響應(yīng)變量缺失下部分線性模型的異方差檢驗

劉 鋒，胡 悅，康新梅

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

部分線性模型是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一類重要的統(tǒng)計模型，既包含了參數(shù)部分，又包含了非參數(shù)部分。部分線性模型融合了參數(shù)模型和非參數(shù)模型的優(yōu)點，可以概括和描述現(xiàn)實中的許多實際問題，較單純的參數(shù)模型或非參數(shù)模型具有更大的適應(yīng)性、更強的解釋能力。因此，該模型引起了廣泛的重視和研究，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟、生物統(tǒng)計等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

在實際問題中，往往由于諸多原因?qū)е聰?shù)據(jù)缺失，比如獲取數(shù)據(jù)花費的代價大、研究個體由于藥物的副作用而停止試驗等。用缺失數(shù)據(jù)擬合模型的統(tǒng)計推斷已經(jīng)有很多的研究，但是大部分的研究還是在模型的估計方面。如果用錯誤的模型擬合數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果可能是不合理的，所以關(guān)于模型的檢驗具有非常重要的意義。

在回歸模型中，一般假定模型的誤差項εi是相互獨立的，且具有相同方差的隨機變量。對于一個擬合理想的模型,殘差中不再含有模型的信息，即殘差為白噪聲序列，所以模型的誤差項的獨立同方差是模型的一個基本假定。如果模型存在異方差會導(dǎo)致參數(shù)估計量非有效，變量的顯著性等檢驗失去意義，會出現(xiàn)模型預(yù)測失效，甚至模型被誤用等問題。因此，在統(tǒng)計推斷之前，檢驗?zāi)Ｐ褪欠窬哂挟惙讲钍欠浅Ｓ斜匾摹?/p>

考慮如下部分線性模型：

(1)

其中：β0是p維參數(shù)向量；g(·)是未知函數(shù)；{(Xi,Ui,Yi),1≤i≤n}是來自(X,U,Y)的獨立同分布樣本；εi是隨機誤差，且?guī)缀跆幪幱蠩(εi|Xi,Ui)=0。 通常假設(shè)Ui的維數(shù)為1。不妨設(shè)Ui∈[0,1]，此時g(·)為定義在[0,1]的未知函數(shù)。

1 方法和主要結(jié)果

1.1 響應(yīng)變量缺失的處理方法

假設(shè)響應(yīng)變量Y是隨機缺失(MAR)的，即在給定X和U時，Y是否缺失與Y的值條件獨立。定義δi為指示第i個個體的響應(yīng)變量值Yi是否缺失的變量，當(dāng)Yi觀測到時δi=1，當(dāng)Yi缺失時δi=0，MAR缺失機制表示為P(δ=1|Y,X,U)=P(δ=1|X,U)。 MAR是經(jīng)常使用的缺失機制之一并且與很多實際情況基本吻合，可以參考文獻[1]。 假設(shè)得到了模型(1)的一個隨機樣本(Yi,δi,Xi,Ui),i=1,2,…,n。

首先估計參數(shù)β0，將式(1)兩端分別乘以δi可得

再將上式兩端取關(guān)于Ui的條件期望，得

E(δi|Ui=u)g(u)

由此可得

其中:

g1(u)=E(δX|U=u)/E(δ|U=u)

g2(u)=E(δY|U=u)/E(δ|U=u)

那么它們對應(yīng)的估計量是

和

(2)

當(dāng)Yi缺失時，用回歸借補的思想對Yi進行補齊，

1.2 異方差檢驗的方法

(3)

下面考慮模型(1)響應(yīng)變量隨機缺失下的異方差檢驗問題。

假定模型的隨機誤差項εi,i=1,2,…,n,有E(εi)=0,Var(εi)=σ2·mi,其中mi>0,假設(shè)mi滿足下面的函數(shù)形式：

mi=m(zi,γ),i=1,2,…,n

其中mi僅取決于q×1維向量zi和q×1維的未知參數(shù)γ。接下來假定m(·)是關(guān)于γ的可微函數(shù)且存在一個唯一的γ的特定值γ*使得對于所有的zi，使得m(zi,γ*)=1。因此檢驗?zāi)Ｐ?1)的異方差性等價于檢驗下面的假設(shè)：

H0:γ=γ*?H1:γ≠γ*

為構(gòu)造經(jīng)驗似然比，定義如下估計方程：

其中：

i=1,2,…,n

上述經(jīng)驗似然比函數(shù)不僅含有未知討厭參數(shù)β0，σ2和感興趣的參數(shù)γ,而且還包含未知函數(shù)g1(·),g2(·)， 因此L(γ,β0,σ2)不能直接用于統(tǒng)計推斷。一個直接的想法是分別利用它們各自的估計來代替，利用上述所介紹的估計方法得到它們的估計量。

代入未知函數(shù)及參數(shù)β0的估計量，得到估計函數(shù)：

其中

i=1,2,…,n

利用Lagrange乘數(shù)法求得pi的最優(yōu)值為

其中λ為下面方程的解：

所以可以得到

(4)

接下來將通過一些假設(shè)條件，建立經(jīng)驗似然的非參數(shù)版本的Wilk’s定理，具體假設(shè)如下：

A3:wnj(t)滿足一階Lipschitz條件;

A4:g(·),g1(·),g2(·)滿足一階Lipschitz條件;

A6:Cov(xi-E(xi|ti))為正定陣;

A7:

且矩陣A11和A22正定。

定理1 在零假設(shè)及假設(shè)條件A1～A7下，當(dāng)n→∞時，l0(γ,σ2)具有自由度為q+1的漸近卡方分布，即

為了處理討厭參數(shù)σ2，定義

l0(γ)

則在上述假設(shè)條件及零假設(shè)下，當(dāng)n→∞時，有[7]

2 數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值模擬來研究本文提出的基于經(jīng)驗似然的異方差檢驗方法的可行性。

為了簡單起見，考慮如下模型：

核函數(shù)K(·)為Beweight核:

考慮下面4種響應(yīng)變量缺失情形：

情形A:

P(δ=1|X=x)={1/(1+0*exp(x))}

情形B:

P(δ=1|X=x)={1/(1+0.1*exp(x))}

情形C:

P(δ=1|X=x)={1/(1+0.25*exp(x))}

情形D:

P(δ=1|X=x)={1/(1+0.65*exp(x))}

這4種情形下，平均缺失率分別約為:0、0.1、0.2、0.4。樣本量n=100,200,300,各進行1 000次模擬，顯著性水平α=0.05。結(jié)果如表1所示。

從表1、2的模擬結(jié)果來看，不論誤差服從正態(tài)分布還是均勻分布，都可以得到比較滿意的結(jié)果。當(dāng)在同一缺失情形下，隨著樣本量的增大，檢驗的準(zhǔn)確度隨著提高：在原假設(shè)(γ=0)下，檢驗水平(size)逐漸接近顯著性水平0.05；在備擇假設(shè)下，功效(power)逐漸接近于1。但可以看到，在原假設(shè)下，當(dāng)小樣本時，檢驗水平(size)偏高，這主要是由于經(jīng)驗似然比檢驗統(tǒng)計量是漸近服從卡方分布的。當(dāng)樣本量一定時，隨著缺失率的增大，檢驗的準(zhǔn)確性隨著降低，如表2所示，在缺失情形A、B、C、D下，當(dāng)n=300時，在原假設(shè)(γ=0)下，檢驗水平分別為0.050 3、0.050 4、0.050 8、0.051 0，隨著缺失率的增大檢驗水平增大，但還是能達到比較滿意的效果。以上模擬結(jié)果可以說明：缺失率越大，即數(shù)據(jù)的完整性越低，檢驗的不穩(wěn)定性和不準(zhǔn)確性越大。但是在缺失率增大時，得到的結(jié)果依然比較滿意，這說明運用本文提出的方法對響應(yīng)變量缺失下部分線性模型進行異方差檢驗的效果是比較好的。

表1 不同缺失情形下經(jīng)驗似然比檢驗結(jié)果(誤差服從正態(tài)分布)

表2 不同缺失情形下經(jīng)驗似然比檢驗結(jié)果(誤差服從均勻分布)

3 定理的證明

為了給出主要結(jié)果的證明，首先給出如下引理。

1) 存在絕對常數(shù)C1>0,C2>0,使得關(guān)于t∈[0,1]一致地有：

對充分大的n成立。

2) 存在絕對常數(shù)C3>0使得關(guān)于s,t∈[0,1]及n≥1一致地有：

那么對充分大的n有

證明過程見文獻[8]。

注權(quán)ani(t)為隨機時結(jié)論依然成立，見文獻[10]。

引理2 在假設(shè)條件A1～A6以及零假設(shè)下，有

證明由假設(shè)A1～A6與引理1即得,見文獻[8]。

引理3 設(shè)

b1≥b2≥…≥bn≥0,

M=max{S1,…,Sn}

則

(5)

為了應(yīng)用Abel不等式，式(5)可變形為

(6)

其中(j1,j2,…,jn)為(1,2，…,n)的任意重排。若序列bi的非負性限制去掉，有

(7)

對式(7)的后兩項分別進行如式(6)的處理，最后得到：對任意2個序列{ai},{bi},總有

(8)

其中(j1,j2,…,jn)為(1,2，…,n)的任意重排。

(9)

證明過程見文獻[9]。

(a)A>0?A22>0,A11.2>0

(b) 若A22>0,則A≥0?A11.2≥0

證明過程見文獻[11]引理3.2.1。

引理6 在零假設(shè)及假設(shè)條件A1～A7下，有

證明首先證明

接下來證明：

又有

由引理2，有

由引理2,式(8)及(9)可得：

其中(j1,j2,…,jn)為(1,2,…,n)的任一置換。因此，Δn2=op(1),Δn3=op(1)。

記ε的i階矩為μi,P(δ=1|X,U)=p,有Ε(ζi)=0及

為正定矩陣。

因此，

當(dāng)n→∞時,從而可得

由上述結(jié)論及條件A5,可得Lindeberg條件成立。由Lindeberg中心極限定理，有

從而由Cramer-Wold方法，有

引理7 在零假設(shè)及假設(shè)條件A1～A7下，有

證明定義

Rn4+Rn5+Rn6-Rn7

由假設(shè)條件A7與引理2，有

接下來考慮Rn3中的一項

由假設(shè)A5、 A7、 引理2以及大數(shù)定理，對任意q+1維非零向量θ，有

因此，

Rn1=op(1),Rn3=op(1),Rn4=op(1)

Rn5=op(1),Rn6=op(1)

由大數(shù)定理得

從而

同理

再由文獻[4]引理2，有

引理 7得證。

證明類似于文獻[2]。

引理9 在假設(shè)條件A1～A7及零假設(shè)下，有

證明類似于文獻[3]的引理3。

定理1的證明：

由引理8及引理9，將式(4)泰勒展開，可以得到

由引理6～9,文獻[7]中定理3.5,通過簡單的計算，有

l0(γ,σ2)

最后結(jié)合引理6、引理7，定理得證。具體證明類似于文獻[12]。