Delta并聯3D打印機運動學分析

楊秀芳，孫有朝，趙大旭，楊自棟，姚立健，張培培

(1.南京航空航天大學， 南京 211106； 2.浙江省竹資源與高效利用協同創新中心， 杭州 311300；3.浙江農林大學， 杭州 311300)

“3D打印(3D printing )”形象地描述了增材制造(additive manufacturing，AM)的工藝特點，這種“自下而上”的制造方法已經伴隨著材料領域的發展從工業領域擴展到了家用領域。熔融沉積造型(FDM-fused deposition modeling)是一種擠壓成型的3D打印技術，適合打印低熔點材料，尤其是無毒環保、可降解的材料，目前應用最廣泛。針對FDM工藝的特點，目前研究主要集中于開發新材料和提高打印精度和質量[1]。其中，機械結構本體，即打印機構問題是提高打印精度和質量的關鍵。

串聯構型的3D打印機發展比較成熟，若要繼續提高潛力，需要從機構學角度研究更加適合FDM工藝的打印執行機構。基于上述思路，并聯機構在3D打印中的應用逐漸引起重視。李江濱[2]以3D打印機機械本體—3-P[2-SS]并聯機構為研究對象，對該機構進行了運動學分析、運動學標定、誤差建模，并設計制作樣機進行了實驗研究。曲興田等[3]設計出一種工作平臺可翻轉的3D打印機，完成無支撐結構的曲面結構打印。周輝等[4]提出一種完全解耦五自由度混聯機構作為3D打印的執行機構。薛國芳[5]提出了一種基于 3-PUU 型三自由度 3D 打印并聯機器人，該并聯機構具有較好的運動學和動力學性能。

本文基于Delta機構設計了一種3-PUU構型并聯3D打印機,在RecurDyn環境下進行了軌跡優化和仿真試驗，驗證了設計的合理性。

1 打印機構構型方案

1.1 適用構型

并聯機構結構緊湊、剛度大、承載能力強，而且運動慣性小、驅動誤差小、位置精度高和各向同性好[2]。隨著相關理論研究的不斷深入以及工程應用實踐探索，并聯機構先后被成功應用于諸多領域，如并聯運動學機床、并聯機器人、定位裝置、測量裝置、飛行模擬器、醫療、娛樂等。雖然并聯機構存在其特有的缺點，比如工作空間小、存在奇異問題等，但是其能更好地滿足微細加工工藝對精度的需求，與打印機構功能需求吻合[6-7]。

由于FDM工藝中，噴頭噴出后冷卻的固化層面與噴嘴垂直，當完成一層的噴涂時打印頭繼續按設定的零件截面輪廓和填充軌跡運動，同時將熔融狀態下的材料擠出，前一層的材料粘結并固化。因此，噴頭的主運動是三維空間中的平動，如圖1所示。

圖1 噴頭工作原理圖

典型并聯機構，如Stewart平臺及其變型，大都具有6個自由度，運動控制復雜度較高，而對于多數3D打印機，少自由度并聯機構則更適合。相比而言，少自由度并聯機構有下列優點：① 驅動件減少，構件少；② 工作空間大；③ 運動耦合較弱，容易解耦；④ 控制簡單方便；⑤ 制造容易，價格低廉；⑥ 正向求解簡單[8-9]。

1.2 構型選擇

目前，大多數并聯打印機構都選擇了較為成熟的Delta并聯機構及其演化機構。Delta機構剛度大、響應靈敏，具有優異的綜合性能，并且無誤差積累，適合用于打印機構，國內外研究相對豐富。國內一些高校在并聯機構應用于3D打印機的研究中取得了若干成果，燕山大學則研究了用于3D打印的3-CUR 解耦并聯機構[10]，北京交通大學潘英基于3T1R和3T2R構型設計了打印機，并分析了其運動學性能[11]。本文在前期用于3D打印的竹塑復合材料研究基礎上[12]，基于Delta構型設計了打印機構，分析了機構運動學性能，對典型打印過程進行了運動學分析。

2 運動學分析

2.1 構型描述與自由度

提取旋轉關節的中心點，將Delta并聯機構簡化為靜平臺、動平臺以及連接它們的3條對稱分布的運動支鏈。

假設靜平臺和動平臺鉸接點的外接圓半徑分別為RS和RT，在靜平臺中心點O建立全局坐標系O-x、y、z，靜平臺3個鉸接點Am0(m=1,2,3)向中心點O平移1個動平臺外接圓半徑，將動平臺簡化為一點P，建立工具坐標系P-xp、yp、zp，如圖2所示。用Am(m=1,2,3)標記靜平臺頂點，OAm=l1=RS-RT，與OX的夾角為αm，主動臂與靜平臺的夾角為βm，連桿相對主動臂的夾角為γm，AmBm=l2，PBm=l3分別為主動臂和連桿的長度。

2.2 位置逆解

運動學逆解是根據已知的末端執行器P的位置矢量r，求解節變量β=[β1,β2,β3]T及其對時間的1階和2階導數。由圖2中位置關系可知：

r=[x,y,z]T=l1im+l2jm+l3km

(1)

式中im,，jm，km分別表示OAm、AmBm與PBm的單位矢量，其中im=[cosαm, sinαm,0]T，jm=[cosαmcosβm, sinαmcosβm,-sinβm]T，km待定。由式(1)得：

l3km=r-l1im-l2jm→(l3km)(l3km)T=

(r-l1im-l2jm)(r-l1im-l2jm)T→

(2)

從而消去km，式(2)展開并整理，可得位置反解βm：

(3)

系數Mm、Nm與Qm分別為：

(4)

2.3 速度與加速度逆解

(5)

(6)

式(6)描述了主動臂關節速度與動平臺速度之間的映射關系，定義間接Jacobi矩陣JI與直接Jacobi矩陣JD[14]：

(7)

則可將式(6)表示為矩陣形式：

(8)

顯然，Jacobi矩陣J反映了末端執行器的速度與主動關節速度之間的映射關系。加速度推導過程和速度逆解類似，式(8)對時間求導可得加速度逆解：

(9)

2.4 運動學正解

運動學正解是給定主動臂關節變量β，求解末端執行器P的位置矢量r，根據構型可知，Bm點在以P為圓心、l3為半徑的球面上。式(2)在消去km時給出了各運動支鏈對應的球面方程：

(10)

上述3個方程求解可得到2個位置正解，舍去存在機構干涉的解，得到P點位置矢量r。

(11)

3 工作空間與尺度綜合

3.1 基于幾何法的工作空間分析

Delta機構的工作空間，是該機構動平臺能伸展的最大空間，即動平臺的軌跡能達到的最大范圍。工作空間的大小某種程度上決定了機構的性能，從而決定該3D打印機的性能。另外，工作空間也對機構的尺寸具有一定的約束，在尺寸的優化上起到關鍵性的作用。

工作空間可采用Monte Carlo數值積分法和幾何法求得。本文選用幾何分析法，通過兩兩圓弧相交可以獲得具體的幾何形狀，再通過求解幾何算式來求得工作空間[15]。

主動臂處于極限位置(βm=βmin和βm=βmax)時，連桿l3擺動至極限位置，生成可達空間的邊界，如圖3所示，而工作空間(靈活空間)是一個包含在邊界內的半徑R、高H的圓柱體，該圓柱體上端面距離驅動臂βm=0時高度為h，長度為2R。通過幾何分析[16]，獲得以下方程：

(12)

圖3 Delta機構工作空間平面簡圖

末端執行器的位置坐標約束在圓柱體內的工作空間中，z軸上的高度滿足條件h≤z≤h+H。為了使打印機在作業時能夠充分獲取工作空間的每一點并利用，可以使半徑R的實際值Rn在一定范圍內浮動，即R≤Rn≤1.1R，最后要求解出半徑R與機構的幾何尺寸的關系。根據并聯機構與作業工作空間的幾何關系得：

(l2cosβmax+l2)

(13)

3.2 構型尺寸綜合

本設計思路是在給出該并聯機構工作空間的這些參數即高度H、距離h、半徑R的情況下，進行機構本體幾何尺寸參數l1(RS-RT)，l2，l3，αm以及主動臂擺角βmin和βmax的確定。

1) 直接Jacobi矩陣JD中任意2個及以上分量km(m=1,2,3)線性相關，即2個及以上連桿平行或共面；

2) 間接Jacobi矩陣JI中出現jm×km=0(m=1,2,3)時，即同一個運動支鏈中，主動臂與連桿平行。

為了讓機構極大程度地避免出現奇異位形的情況，主動臂擺角βmin和βmax需要限定范圍，βmax根據幾何尺寸確定，而βmin≥arcsin(l2-h/l1)。初步確定尺寸參數如表1所示。

表2 尺寸參數

3.3 正反解驗證

已知RS=120 mm，RT=60 mm，l2=200 mm，l3=550 mm， 給定動平臺P的3組坐標，用Matlab程序求機構運動學反解的解。給出的3組坐標分別為(-300,300,500) (300,-300,500) (0,300,500)。

表3 運動學反解結果

將上述3組解代入Matlab的運動學正解計算公式中，可以求得P的3組坐標(300.010 7, 299.968 9, -500.016 5)(299.992 7, -299.992 1, -500.014 6)(-0,300.019 8, -499.985 4)。將z坐標的數正數化，圓整3組坐標后可以發現與給定的坐標是相符合的。

綜上可知，該機構的運動學正反解分析驗證成功。

3.4 打印精度分析

影響3D打印精度的因素主要是機械本體結構與打印工藝的誤差，其中前者尤為關鍵。Delta并聯機構只有3個平移自由度，因此只有位置誤差是可以通過控制策略進行補償的，而姿態誤差只能通過提高制造和裝配的精度來減小。

忽略各驅動臂和各連桿的尺寸差異，將動平臺參考點P的位置(x,y,z)定義為3個主動臂關節變量β=[β1,β2,β3]T和l1、l2、l3的函數[8]：

(14)

將式(14)的全微分分解為控制參數與結構參數誤差兩部分，得到正解誤差模型：

(15)

將式(15)簡寫為：

dr=TAdβ+TCdL

(16)

其中：dr為動平臺輸出誤差；TA與TC分別為驅動參數誤差與構件制造誤差的傳遞矩陣； dβ與dL分別為驅動參數誤差與機構參數誤差。位置的逆解誤差模型可由式(16)變形得到：

(17)

4 基于RecurDyn的仿真

4.1 打印軌跡設定

在RecurDyn中導入各構件的X_T模型，通過約束“裝配”運動模型，利用Cmotion(G)定義打印機噴頭運動，由于打印機構只存在3個平動自由度，所以忽略關于姿態的定義RX、RY、RZ，只需設置X、Y、Z軸方向運動。課題組根據前期材料性能試驗，做了各種軌跡和參數的仿真，為直觀描述打印機構運動學性能，定義螺旋運動：

(18)

即：噴頭在初始位置(0, 0,z0)首先沿X軸方向以速度vx移動t0，然后以vxt0為半徑做空間螺旋運動，λ為螺旋運動的導程，軌跡如圖4所示。

圖4 打印軌跡

式(18)各參數可根據實際工藝過程定義。仿真時長和步數確定后，運行仿真就可以輸出相應結果。

4.2 運動學仿真分析

選擇初始參數如表4所示。

表4 初始參數

利用RecurDyn中的IF函數描述式(18)，在直線運動與螺旋運動轉換時，出現加速度突變，為避免出現剛性沖擊，改用STEP5函數描述式(18)，仿真120 s，1 200步。圖5～7分別是動平臺的位移、速度、加速度曲線，可見無剛性沖擊出現。

由動平臺運動參數可以解算出驅動副，即3個主動臂的主動關節運動參數，這些參數作為實現期望打印軌跡的控制變量。圖8所示為主動臂關節角變化曲線。

圖5 動平臺位置

圖6 動平臺速度

圖7 動平臺加速度

圖8 主動臂關節角

圖9則是主動臂關節角速度變化曲線，同樣是光滑無剛性沖擊，反映了與動平臺之間的映射關系。

圖9 主動臂關節角速度

圖10為主動臂關節角加速度變化曲線，在整個打印過程中，可以平滑無突變地過渡，與期望的基本一致。

圖10 主動臂關節角加速度

由仿真情況可知，在打印過程中噴頭的運動能夠無突變地過渡，在合理范圍內。

5 結束語

1) 針對基于Delta并聯機構的3D打印機，構建了基于向量運算的具有簡潔直觀形式的運動學模型，分析了動平臺與主動臂之間的位置、速度和加速度映射關系，并進行了正反運動學的驗證。

2) 利用虛擬樣機技術，對所設計3-PUU構型并聯3D打印機進行了規劃路徑運動學分析，直接得到分析結果，與繁瑣的符號運算實現了互補，為樣機開發提供了一種有效方便的分析方法。

3) 優化了構型尺寸參數，利用5次多項式插值方法優化了打印軌跡，避免了出現剛性沖擊。