向速度均為O。SV波斜入射時，當入射角度小于臨界角度，隨著入射角度的增大海水壓力和速度也隨之增大。

圖1 2為不同角度的P波入射時，飽和土層表面及基巖表面的位移。從圖中可以看出，隨著入射角度增大，水平位移將逐漸增大;豎向位移則逐漸減小。

從圖1 3中可以看出，P波斜入射情況下，入射角度的改變對海水壓力及其豎向流速影響較小，而水平方向速度卻變化比較明顯。由式（4）知，海水各方向流速與該方向的波數幾乎成正比，而水平方向k1與豎向波數k3為：

。當入射角從20°增大至38°時，k1增大為20°時的1.8倍，k3降為20°時的0.84，即水平速度增大1.8倍，而豎向速度降為20 °時的0. 84。圖13 （c）中顯示入射角從20°增大為3 80過程中，水平速度峰值由0. 01166m/s增大為0.01958 m/s，約增大1.7倍;豎向速度峰值由0. 0357 m/s降為0.029 m/s，約為0.8倍，與理論值相符。

5.2 流體層厚度

為了考察上覆海水深度對飽和多孔介質與海水層自由場響應的影響，考慮4種不同的深度：h=0，8，16，20 m，當h=O時，表示海水一飽和土一基巖模型退化為飽和土一基巖模型。海水、飽和土層及基巖參數同5.1，考慮P/SV波以2 0 0從基巖層斜入射。

如圖1 4所示，SV波斜入射時，海水層的存在會對飽和土表面處的位移有放大作用。海水層厚度為O時，其水平位移峰值約為6. 605×10-4 m，而海水層具有一定深度后，水平位移峰值最大能達到1.8×10-3 m，幅值放大2.7倍，而豎向位移放大約2倍且土體運動方向相反。由此可見，平面波入射時，海域場地與陸地場地動力響應差異較大，故在海洋地震災害分析時，不能完全以陸地地震記錄作為參考。同時從圖14 （c）中可以得知，上覆海水層的厚度對飽和土表面處的壓力影響較為顯著。

如圖15所示，P波斜入射情況下，考慮上覆海水時，飽和土表面的水平位移與無海水時的水平位移相位相反，豎向位移響應比無海水情形稍微偏大，海水壓力隨入射角度增大而逐漸增大。

6 結 論

基于勢流理論與Biot多孔介質模型，利用傳遞矩陣方法分析了平面波入射時海水一飽和海床一彈性基巖體系的動力響應。通過相關算例驗證了本文方法的有效性，同時討論了入射角度、海水深度等因素對體系響應的影響。數值結果表明，平面波入射角度對海床表面地震動有較大影響，海水層的存在對土層表面地震動的影響較大，即海底地震動與陸地地震動有較大差別。對于復雜海底地形以及海水一海床一結構的地震反應分析，需要通過有限元等數值方法進行分析，本文方法可為其提供自由場輸入。

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