連接界面遲滯非線性特征的動(dòng)力學(xué)分析

王東 范宣華

摘要：連接界面上多物理場(chǎng)、非線性等力學(xué)行為是引起復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的主要原因，會(huì)引起結(jié)構(gòu)的剛度軟化和幅變阻尼。利用Iwan模型描述連接界面黏滑摩擦行為引起的遲滯非線性特征，采用數(shù)值積分獲得連接結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)行為影響的傳遞特征，將絕對(duì)加速度的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對(duì)加速度的幅頻和相頻特征，進(jìn)而辨識(shí)出連接結(jié)構(gòu)隨頻率變化的等效剛度和阻尼特征，并且研究了不同激勵(lì)幅值對(duì)連接界面非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。結(jié)果表明：Iwan模型能夠較好地描述連接面的剛度軟化和幅變阻尼特征，隨著激勵(lì)幅值的增加，連接界面的動(dòng)力學(xué)行為由微觀黏著控制逐漸轉(zhuǎn)化為宏觀滑移控制，等效剛度逐漸下降，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的非線性軟化特征;等效阻尼在微觀滑移階段逐漸增加，但在宏觀滑移階段卻有所下降，表現(xiàn)為幅變阻尼的特征。

關(guān)鍵詞：連接界面;遲滯非線性特征;黏滑摩擦;Iwan模型;軟化剛度

中圖分類號(hào)：T H113.1;0322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523 （2019） 06-1060-07

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 015

引言

連接廣泛地應(yīng)用于各類復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)中，界面上復(fù)雜的接觸機(jī)理是造成結(jié)構(gòu)復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為的主要原因[12]。由于整體裝配結(jié)構(gòu)中連接界面局部非線性環(huán)節(jié)的存在，直接進(jìn)行復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)分析還存在很大困難。振動(dòng)環(huán)境下，連接界面在法向可能出現(xiàn)接觸、分離和碰撞等行為;在切向可能存在摩擦、黏著和滑動(dòng)等行為[3]。

研究者們通過(guò)試驗(yàn)和理論研究發(fā)現(xiàn)接觸面存在單位周期能量耗散一激勵(lì)力幅值的冪級(jí)數(shù)關(guān)系以及激勵(lì)力一位移非線性軟化剛度特性等典型的非線性行為[1，4-5]。Chen等通過(guò)二維直板模型的精細(xì)有限元仿真，得出了位移和激勵(lì)力的非線性軟化剛度特性，并且得出整個(gè)接觸面上相對(duì)位移隨著切向激勵(lì)幅值變化的規(guī)律，說(shuō)明了接觸面上微觀滑移發(fā)生的過(guò)程[6]。Gaul等通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了激勵(lì)力一位移的非線性軟化剛度特征，發(fā)現(xiàn)隨著切向載荷增大，界面逐步從微觀滑移進(jìn)入部分滑移狀態(tài)，當(dāng)切向載荷達(dá)到臨界滑動(dòng)載荷時(shí)，界面整體發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)[7]。Mindlin最早理論分析了彈性體接觸時(shí)在切向存在的微觀滑移行為，推導(dǎo)了切向力和單位周期能量耗散的表達(dá)式，并設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，得出切向力幅值和單位周期能量耗散的立方關(guān)系[8]。Hartwigsen等發(fā)現(xiàn)單位周期能量耗散和切向激勵(lì)力幅值不是立方關(guān)系，而是介于2-3之間的冪級(jí)數(shù)[9]。Sandia實(shí)驗(yàn)室通過(guò)螺栓試驗(yàn)最后確定冪級(jí)數(shù)的范圍為2.5—2.9[1，10—11]。

基于唯象模型的建模方法是從宏觀力學(xué)現(xiàn)象出發(fā)，采用系統(tǒng)辨識(shí)理論和方法推導(dǎo)出的力學(xué)模型[12-13]。其著重在利用確定的數(shù)學(xué)模型復(fù)現(xiàn)連接界面的典型非線性特征，如Iwan彈簧滑塊、Lugre毛刷模型、Valanis模型等[11，14-15]。其中，Iwan模型能夠較好地描述連接界面的黏滑過(guò)程，且模型參數(shù)具有一定的物理意義，因而被廣泛的應(yīng)用[16-18。Iwan模型是采用若干個(gè)由彈簧和滑塊組成的Jenkins單元串聯(lián)或并聯(lián)組成彈簧滑塊系統(tǒng)，然后引入概率密度函數(shù)描述單元臨界滑移力的分布特性，進(jìn)而根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)受力平衡關(guān)系導(dǎo)出降階的描述界面載荷和相對(duì)位移的本構(gòu)關(guān)系[19-20]。Segalman采用冪函數(shù)描述Iwan模型滑塊臨界滑移力分布，提出了一種描述連接界面黏滑行為的4參數(shù)模型[21]。Song等對(duì)Iwan模型并聯(lián)一彈簧，用來(lái)描述連接界面發(fā)生宏觀滑移之后的剩余剛度，提出一種修正的Iwan模型，進(jìn)而建立一種可以直接應(yīng)用到連接梁結(jié)構(gòu)的有限元仿真程序中的連接梁?jiǎn)卧猍22-23]。李一堃等提出一種6參數(shù)Iwan模型描述連接界面剩余剛度和能量耗散的非線性特征[24-25]。王東等提出了一種改進(jìn)的Iwan 4參數(shù)模型，能夠統(tǒng)一Segalman和Song模型描述連接界面典型非線性特征[26-27]。

本文針對(duì)連接界面的黏滑摩擦行為，采用Iwan模型描述其典型的遲滯非線性特征，建立含有局部非線性連接的動(dòng)力學(xué)方程。利用數(shù)值積分獲得非線性動(dòng)力學(xué)行為影響的基礎(chǔ)激勵(lì)載荷作用的傳遞特征，將絕對(duì)加速度響應(yīng)的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對(duì)加速度的幅頻和相頻特征，進(jìn)而辨識(shí)出連接結(jié)構(gòu)頻率相關(guān)的等效剛度和阻尼特征，并且研究了不同激勵(lì)幅值對(duì)連接界面非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。

1 等效動(dòng)力學(xué)特征辨識(shí)

利用諧波激勵(lì)掃頻實(shí)驗(yàn)獲得在給定激勵(lì)載荷下結(jié)構(gòu)的傳遞特性，基礎(chǔ)激勵(lì)載荷控制的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

My+Cy+Ky=-Mx6

（1）式中 M，C，K分別質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。y為相對(duì)于基礎(chǔ)激勵(lì)的位移響應(yīng)，y=x -xb0Xb為基礎(chǔ)激勵(lì)位移，x為絕對(duì)位移響應(yīng)。

采用模態(tài)疊加法將物理坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換，利用模態(tài)振型對(duì)式（1）進(jìn)行解耦，其中系統(tǒng)的阻尼為比例阻尼，轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)系下一系列單自由度運(yùn)動(dòng)方程[28]

式中 η為模態(tài)坐標(biāo)下相對(duì)位移響應(yīng)。ξ為模態(tài)阻尼，ω為模態(tài)頻率。γ為模態(tài)參與因子，γ=-φTM。φ為矩陣（K/M）的特征向量。

考慮結(jié)構(gòu)中非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響，式（2）中模態(tài)阻尼、頻率往往是隨著激勵(lì)頻率、幅值變化的。可以采用擬線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析方法在各頻率點(diǎn)進(jìn)行等效。按照線性系統(tǒng)的處理方法，在給定基礎(chǔ)諧波激勵(lì)xb的作用下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)η可以表示為

ηj=γ jHj（ω）xb

（3）式中 Hj（ω）為j階傳遞函數(shù)，定義為

利用模態(tài)疊加法，可以得到原物理坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

y=φ η （5）

原物理坐標(biāo)下自由度k的絕對(duì)加速度可表示為

xk=yk+xb

（6）

基礎(chǔ)輸入激勵(lì)載荷自由度j與輸出響應(yīng)自由度k之間的傳遞特性函數(shù)Gk-j（ω）可表示為

Gk-j（ω）=φkφTjHj+1

（7）

將式（4）帶入式（7），傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特征可以表示為

對(duì)于式（8）和（9），在每個(gè)頻率狀態(tài)需要求解一含有（ωjξj）的2階方程組，包括4組解，直接求解頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征比較困難。本文采用與基礎(chǔ)激勵(lì)載荷和相對(duì)加速度之間的傳遞特征辨識(shí)頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征，定義為

將式（11）帶入式（10），頻率相關(guān)的剛度特征ωj可表示為

由式（12）可知，對(duì)于給定的幅頻和相頻特征，其剛度解存在兩種情況。根據(jù)式（11）的正負(fù)值判別ωi與所求ω的關(guān)系，所獲得的頻率相關(guān)的剛度特征可以表示為

將式（13）帶入到式（11），頻率相關(guān)的阻尼特征ξi可表示為

對(duì)于式（14），當(dāng)ωi=ω時(shí)，t anβ將趨近于無(wú)窮大，造成（O×∞）的結(jié)果，無(wú)法求解出確定的阻尼特征。因此，利用式（10）進(jìn)行直接求解，阻尼特征可以表示為

在實(shí)驗(yàn)掃頻獲得傳遞特性時(shí)，無(wú)法直接獲得相對(duì)加速度與基礎(chǔ)激勵(lì)之間的傳遞特征，但可以通過(guò)絕對(duì)加速度的傳遞特性進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在頻域分析中，絕對(duì)加速度的傳遞特征可以表示為

相對(duì)加速度和基礎(chǔ)激勵(lì)之間的幅頻和相頻特征可以表示為：

將式（17），（18）帶入式（13），（14），（15）可以獲得激勵(lì)相關(guān)的剛度和阻尼特征{ωj，ξj}。式中 g表示基礎(chǔ)激勵(lì)載荷輸入的幅值。夕表示其他邊界和幾何非線性的貢獻(xiàn)。

如圖1所示，二自由度彈簧振子模型用來(lái)描述頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征的辨識(shí)過(guò)程，其動(dòng)力學(xué)方程為式中 m為運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量，c joint為頻率相關(guān)的阻尼系數(shù)，kjoint為頻率相關(guān)的剛度系數(shù)，xa為運(yùn)動(dòng)部分的位移響應(yīng)，Xb為基礎(chǔ)激勵(lì)載荷控制的位移。對(duì)以上動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行正則化處理式中

隨機(jī)分布函數(shù)用來(lái)表示與激勵(lì)相關(guān)的剛度和阻尼特征，頻率和阻尼的上下限分別為0. 75-1. 25和0. 15-0. 25。

由式（22）中剛度和阻尼計(jì)算傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特征，如圖2所示，均值（（t）joint=1，ξjoint=0.2）的結(jié)果作為比較也繪在其中。利用式（17），（18）將絕對(duì)加速度的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為相對(duì)加速度的傳遞函數(shù)，并利用式（13），（14），（15）辨識(shí)頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征，流程如圖3所示，辨識(shí)結(jié)果如圖4所示。結(jié)果表明，辨識(shí)的結(jié)果與給定的剛度和阻尼參數(shù)完全吻合，從而驗(yàn)證了辨識(shí)過(guò)程的正確性。

2 連接界面非線性模型

連接界面在法向和切向載荷聯(lián)合作用下，由于接觸壓力沿接觸表面分布的不均勻性，在接觸區(qū)域形成滑移和黏著區(qū)域兩部分，如圖5（a）所示。由于這些黏滑摩擦行為，連接界面上將出現(xiàn)力一位移的遲滯非線性，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的非線性軟化剛度和幅變阻尼。

王東等[26-27]利用Iwan模型描述連接界面典型非線性特征，如圖5（b）所示。x，q分別為界面的相對(duì)位移和臨界滑移力，7為Jenkins單元的數(shù)目。連接界面的柔性采用Iwan模型進(jìn)行描述。

在單向加載時(shí)，連接界面恢復(fù)力的表達(dá)式為式中 fq為系統(tǒng)發(fā)生宏觀滑移時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界宏觀滑移力，x為臨界滑移力分布的冪指數(shù)，a為界面宏觀滑移后的剩余剛度，k為微觀黏著的剛度貢獻(xiàn)。

在周期性載荷作用下，由黏著和滑移行為引起的非線性恢復(fù)力可分為加載和卸載過(guò)程，如圖6所示。式中 x0為加載激勵(lì)幅值F0對(duì)應(yīng)的相對(duì)位移，定義為

3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

典型搭接結(jié)構(gòu)在法向預(yù)緊和切向周期性載荷聯(lián)合作用下，采用Iwan模型描述連接界面黏滑摩擦行為引起的遲滯非線性，其動(dòng)力學(xué)方程表示為式中 fIwan表示Iwan模型循環(huán)加載過(guò)程中的非線性恢復(fù)力，a為激勵(lì)力幅值，w為激勵(lì)角頻率。

將式（23）-（25）帶人式（27），抽離非線性恢復(fù)力中的線性項(xiàng)（akx），式（27）可表示為式中 ε為線性恢復(fù)力和非線性恢復(fù)力權(quán)系數(shù)，介于O至1之間，當(dāng)e取1時(shí)，系統(tǒng)將退化為線性系統(tǒng)。

對(duì)式（28）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行正則化處理，兩邊同時(shí)乘以（k/mfq），可得式中

令x=kx/fq，式（23）正則化的非線性恢復(fù)力為 將式（30）代入到式（29），可得式中正則化的遲滯恢復(fù)力為式中 fo為周期激勵(lì)作用過(guò)程中正則化的最大恢復(fù)力，x0為正則化的最大位移響應(yīng)。

對(duì)于式（ 32），f0的最大值為1，當(dāng)

時(shí)，fu/l≤1，滿足宏觀滑移前的條件。但是如果激勵(lì)幅值較大，結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)將大于1，導(dǎo)致

，那么式（32）將不再適

用，此時(shí)的遲滯恢復(fù)力為

4 結(jié)果與討論

根據(jù)以上的推導(dǎo)過(guò)程，采用數(shù)值積分方法（RK四階）獲得非線性系統(tǒng)的絕對(duì)加速度響應(yīng)的傳遞特征，再轉(zhuǎn)化為相對(duì)加速度的相頻和幅頻特征，辨識(shí)出頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征。仿真參數(shù)取作：ω0=1，ξ=0.0 1，ε=0.2，γ=O，f0=1，x0=1。激勵(lì)角頻率范圍為0. 8-1.2;正則化的激勵(lì)幅值為0.Ol/0. 02/0. 04/0. 08/0. 2/0. 5/1.O。獲得的相對(duì)加速度響應(yīng)的幅頻和相頻特征如圖7所示。

由圖7可知，隨著激勵(lì)載荷幅值的增加，幅頻特征函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)的“共振頻率”逐漸減小，從而表現(xiàn)出剛度的軟化特征，但其峰值卻先減小再增加。計(jì)算相對(duì)位移響應(yīng)的頻響曲線，結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，隨著激勵(lì)幅值的增加，相對(duì)位移響應(yīng)的最大值逐漸增加。由式（30）和（32）可知，當(dāng)相對(duì)位移小于1時(shí)，搭接界面只發(fā)生黏著行為;當(dāng)相對(duì)位移大于1時(shí)，界面將發(fā)生宏觀滑移。因此，當(dāng)激勵(lì)載荷幅值不大于0. 08時(shí)，連接結(jié)構(gòu)的傳遞特性主要受黏著行為的影響;當(dāng)激勵(lì)幅值大于0.5時(shí)，傳遞特征主要受宏觀滑移行為的影響;介于0. 08與0.5之間的傳遞特性由黏著和滑移行為共同影響，同時(shí)受到激勵(lì)頻率的影響。根據(jù)仿真獲得的幅頻和相頻特征辨識(shí)出與頻率相關(guān)的等效剛度和阻尼特征，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，在整個(gè)激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，隨著激勵(lì)幅值的增加，所辨識(shí)出的與頻率相關(guān)的剛度逐漸下降（1. 05降至0.9），與黏著和滑移行為的影響無(wú)關(guān)。對(duì)于所辨識(shí)出的與頻率相關(guān)的阻尼，在黏著行為影響下（a<0. 08）隨著激勵(lì)幅值的增加逐漸增加，但是在宏觀滑移階段（a> 0.5）卻有所降低，從而表現(xiàn)為幅變的阻尼特征。

由圖9所辨識(shí)出的與激勵(lì)幅值、激勵(lì)頻率相關(guān)的等效剛度、阻尼特征可知，Iwan模型能夠較好地描述連接界面黏著和滑移行為引起的剛度軟化和幅變阻尼特征，并且體現(xiàn)黏著和滑移行為的影響。

5 結(jié) 論

本文利用Iwan模型描述連接界面的典型遲滯非線性特征，將基礎(chǔ)激勵(lì)的絕對(duì)加速度響應(yīng)的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對(duì)加速度的幅頻和相頻特征，從而辨識(shí)出非線性行為影響的剛度和阻尼特征。結(jié)果表明：

（1） Iwan模型能夠較好地描述連接界面黏著和滑移行為引起的剛度軟化和幅變阻尼特征，所辨識(shí)出的與激勵(lì)頻率、幅值相關(guān)的剛度、阻尼特征能夠揭示非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。

（2）隨著激勵(lì)幅值的增加，剛度逐漸減小，與黏著和滑移行為無(wú)關(guān)，表現(xiàn)為非線性軟化剛度特征;而阻尼在黏著階段逐漸增加，在滑移階段卻有所減少，同時(shí)受到激勵(lì)頻率的影響，表現(xiàn)為幅變阻尼的特征。

參考文獻(xiàn)：

[1] Segalman D J，Gregory D L，Starr M J，et al. Hand-book on dynamlcs of jointed structures （Tech. Rep.SAND2009-4164）[R]. Sandia National Laboratories，Albuquerque， 2009.

[2] 李 玲，蔡安江，阮曉光，栓接結(jié)合部非線性等效線性化方法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2015，28（4）：560-566.

Li Ling， Cai Anjiang，Ruan Xiaoguang. Equivalent lin-ear method for hysteresis nonlinear of bolted joints[J].Journal of Vibration Engineering， 2015， 28（4）： 560-566.

[3] Brake M R W. The Mechanics of Jointed Structures：Recent Research and Open Challenges for DevelopingPredictive Models for Structural Dynamics[M].Cham：Springer International Publishing， 2018.

[4] Eriten M， Kurt M， Luo G，et al. Nonlinear system i-dentification of frictional effects in a beam with a bol-ted joint connection[J]. Mechanical Systems and Sig-nal Processing， 2013， 39（1-2）：245-264.

[5] 張相盟，摩擦連接的結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2 013.

Zhang Xiangmeng. Research on structural nonlineardynamics of frictional joints[D]. Harbin： Harbin In-stitute of Technology， 2013.

[6] Chen W， Deng X. Structural damping caused by mi-cro-slip along frictional interfaces[J]. InternationalJournal of Mechanical Sciences， 2005， 47（8）： 1191-1211.

[7]Gaul L， Lenz J. Nonlinear dynamics of structures as-sembled by bolted joints[J].Acta Mechanica， 1997，125 （1-4）：16 9-181.

[8] Mindlin R D. Compliance of elastic bodies in contact[J]. Journal of Applied Mechanics， 1949， 16（3）：259-268.

[9] Hartwigsen C J，Song Y， Mcfarland D M， et al. Ex-perimental study of non-linear effects in a typical shearlap joint configuration[J]. Journal of Sound and Vibra-tion， 2004， 277（1）：327-351.

[10] Smallwood D（），Gregory D L， Coleman R G.Damp-ing investigations of a simplified frictional shear joint（Tech. Rep.SAND2000-1929）[R].Sandia NationalLaboratories， Albuquerque， 2000.

[11] Segalman D J. Modelling joint friction in structural dy-namics[J]. Structural Control and Health Monitoring，2006， 13（1）：430-453.

[12] Argatov I I，Butcher E A. On the Iwan models forlap-type bolted joints[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2011， 46（2）：347-356.

[13] Brizmer V， Kligerman Y， Etsion I. Modeling the dy-namics of mechanical joints[J]. Mechanical Systemsand Signal Processing， 2011， 25（8）：2801-2826.

[14] Urbakh M， Klafter J，Gourdon D， et al. The nonlin-ear nature of friction[J]. Nature， 2004， 430（6999）：525-528.

[15]Kerschen G，Golinval J C， Vakakis A， et al.Themethod of proper orthogonal decomposition for dy-namical characterization and order reduction of me-chanical systems： An overview[J]. Nonlinear Dynam-ics， 2005， 41（1-3）： 147-169.

[16]張相盟，王本利，衛(wèi)洪濤.Iwan模型非線性恢復(fù)力及能量耗散計(jì)算研究[J].工程力學(xué)，2012， 29（11）：33-39.

Zhang Xiangmeng，Wang Benli，Wei Hongtao. Calcula-tion of nonlinear restoring forces and energy dissiaptionof Iwan model[J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（11） ： 33-39.

[17] Mignolet M P， Song P， Wang X Q. A stochasticIwan-type model for joint behavior variability modeling[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 349（1）：289-298.

[18] Brake M R W. A reduced Iwan model that includespinning for bolted joint mechanics[J]. Nonlinear Dy-namies， 2017， 87（2） ： 1335-1349.

[19] Iwan W D. A distributed-element model for hysteresisand its steady-state dynamic response[J]. Transac-tions of the ASME， Journal of Applied Mechanics，1966， 33（4） ： 893-900.

[20] Iwan W D. On a class of models for the yielding be-havior of continuous and composite systems[J].Transactions of the ASME， Journal of Applied Me-chanics， 1967， 34（3） ： 612-617.

[21] Segalman D J. A four-parameter Iwan model for lap-type joints[J]. Transactions of the ASME， Journal ofApplied Mechanics， 2005， 72（5）： 752-760.

[22] Song Y X， Hartwigsen C J， Bergman L A， et al. Athree-dimensional nonlinear reduced-order predictivejoint model[J]. Earthquake Engineering and Engineer-ing Vibration， 2003， 2（1） ： 59-73.

[23] Song Y， Hartwigsen C J， Mcfarland D M， et al. Sim-ulation of dynamics of beam structures with boltedjoints using adjusted Iwan beam elements[J]. Journalof Sound and Vibration， 2004， 273（1）：249-276.

[24] 11 Y K， Hao Z M. A six-parameter Iwan model andits application[J]. Mechanical Systems and Signal Pro-cessing， 2016， 68-69（1）：354-365.

[25]李一堃，郝志明，章定國(guó)，基于六參數(shù)非均勻密度函數(shù)的伊萬(wàn)模型研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，47 （3）：513-520.

Li Yikun， Hao Zhiming， Zhang Dingguo. Investiga-tion into Iwan model based on the six-parameter non-uniform density function[J]. Chinese Journal of Theo-retical and Applied Mechanics， 2015， 47（3）：513-520.

[26] Wang D， Xu C， Fan X H， et al. Reduced-order mod-eling approach for frictional stick-slip behaviors of jointinterface[J]. Mechanical Systems and Signal Process-ing， 2018， 103：131-138.

[27]王 東，徐 超，胡 杰，等，連接結(jié)構(gòu)接觸界面非線性力學(xué)建模研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2018， 50（1）：44-57.

Wang Dong， Xu Chao， Hu Jie， et al. Nonlinar me-chanics modeling for joint interface of assembled struc-ture[J]. Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics， 2018， 50（1）：44-57.

[28] Mrsnik M， SlavicJ，Boltezar M. Vibration fatigue u—sing modal decomposition[J]. Mechanical Systems andSignal Processing， 2018， 98（1）：548-556.