梯度納米結構IF鋼的協同強化本構模型

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(浙江工業大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014)

納米材料具有優異的性能[1-2]，但是韌性和塑性卻往往較低，為了克服納米材料的這一缺點，盧柯等在1999 年提出了梯度納米結構材料的概念，該材料在空間上呈現出由納米級到微米級的梯度變化[3]。梯度納米結構有別于不同特征尺寸結構的簡單混合，沒有明顯的界面，因此可以有效避免尺寸突變引起的性能突變[4]。梯度納米結構金屬具有明顯的強化效果，梯度層的屈服強度遠高于基體。研究表明：梯度納米結構金屬在強塑性匹配[5]、抗疲勞[6]和抗磨損[7]等方面具有非常突出的性能。

近年來，有限元模擬成為研究材料力學性能的一個重要手段。早期關于梯度納米結構的研究中，Wei等[8]將梯度材料簡化為同軸殼體和芯部，并調整殼體失效應變和整體的體積分數，研究了這兩個參數對材料整體拉伸性能的影響。Petit等[9]將梯度層分為納米層和過渡層，采用混合法則(The rule of mixture，ROM)和反演分析，獲得了納米層的應力—應變關系，并成功預測了拉伸試樣的頸縮點。Wu等[10]和Li等[11]提出了更加接近真實情況的多層模型，他們通過機械減薄的方法制備試樣，并采用拉伸實驗逐層測定材料的應力—應變關系。在Wu等[10]的研究中，考慮到材料梯度變化對各層力學性能的影響，需要盡可能減薄每層材料的厚度，這對試樣的制備是一大挑戰。此外，多層模型將梯度結構劃分為多個孤立層，無法考慮各層之間的相互作用，因而梯度納米結構中存在的協同強化效應在多層模型中無法體現。為了簡單快速獲取梯度納米結構材料的應力—應變關系，同時又體現材料的協同強化作用，需要提出新的方法。筆者首先基于顯微硬度—拉伸應變之間的實驗數據，利用顯微硬度與材料屈服強度之間的定量關系，建立每層材料的Hollomon型應力—應變硬化準則和GTN損傷模型，進而通過參數反演獲得材料參數；接著，利用上述本構關系，采用基于混合法則的多層模型，建立有限元模型并進行系統計算；然后，對比分析有限元模擬結果與實驗數據，檢驗本構關系的有效性；最后，詳細分析多軸應力狀態的演化，并預測失穩狀態發生的臨界條件。

1 梯度納米結構材料的本構關系

1.1 彈塑性本構模型

梯度納米結構薄板如圖1所示，芯部是粗晶基體，上下表層為梯度納米結構層，晶粒尺寸由表及里呈現梯度分布。對應于晶粒尺寸的梯度變化，梯度納米結構材料的屈服強度由表及里呈梯度降低。單向均勻拉伸的開始階段(軸向應變ε在橫截面yz上均勻分布)，芯部材料首先發生塑性屈服并進入應變強化，而表層梯度納米結構層仍處于彈性階段。隨著ε的進一步增加，屈服區域由芯部逐漸向表層擴展，直至全截面屈服。材料發生塑性流動所需的軸向拉力，隨著變形量增大而增大。塑性流動所需的真實應力，等于該時刻的材料屈服應力，亦稱流動應力。

圖1 梯度納米結構薄板Fig.1 Schematic of gradient nanostructured plate

梯度納米結構試樣單向拉伸(或壓縮)時，若材料處于彈性變形階段，軸向應力σ與軸向應變ε滿足胡克定律，即

σ=Eε

(1)

彈性模量E作為一個表征原子間結合力大小的力學指標，晶粒尺寸對其影響可以忽略不計，于是假設梯度納米結構材料與粗晶材料具有相同的彈性模量。由單調拉伸實驗[10]可得：彈性模量E=210 GPa和泊松比ν=0.3。隨著拉伸載荷的進一步增大，材料進入塑性屈服階段，此時假設所有材料單元都遵循Hollomon硬化準則，即

Θ=KεN

(2)

式中：Θ為屈服應力；K，N分別為應變硬化系數和應變硬化指數。梯度納米結構材料力學性能的梯度變化，使得屈服應力Θ與相對于表層的位置有關，即該參數為坐標z的函數，因此無法基于常規拉伸實驗結果確定其數值。

梯度納米結構薄板發生軸向拉伸時，由于應變硬化效應，不同深度下的顯微硬度都將隨著軸向塑性應變的增大而增大。Wu等[12]測量了梯度納米結構IF鋼在4 個不同軸向拉伸應變(ε=0,0.048,0.095,0.223)下的維氏顯微硬度，獲得了不同應變下顯微硬度沿梯度納米結構厚度方向的分布，結果如圖2所示。由文獻[13-14]可知：材料的屈服應力或流動應力可由顯微硬度換算而來，兩者存在的線性關系為

Θ=λ·Hv-σ0

(3)

式中：Hv為維氏顯微硬度；λ，σ0分別為材料常數。由于式(3)對于同一種材料具有通用性，因此可認為式(3)適用于梯度納米結構材料的任一材料單元。通過式(3)把實驗測量的顯微硬度轉換為流動應力，可得不同軸向拉伸應變下流動應力(屈服應力)Θ沿梯度納米結構層厚度方向的分布，即Θ(z)。當軸向拉伸應變為0時，材料沒有發生應變硬化，此時測量所得的顯微硬度對應于初始屈服應力Θ0(z)。

圖2 不同拉伸應變下的顯微硬度分布Fig.2 Microhardness distribution under different tension strains

此外，韌性金屬材料拉伸過程中，伴隨著微孔洞的形核、長大和聚合，材料內部的損傷不斷累積，直至試樣發生宏觀斷裂。GTN模型可以較好地表征上述材料損傷機制，其屈服面方程[15-16]為

(4)

式中：σe為Mises等效應力；σm為靜水壓力；q1，q2，q3為損傷參數；f*為孔洞體積分數函數。當不考慮損傷時，即f*=0，GTN模型退化為Von Mises屈服準則。令f，fc，ff分別為孔洞體積分數、開始聚合時的臨界孔洞體積分數以及材料斷裂時的臨界孔洞體積分數。若f≤fc，則f*=f；若f>fc，則f*=fc+(1/q1-fc)(f-fc)/(ff-fc)；若f≥ff，則f*=1/q1。孔洞體積分數f的損傷演化方程[15-16]為

(5)

1.2 應變硬化參數的識別

為了得到流動應力與顯微硬度的轉換關系，需要確定式(3)中的常數λ與σ0。Keryvin等[17]指出：鐵基金屬材料的λ值可取為2.8。由實驗[12]可知：粗晶IF鋼的初始屈服應力和維氏顯微硬度值分別為46 MPa和Hv=21.8 kg/mm2(0.213 GPa)[10]，則由式(3)可得σ0=15.1 MPa基于梯度納米結構IF鋼在4 個不同軸向拉伸應變(ε=0,0.048,0.095,0.223)下的維氏顯微硬度，利用顯微硬度與流動應力的關系式(3)，可以得到4 組流動應力—深度的數據，結果如圖3所示。由于梯度結構的微觀組織結構由表及里呈現梯度變化，當進入塑性屈服階段后，即使軸向變形相同，軸向應力—軸向應變響應也會呈現梯度變化。因此，把梯度納米結構層劃分成等厚度的12 個薄層，每層的厚度為10 μm，假設每層材料具有相同的力學性能。利用Hollomon硬化準則式(2)擬合每一薄層材料的流動應力—軸向應變，結果如圖4所示，擬合得到的應變硬化系數K和應變硬化指數N列于表1。

圖3 不同軸向拉伸應變下的流動應力分布Fig.3 Flow stress distribution under different tension strains

圖4 各層材料的應力應變關系Fig.4 The stress-strain relationships of each layer

Table1MaterialparametersofHollomonhardeningruleofeachlayer

z/μmΘ0/MPaK/MPaN0～106726910.004 610～206666860.005 020～306406620.005 830～406046360.008 840～505856300.013 050～605556180.018 060～705206030.025 070～804865940.033 080～904135770.050 090～1003205510.080 0100～1102395140.120 0110～1201494980.210 0>120465240.395 0

軸向均勻拉伸變形的梯度納米結構材料薄板(圖1)，橫截面上的總軸向拉力F由粗晶層和梯度結構共同承擔。當薄板為純彈性變形時，軸向應力在橫截面上均勻分布；若芯部進入塑性變形階段，而梯度納米結構層仍為彈性變形時，雖然總軸向應變相同，但軸向應力在橫截面上不再均勻分布。為了建立解析表達模型，假設梯度層中每一薄層內的軸向應力σi相等，并令Fi表示第i層的軸力。而粗晶層內晶粒尺寸相同，因此粗晶層內的軸向應力σcg也相等，其合力為Fcg。基于混合法則(ROM)，可得

(6)

相應的軸向名義應力表達式為

(7)

式中：tcg，ti分別為粗晶層和梯度結構第i層的厚度；tt為薄板總厚度。由文獻[10]中的試樣尺寸可知：tcg=380 μm，ti=10 μm，tt=500 μm，此時梯度結構占比為24%。σcg，σi可分別由胡克定律式(1)和Hollomon硬化準則式(2)得到，進而由式(7)計算出不同軸向應變時梯度納米結構材料的名義軸向應力Π，結果如圖5所示。顯然，數值預測結果與實驗數據[12]吻合較好，驗證了表1中應變硬化參數的有效性。

圖5 梯度納米結構 IF鋼的軸向應力—軸向應變曲線Fig.5 Axial stress-axial strain curve of gradient nanostructured IF steel

1.3 損傷參數的識別

在1.1中定義了9 個用于描述材料孔洞演化的參數。通常認為q1，q2，q3與材料無關，其值取為q1=1.5，q2=1.0，q3=2.25。初始孔隙率f0可由材料組成確定，其值可取為0.002[15]。與空洞聚合相關的損傷參數εN，SN，對于多數材料來說是獨立的，一般取為εN=0.3，SN=0.1。因此，需要基于實驗結果確定的損傷參數只有fc，fF，fN。

基于拉伸試樣的對稱性，建立如圖6所示的1/8有限元分析模型，用Abaqus進行計算。為了模擬梯度納米結構層的力學性能和應力應變響應的梯度變化，網格劃分時遵循表層密集芯部稀疏的原則，單元類型為C3D8R。在試樣端部受到拉伸載荷作用時，中間標距段內具有相同的軸向應變。由于梯度納米結構層與粗晶層的微觀組織不同，因此GTN模型中各自的損傷參數也不相同。為了簡便起見，有限元模擬時采用2 套損傷參數(表2)，分別應用于梯度結構層與粗晶層，而不再對梯度結構層做進一步細分。通過有限元計算，得到了拉伸試樣的6 組載荷—位移曲線，如圖7所示。由圖7可知：No.2損傷參數的模擬結果與實驗結果[12]吻合程度最高。因此，梯度結構層的損傷參數初步定為，fc=0.15，fF=0.25，fN=0.001，粗晶層的損傷參數為fc=0.15，fF=0.25，fN=0.01。

圖6 梯度納米結構薄板的1/8有限元模型Fig.6 Finite element model of gradient nanostructured plate

No.梯度層fcfFfN粗晶層fcfFfN10.150.250.0010.150.250.03320.150.250.0010.150.250.01030.150.250.0010.150.250.00140.150.250.0010.150.500.01050.150.250.0010.250.250.01060.150.250.0100.150.250.010

圖7 軸向載荷—位移曲線Fig.7 Relationships between axial load and axial displacement

建立梯度層占比為16%，30%的有限元模型，驗證上述損傷參數的有效性。有限元模擬得到的載荷—位移曲線如圖8所示。在損傷累積過程中，數值結果與實驗數據[12]吻合較好，因此可以斷定上述材料參數適用于任意梯度層占比的IF鋼。

圖8 不同梯度層占比時的軸向載荷—位移曲線Fig.8 Relationships between axial load and axial displacement for different ratio

2 應力演化分析與頸縮預測

2.1 應力狀態演化

把拉伸過程分為3 個階段：1) 材料整體處于彈性變形；2) 芯部粗晶層進入塑性變形階段，梯度層靠近芯部的區域發生屈服，但其余部分仍處于彈性變形階段；3) 材料全截面屈服。通過分析不同位置的等效塑性應變與軸向拉伸應變的關系，發現當軸向拉伸應變達到0.022%時芯部材料開始發生屈服，軸向應變繼續增大到0.32%時全截面屈服。有限元模擬結果表明：在上述3 個變形階段中，軸向應力σx在拉伸過程中沒有特殊的變化，與均質粗晶材料拉伸時的情況完全相同；應力分量σxy，σxz趨近于零，應力分量σz，σyz盡管不為0，但是比σy小1 個數量級。因此，以下僅討論側向應力σy的演化。

在3 個拉伸階段中選取4 個代表性拉伸應變，提取模型中對稱截面(X=0截面)上所有材料點的σy值，結果如圖9所示。由圖9(a)可知：當材料整體處于彈性變形階段時，側向應力σy接近于0，可以認為此時試樣處于單軸應力狀態。當芯部粗晶發生塑性屈服時，如圖9(b)所示，此時接近表面的梯度層內的σy為負值，而芯部粗晶和相鄰梯度層內的σy為正值，在正負應力變換處有非常大的應力梯度。由圖9(c)可知：在材料全斷面屈服的初始階段，由于梯度層的應變硬化程度較小，依然處于表面受拉芯部受壓的應力狀態。由圖9(d)可知：進一步增大軸向拉伸應變至3.7%，此時梯度層的應變硬化程度已經非常大，應力狀態發生反轉，呈現出表面受壓芯部受拉的應力狀態，但是相對于圖9(b)所示結果，應力數值顯著減小。

圖9 不同應變下 X=0截面上σy分布Fig.9 Distribution of σy at the X=0 cross section for different strains

為了深入研究側向應力σy隨軸向應變的演化規律，提取圖6中路徑1上各材料點的σy值，繪制不同軸向拉伸應變下σy與深度的關系曲線，結果如圖10所示。當ε<0.022%時，即材料整體處于彈性變形，σy=0。隨著ε的進一步增大，芯部粗晶首先屈服，此時梯度層內的σy為負而粗晶內的σy為正，并且σy不斷增大。當ε增大到0.32%時，材料全斷面塑性屈服，σy達到其最大值-62 MPa。其后，隨著ε增大σy逐漸減小，直至ε增加到2.1%左右時梯度層與粗晶內σy的符號反轉。顯然，隨著軸向拉伸應變的不斷增大，梯度納米結構材料經歷了如圖11所示的3 種應力狀態，依次為純彈性變形時的單軸拉伸應力狀態、表層受壓芯部受拉的多軸應力狀態和表層受拉芯部受壓的多軸應力狀態。

圖10 側向應力σy的演化Fig.10 Evolution of lateral stress component σy

圖11 梯度納米結構材料的應力狀態演化Fig.11 Evolution of stress state of gradientnanostructured material

2.2 失穩分析

梯度納米結構材料發生頸縮時的臨界應變εcr，可由Considère準則[11]進行預測為

dF/dε=0

(8)

在拉伸應變增大到εcr之前，拉力隨著ε的增大而不斷增大，此時dF/dε>0。當拉伸應變大于εcr以后，拉力隨著ε的增大而不斷減小，此時dF/dε<0。

當材料發生拉伸失穩時，軸向拉伸應變ε中彈性應變的比重極小，因此可把ε看作純塑性應變。此時，梯度納米結構材料的應力應變響應，可用理想剛塑性模型表示。基于式(2，6，7)，可以得到軸向拉力表達式為

(9)

(10)

利用式(10)，可以得到不同梯度層占比(16%，24%，30%)情況下的臨界失穩應變，分別為0.306，0.265，0.234。

此外，基于有限元計算得到的軸向拉力—軸向應變關系曲線，利用Considère準則提取曲線中軸向拉力的最大值點，也可以方便地確定出不同梯度層占比時的臨界應變。當梯度層占比為16%，24%，30%時，相應的臨界失穩應變分別為0.294，0.260，0.233。兩種方法確定出的結果同時繪制在圖12中，顯然兩者具有很好的一致性。

圖12 Considère準則預測的頸縮起始點Fig.12 Neck initiation predicted by considère criterion

3 結 論

基于顯微硬度與流動應力的內在關系可以建立梯度納米結構IF鋼的本構模型。由模擬與實驗的對比可以發現：該本構模型可以反映梯度納米材料的協同強化效應，準確表征梯度納米結構IF鋼的拉伸力學性能。模擬結果表明：梯度納米結構IF鋼在拉伸時呈現出復雜的多軸應力狀態，除了軸向拉應力外，拉伸截面上還存在變化的側向應力。變形初期側向應力為表面受壓芯部受拉，變形增大后則演化為表面受拉芯部受壓。通過有限元方法得到梯度層占比為16%，24%，30%的臨界失穩應變分別為0.294，0.260，0.233，該數據與理論結果基本一致，說明了有限元模擬預測臨界失穩的方法是可行的。