一類邊界耦合波方程的穩定性

梁琦琦，馮紅銀萍

(山西大學 數學科學學院， 太原 030006)

在工程和物理學中，系統的耦合是普遍存在的。 在文獻[1]中，作者討論了ODE-熱方程的耦合系統,證明了該耦合系統是指數穩定的。文獻[2]研究了Euler-Bernoulli梁方程與熱方程在邊界耦合的系統,熱方程作為整個耦合系統的控制器，使得耦合系統的解是指數穩定的。在文獻[3-5]中，Zhang和Zuazua分別討論了熱方程和波方程在兩類不同邊界條件下的耦合，并證明了兩種情況下的耦合系統是多項式穩定的。文獻[6-7]研究了兩個波方程的主方程耦合的系統，并且證明了在不同的假設條件下系統為指數穩定或一般穩定、本文研究了一類新的邊界耦合的波方程系統，并證明了耦合系統是適定的、漸近穩定的但不是指數穩定的。

本文討論如下的耦合波方程:

(1)

其中:k,c為正常數；wx或w′表示w對x的導數，wt表示w對t的導數。令:

φ(x,t)=u(1+x,t), 00

則上述系統等價于如下的耦合系統:

(2)

因此，只需考慮耦合系統(2)的適定性和穩定性。定義系統(2)的能量函數為:

對E(t)求導，并結合(2)得到:

因此E(t)是單調遞減的。

將在如下狀態空間上考慮系統(2)的適定性和穩定性：

(3)

?Xi=(fi,gi,hi,mi)∈H,i=1,2

定義算子Α:D(Α)(?H)→H為:

(4)

則系統(2)可以寫成如下發展方程:

其中：X(x,t)=(w(·,t),wt(·,t),φ(·,t),φt(·,t))，X0(x)=(w0,w1,φ0,φ1)。

定理1 對任意初值(w0,w1,φ0,φ1)∈H，系統(2)有唯一的解使得(w(·,t),wt(·,t),φ(·,t),φt(·,t))∈C([0,∞);H)。此外，系統(2)的解是漸近穩定的，即:

(5)

證明算子Α由式(4)定義，則對任意的(f,g,h,m)∈D(Α)，簡單計算可得:

Re〈Α(f,g,h,m),(f,g,h,m)〉=

cm(0)h(0)=-kg2(1)≤0

(6)

因此Α在H中耗散。對任意的(p,q,r,s)∈H，解方程Α(f,g,h,m)=(p,q,r,s)可得:

(7)

因此Α-1存在。根據Sobolev嵌入定理[8]，Α-1在H中是緊的。由Lumer-phillips定理[9]得：Α在H上生成C0-壓縮半群。

接下來證明系統(2)是漸近穩定的。根據文獻[10]可知：只要證明算子Α在虛軸上無特征值即可。事實上，假設

Α(f,g,h,m)=iz(f,g,h,m),(f,g,h,m)∈D(Α)

其中z∈R，可以得到(f,g,h,m)滿足如下的方程組:

(8)

如果z=0,則f=g=h=m=0。現在假設z≠0,在式(8)前兩個等式兩邊分別與f,h做內積,可得:

(9)

另一方面，利用分部積分公式，有:

(10)

比較式(9)和(10)可知:

(11)

化簡可得:

(12)

比較式(12)等號兩邊的虛部可知-izk|f(1)|2=0,由于k≠0,z≠0，故f(1)=0。由式(8)得(f,h)的解:

(13)

其中系數c1、c2、c3、c4滿足如下的齊次線性方程組:

(14)

要使得方程組(13)只有零解，當且僅當方程組(14)的系數矩陣的秩為4， 即系數矩陣中有一個四級子式不為0。上述方程組的系數矩陣為:

它的四級子式分別為：

4isinz(zsinz-ccosz)

4isinz

4sinz(csinz+zcosz)

4cosz(zsinz-ccosz)

4(zsinz-ccosz)

若sinz≠0，則|A2|≠0,結論成立；若sinz=0，則cosz≠0，于是|A4|≠0，故方程組只有零解。表明Α在虛軸上沒有譜，所以eΑt是漸近穩定的。

注記1 若Α為由式(4)定義的算子，則eΑt不是指數穩定。

事實上，對任意的λ∈σ(Α)，解Sturm-Liouville問題:

Α(f,g,h,m)=λ(f,g,h,m),(f,g,h,m)∈D(Α)

(15)

與定理1的第二部分證明類似，f,h式中的系數滿足如下條件：

(16)

如果上述方程組有非零解，當且僅當系數矩陣的行列式值為零，即:

(c+λ)(k+2)e2λ+(2-k)(c-λ)e-2λ-2kλ=0

這就等價于:

(17)

只考慮下面1種情況:

(18)

根據Rouche定理[11]，得到如下的漸近表達:

λ=λn=nπi+O(n-1),n→∞

(19)

將式(19)代入式(18)，可以得到O(n-1)所滿足的條件為:

(20)

結合式(19)，可得:

(21)

這里n是整數。由此可得系統(2)不是指數穩定的。