被動式電液加載系統的變剛度自適應控制

張 旭，金曉宏,，陶登陽，陳帥杰

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430081)

電液加載系統(以下簡稱“加載系統”)作為電液負載模擬器的核心部分，其作用是準確地產生期望的加載力并施加于承載對象。該系統廣泛運用于航天、航海和軍工等領域，故在保證系統穩定性的前提下對其頻寬和精度也有很高的要求[1]。電液伺服加載系統中最常用的是PID控制，其具有工作可靠及易于實現等優點，但只適用于結構簡單且參數不變的線性系統。加載系統是一個復雜的非線性系統，在工作過程中其負載、壓力以及外部干擾等因素不斷變化，系統參數在較大范圍內是時變的，此條件下如何保證系統的穩定以及高響應、高精度等性能是目前的研究重點。

模型參考自適應控制(model reference adaptive control, MRAC)是針對時變參數系統的一種較好的控制方法，其主要是根據被控對象與參考模型的輸出誤差而不斷調整控制器的參數，從而抑制被控對象的參數變化和外干擾帶來的不利影響。近年來，MRAC方法被廣泛運用于加載系統中。例如，蘇世杰等[2]針對電液伺服萬能試驗機力控系統設計的MRAC控制器，抑制了試樣剛度差異引起的系統特性變化；稅洋等[3]設計的基于MRAC的舵機加載系統能有效抑制干擾并且頻寬得到了較大幅度的提升；廖輝等[4]設計了一種能自動調整補償控制結果的MRAC控制器，并成功應用到了深海鉆井作業的鉆柱運動補償系統中，大幅度提高了鉆壓補償的精度；楊儉[5]將MRAC算法運用于液壓壓力機控制系統中，提高了系統的動態特性、魯棒性及抗變載能力。

本文以被動式加載系統為研究對象，其存在的主要問題包括：①由于系統中的質量彈簧負載為一個二階微分環節，系統的幅-頻曲線在負載固有頻率處發生轉折從而導致綜合固有頻率處的諧振峰值抬高，系統的幅值裕度小，穩定性差；②負載剛度和液壓剛度變化引起的穿越頻率降低，系統頻寬窄；③位置擾動導致系統控制精度差。本文擬采用MRAC方法，在有位置擾動和系統參數變化的情況下，使被動式加載系統能穩定地跟隨理想參考模型，并且具有較快的響應速度和較高的控制精度。

1 被動式加載系統的工作原理

被動式加載系統的工作原理如圖1所示。系統指令信號Ur經過控制器和伺服放大器產生控制信號，以控制電液伺服閥的閥芯位移xv，進而控制負載流量qL；負載流量進入液壓缸使得兩腔產生壓差pL并作用在活塞端面上，從而產生輸出力F；輸出力由力傳感器檢測得到力反饋信號Uf，并與指令信號比較產生偏差信號Ue。整個控制過程為閉環負反饋控制。同時，系統受到被加載對象的位置擾動力Fp，在其作用下產生的強制位移xf與輸出力F的方向相反。另外，圖1中ps為供油壓力，p0為回油口壓力。

圖1 被動式加載系統的工作原理圖

2 系統數學模型及其特性分析

2.1 數學模型

根據文獻[6]中伺服放大器、力傳感器以及閥控缸的數學方程可以得到圖2所示的被動式加載系統控制框圖。

圖2 被動式加載系統的控制框圖

同時，還可以得出輸出力F的拉氏域表達式：

(1)

式中：I=AKaKsvKq；G=A2K；H=mVt/(4Ee)；Y=mKce+BVt/(4Ee)；M=A2+KceB+KVt/(4Ee)；N=KceK；A為液壓缸活塞有效工作面積，m2；Kq為伺服閥閥口流量增益，(m3/s)/m；Ka為伺服放大器增益，A/V；Ksv為伺服閥閥芯位移-電流增益，m/A，伺服閥的固有頻率遠大于液壓固有頻率，故將其看作比例環節；m為活塞及負載折算到活塞上的總質量，kg；B為活塞及負載的黏性阻尼系數，N/(m/s)；K為負載彈性剛度，N/m；Xp為被加載對象的位移，m；Vt為液壓缸總容積，m3；Ee為油液有效體積彈性模量，Pa；Kce為總流量-壓力系數，(m3/s)/Pa。

加載系統中的負載剛度為被加載對象的彈性剛度K1、加載系統活塞桿的剛度K2以及包含力傳感器的連接環節的剛度K3共同串聯后的綜合剛度：

(2)

2.2 系統誤差分析

式(1)表示的系統輸出力主要由兩部分組成：一部分是由指令信號Ur經控制器、伺服放大器、電液伺服閥、液壓缸而產生的負載壓力作用在活塞上的輸出力；另一部分是由位置擾動xp所引起的誤差。由式(1)可得,沒有位置擾動時的加載系統開環傳遞函數為：

(3)

由式(3)可知，加載系統開環傳遞函數不含積分環節，是一個0型有差系統，由于系統本身結構所引起的穩態誤差ess1為：

(4)

式中：Kf為力傳感器增益，V/N。

由位置擾動xp引起的穩態誤差ess2為：

(5)

系統的總穩態誤差ess=ess1+ess2，穩態誤差的存在使系統的輸出力無法準確跟蹤指令力，系統精度較差。

2.3 參數變化時的系統特性分析

下面以一具體的被動式加載系統(部分參數見表1[7])為例進行系統特性分析。

由文獻[8]可知，液壓剛度是隨著活塞位移的變化而改變的，加載系統的液壓彈簧剛度為：

(6)

式中：Vt01和Vt02分別為活塞處于初始位置時液壓缸兩腔的初始容積，m3；x為活塞的位移，m。

根據式(6)以及表1中的系統參數得到活塞位移x在液壓缸行程S=0.1 m范圍內Kh隨x的變化曲線，如圖3所示。將液壓缸行程分成S1=0～10 mm、S2=10～90 mm和S3=90～100 mm三段。由圖3可見，Kh在S1段內急劇減小，在S2段內變化緩慢，在S3段內急劇增大；整個

表1 系統參數

變化曲線以x=50 mm為中心呈對稱變化，活塞處于中間位置時Kh最小，活塞處于液壓缸兩端時Kh最大。系統活塞主要在S2段內工作，故以下取活塞位于中間位置時的液壓剛度即Kh=56.3 MN/m對系統特性進行分析。

圖3 Kh隨x的變化曲線

加載系統活塞桿的剛度K2為：

(7)

式中：E為活塞桿材料彈性模量，E=201 GPa；L為活塞桿長，L=0.15 m。

(8)

根據式(8)中所滿足的條件，式(3)可簡化為：

(9)

由式(9)可知系統主要由一階慣性環節、二階微分環節和二階振蕩環節組成，三個環節的轉折頻率ωr、ωm和ω0的表達式中均含有K和Kh，故當K和Kh變化時，系統特性也會隨之改變。ωr、ωm和ω0隨K從0增至51.0 MN/m時的變化曲線如圖4所示。

圖4 系統轉折頻率隨K變化的曲線

Fig.4Variationcurvesofthesystem’scornerfrequencieswithK

由圖4可見，與ω0相比，ωr和ωm較小。由于系統的主要工作頻率范圍在ωr和ωm之間，故系統工作頻率范圍很窄，并且ωm與ω0的距離大，致使在伯德圖上ω0處的諧振峰值很大，甚至可能超過零分貝線，此時系統需要校正才能穩定，通常加入雙慣性環節進行校正[9]。但是加入雙慣性環節只能提高系統的穩定性，系統的頻寬仍然很小。

另外，由圖4還可見，隨著K的增大，三個轉折頻率都在增大，但由于ωm比ωr和ω0增加的幅度大，故ωm與ωr的距離逐漸增大，系統工作頻率范圍變寬，即頻寬變大，而ωm與ω0的距離逐漸減小，ω0處的諧振峰值降低，系統幅值裕度增大，故K越大，系統的穩定性和快速響應性越好。由于增加K受到被加載對象和加載系統本身活塞桿剛度限制，故通過提高K來提高頻寬是有限的。

3 參考模型的選取

針對加載系統的參數如K和Kh的變化導致系統的穩定性、頻寬以及精度等動態特性差的問題，本文采用MRAC策略。作為被控對象所跟隨的理想模型，參考模型的選取非常重要，其決定了控制律的復雜程度以及控制器的效果。通常參考模型選擇與被控對象相同階次，但這樣一來，當被控對象階次較高時，參考模型的階次也較高，于是很難根據性能指標進行參考模型的設計，并且自適應控制律也很復雜[10]。

由式(3)可知，作為被控對象的加載系統是一個三階系統，由于高階系統的分析和設計比較復雜，故采用高階系統跟蹤低階參考模型的方法。選取二階參考模型：

(10)

式中：ωn為參考模型固有頻率，rad/s；ζ為參考模型阻尼比，取ζ=0.707。

ωn有兩種選取方案：

(1)以根據系統液壓缸和負載質量及剛度為主要參數所構成的響應頻率作為參考模型的固有頻率，這樣可以有效地發揮液壓動力機構響應頻率高的優勢。由表1參數計算得液壓動力機構的液壓固有頻率為529.15 rad/s，故可取ωn=529 rad/s。

(2)參考模型是加載系統跟隨的標準，其頻寬的取值影響自適應控制的效果，頻寬過小則加入自適應控制后的系統響應太慢，頻寬過大則系統跟不上參考模型的響應，故選取系統在主要行程范圍內工作時的液壓剛度和負載剛度即Kh=56.3 MN/m、K=51.0 MN/m對應的頻寬作為參考模型的頻寬。由文獻[11]中-10°相移頻率的計算公式，并將表1中系統參數代入計算得到系統在雙十標準[12](幅值衰減10%或者相位滯后10°)下的-10°相移頻率ω-10°=62.8 rad/s，結合阻尼比ζ=0.707得到：

(11)

綜合兩種選取方案后選擇ωn=520 rad/s，至此，可以得到如下參考模型：

(12)

式(12)中分母的各項系數均大于0，二階參考模型穩定，并由二階系統響應性能指標計算公式得到上升時間tr=4.2 ms，最大超調量Mp=4.32%，調整時間ts=11.6 ms。由于ζ<1，故參考模型為二階欠阻尼系統，穩態誤差ess=0。參考模型上升時間和調整時間短，超調量小，動態性能好。

4 自適應控制器的設計

加載系統的狀態方程及傳遞函數為：

(13)

式中：xp為系統狀態向量；u為控制向量；yp為輸出向量；Ap為狀態矩陣；bp為輸入矩陣；h為輸出矩陣；Np(s)和Dp(s)分別為二階和三階且首項系數為1的多項式；Kp為加載系統增益，Kp>0。

參考模型的狀態方程及傳遞函數：

(14)

式中：Am、bm、xm、yr為參考模型的狀態矩陣、輸入矩陣、狀態向量、輸入向量；ym為參考模型輸出向量；Dm(s)為二階首項系數為1的多項式；Nm(s)=1；Km為參考模型系統增益，Km>0。

參考模型自適應控制框圖如圖5所示。加載系統與自適應控制器共同組成可調系統，根據Narendra穩定自適應控制理論[13]，為了使可調系統與參考模型完全匹配，控制器由可調增益K0與兩個反饋補償器F1和F2組成，其中F1的輸入取自加載系統的控制信號u，F2的輸入取自加載系統的輸出yp。參考模型與可調系統的輸出誤差e經過自適應機構(實質上是一個自適應律)實時不斷地修正可調增益K0以及反饋補償器F1和F2的可調參數，F1和F2的輸出信號w1和w2

圖5 參考模型自適應控制框圖

不斷更新并反饋回指令端，直到誤差e穩定地收斂為零。

反饋補償器F1的狀態方程及傳遞函數為：

(15)

反饋補償器F2的狀態方程及傳遞函數為：

(16)

可調系統的綜合輸入信號u為：

(17)

加載系統Gp(s)、可調增益K0、兩個反饋補償器F1和F2共同組成的可調系統傳遞函數GN(s)為：

(18)

式中：X=[Df(s)-Nc(s)]Dp(s)；Z=[Nd(s)-d0Df(s)]KpNp(s);W=K0KpDf(s)Np(s)。

當參考模型與可調系統完全匹配，即Gm(s)=GN(s)時，可得匹配條件：

(19)

可調參數向量可以表示為：

θ=θ*+θc

(20)

可調系統狀態方程可表示為：

(21)

由式(17)、式(20)和式(21)可以得到可調系統增廣狀態方程：

(22)

其中：

由式(20)可知當θc=0時，可調系統與參考模型完全匹配，則參考模型增廣狀態方程及傳遞函數為：

(23)

可調系統增廣狀態方程和參考模型增廣狀態方程的差值則為誤差增廣狀態方程：

(24)

(25)

根據模型參考自適應控制理論，需要保證增廣誤差模型Ge(s)是嚴格正實的。由式(25)可知，Ge(s)是否嚴格正實取決于Gm(s)是否嚴格正實，這就要求Gm(s)分子、分母的階數差不得大于1。為了使Ge(s)嚴格正實，引入穩定多項式L(s)=s+b0，此時

(26)

將Gm(s)L(s)在Re(s)≥0域內解析，令s=jω，則有：

(27)

式中：C=a0b0+(a1-b0)ω2；D=(a0-a1b0)ω-ω3；I=a0-ω2；R=a1ω。

根據嚴格正實定理中Re[Gm(s)L(s)]>0，可求出b0的取值范圍為b0≤a1，由式(12)可取臨界值b0=353.5，則引入穩定多項式L(s)后的增廣誤差模型為：

(28)

式中：ζ1=L-1(s)φ

選取Lyapunov能量函數為：

(29)

式中：Γ、P為待定正定對稱陣，Γ=RJ，R為自適應系數，J=diag(1，1，1，1)。

對V求導，并將式(28)代入后得：

(30)

根據正實性引理，加入了穩定多項式后的增廣誤差模型Ge(s)為嚴格正實的，則存在正定對稱矩陣P和半正定對稱矩陣Q使得下式成立:

(31)

將式(31)代入式(30)中可得：

(32)

由式(31)可得出自適應控制律為：

(33)

根據Lyapunov穩定性理論，式(33)表示的自適應律能保證加載系統與自適應控制器組成的可調系統全局漸進穩定。由式(17)、式(20)和式(33)可以得到可調系統綜合控制信號u為：

(34)

圖6為增廣誤差模型等價控制框圖，誤差模型的輸入為可調參數向量的初始值θc0(此初始值為定值，只是為了使可調參數快速逼近理想參數)與信號向量ζ1的乘積，輸出為誤差e，其通過式(33)所示的自適應律不斷調節控制器中的參數θc，直到可調系統和參考模型完全匹配，兩者的輸出誤差為零。

圖6 增廣誤差模型等價控制框圖

Fig.6Equivalentcontrolblockdiagramofaugmentederrormodel

5 仿真與討論

上文的自適應控制器完全是基于系統結構形式所設計的，故具有通用性并適用于絕大部分的加載系統。現仍以表1所示的加載系統參數對本文提出的模型參考自適應控制方法進行仿真驗證，利用Matlab/Simulink軟件進行數值仿真，采用ode23s變步長算法并取最大步長為1×10s，計算相對誤差為1×10。

5.1 自適應系數不同時系統跟隨參考模型的效果

根據文獻[14]中對自適應系數R的選擇方法，在R分別為10、50、500和1000時，對輸入幅值為6 kN的階躍信號進行仿真，結果如圖7和圖8所示。

圖7 加入自適應控制后系統在不同R值時的階躍響應

Fig.7StepresponsesofthesystemwithadaptivecontrolatdifferentRvalues

圖8加入自適應控制后系統在不同R值時與參考模型的誤差

Fig.8ErrorsbetweenthesystemwithadaptivecontrolandthereferencemodelatdifferentRvalues

從圖7和圖8可見，加入自適應控制后的系統能很好地跟隨參考模型，跟隨誤差e最終收斂為零并且一直保持穩定。由表2所示的誤差指標可知，隨著自適應系數R的增大，收斂速度更快，誤差最大值也越小，即系統跟隨效果越好；但與R=500相比，R=1000時的誤差最大值和收斂時間的下降幅度已經非常小了，也就是說，R>1000時系統的跟隨效果不會再有較大程度的提升。由于R=1000時的誤差最大值和收斂時間已經能滿足準確并快速跟隨參考模型的目的，故在后面的仿真分析中自適應系數R均取為1000。

表2 不同R值時的誤差指標

5.2 不同參數條件下加入自適應控制器的前后對比

活塞位移x在50、75、99 mm處對應的液壓剛度Kh分別為56.3、75.0、1420 MN/m，同時考慮3種負載剛度K(5.10、25.5、51.0 MN/m)，以Kh=56.3 MN/m、K=51.0 MN/m為基準分別選取如表3所示的5組K和Kh值進行仿真。

表3 仿真參數(單位：MN/m)

取R=1000，加入自適應控制前后的系統對輸入幅值為6 kN的階躍信號的仿真結果如圖9所示，系統的動態性能指標如表4所示。

(a) K=5.10 MN/m，Kh=56.3 MN/m

(b) K=25.5 MN/m，Kh=56.3 MN/m

(c) K=51.0 MN/m，Kh=56.3 MN/m

(d) K=51.0 MN/m，Kh=75.0 MN/m

(e) K=51.0 MN/m，Kh=1420 MN/m

圖9系統加入自適應控制前后在不同K和Kh值時的階躍響應

Fig.9StepresponsesofthesystemswithandwithoutadaptivecontrolatdifferentKandKhvalues

表4加入自適應控制前后系統的動態性能指標

Table4Dynamicperformanceindexesofthesystemswithandwithoutadaptivecontrol

編號原系統tr/msts/msess/% 加入自適應控制后的系統tr/msts/msess/%154.685.88.334.814.60.03210.743.68.334.814.60.0338.038.78.334.814.60.0348.756.38.334.814.60.03510.459.58.334.814.60.03

由表4可知，當K和Kh變化時原系統的動態響應有較大的變化；Kh一定時，K越小，tr和ts越大；K一定時，Kh越大，tr和ts越大；K=51.0 MN/m、Kh=56.3 MN/m時，原系統的動態性能相對最好；5組參數下的原系統穩態誤差均為8.33%，表明系統精度很差。而加入自適應控制后，系統在5組參數下的響應表現出極佳的一致性，其tr和ts相比原系統動態性能最好時的情況有大幅度降低，并且穩態誤差非常小。由此可見，模型參考自適應控制能有效抑制系統參數K和Kh變化所帶來的不利影響，縮短系統上升時間和調整時間，減小穩態誤差。

5.3 位置擾動下加入自適應控制器的前后對比

取K=51.0 MN/m、Kh=56.3 MN/m和K=5.10 MN/m、Kh=56.3 MN/m兩組參數，分別在50 ms和60 ms時加入速度為0.5 m/s的斜坡位置擾動，令R=1000，原系統和加入自適應控制的系統對輸入幅值為6 kN的階躍信號的仿真結果如圖10所示。圖中，曲線1和2為原系統響應，由位置擾動引起的最大輸出誤差達到了44.15 kN，加入位置擾動后原系統分別在46 ms和77 ms后再次達到穩態，達到穩態后的誤差為35.12 kN，遠大于期望輸出力；曲線3和4為加入自適應控制后的系統響應，經過自適應控制器的調節，由位置擾動引起的最大輸出誤差分別為0.38 kN和0.58 kN，分別在30 ms和35 ms后再次達到穩態，達到穩態后的誤差接近于0。仿真結果進一步驗證了模型參考自適應控制的有效性。

圖10 加入自適應控制前后系統在位置擾動下的階躍響應

Fig.10Stepresponsesofthesystemswithandwithoutadaptivecontrolunderdisplacementdisturbances

6 結論

(1) 所研究的電液加載系統的液壓剛度在活塞位移為10～90 mm時變化很小，故取活塞位于中間位置時的液壓剛度分析系統特性，發現負載剛度越大，系統頻寬越大且穩定性越好。

(2) 加入自適應控制后，系統能很好地跟隨參考模型并且跟隨效果與自適應系數R有關。R越大，系統與參考模型的誤差e的收斂時間越短，但是當R>1000時，系統跟隨效果不會再有較大幅度的提升。R=1000時誤差e的最大值和收斂時間分別為0.28 kN和2.1 ms，即系統能準確并快速地跟隨參考模型。

(3)加入自適應控制前，系統由于自身結構引起的穩態誤差為8.33%，并且隨著負載剛度K的減小和液壓剛度Kh的增大，系統的上升時間和調整時間增大，系統特性變差。加入自適應控制后，系統在5組參數下的階躍響應幾乎一致，上升時間和調整時間分別為4.8 ms和14.6 ms，穩態誤差為0.03%。因此，模型參考自適應控制能大幅度改善加載系統特性并且使系統在參數變化時有非常好的適應性。

(4)在2組參數下，加入自適應控制后，系統由速度為0.5 m/s的斜坡位置擾動所引起的最大誤差僅為0.38 kN和0.58 kN，經過控制調節，分別于30 ms和35 ms后再次達到穩態，穩態誤差接近于0。故自適應控制器能大幅度減小由位置擾動引起的誤差并且調節時間很短，有效提高了加載系統在位置擾動下的控制精度。