構(gòu)造斜率的解題應(yīng)用

朱帥

【摘要】 近幾年全國卷和大多數(shù)省高考卷中，有關(guān)數(shù)形結(jié)合的問題占的比例很大，靈活運用數(shù)形結(jié)合能起到事半功倍的效果.而構(gòu)造斜率是數(shù)形結(jié)合中應(yīng)用非常廣泛的一類.尤其是壓軸題，往往考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而其中又常常涉及求參數(shù)的取值范圍，如果需要分類討論，就會讓很多學(xué)生覺得無從下手，如果能將這類問題轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍，借助圖形會減少許多思維過程和計算過程，達到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果.

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造;分式;斜率

一、構(gòu)造斜率在數(shù)列中的應(yīng)用

例1?? 在等差數(shù)列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110.

分析? 等差數(shù)列前n項和公式Sn=An2+Bn，則 Sn n =An+B可以看作關(guān)于n的一次函數(shù).

解? ∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn=An2+Bn，∴ Sn n =An+B，數(shù)列? Sn n? 是等差數(shù)列，點A 10， S10 10? ，B 100， S100 100? ，C 110， S110 110? 在同一直線上，由kAB=kAC，

得? S100 100 - S10 10? 100-10 =? S110 110 - S10 10? 110-10 ，∴? 10 100 - 100 10? 100-10 =? S110 110 - 100 10? 110-10 ，求得S110=-110.

點評? 本題關(guān)鍵是善于將Sn轉(zhuǎn)化為 Sn n =An+B，得到關(guān)于n的一次函數(shù)，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力.

二、構(gòu)造斜率在求值域中的應(yīng)用

例2?? 求函數(shù)y= sinθ-1 cosθ-2 的值域.

分析? 我們可以把 sinθ-1 cosθ-2 看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率.

解?? sinθ-1 cosθ-2 可看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率，且點P在圓x2+y2=1上運動，過定點A作圓的兩條切線AP1，AP2，則AP1斜率最小，最小值為0，AP2斜率最大，設(shè)AP2斜率為k，則直線AP2的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，直線AP2與圓x2+y2=1相切，圓心O（0，0）到直線AP2的距離d= |2k-1|? 1+k2? =1，求得k=0或k= 4 3 ，所以函數(shù)的值域為 0， 4 3? .

點評? 本題關(guān)鍵是觀察分式 sinθ-1 cosθ-2 的特點，發(fā)現(xiàn)分式可看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率，且點P在圓x2+y2=1上運動，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形問題，簡化了計算，通過求圓的切線斜率解決問題.

三、構(gòu)造斜率在不等式中的應(yīng)用

例3?? 已知a，b，m都是正數(shù)，并且a<b，求證： a+m b+m > a b .

分析? 對問題我們可以把 a+m b+m 看成是經(jīng)過P（b，a），Q（-m，-m）兩點的直線的斜率.即kPQ= a+m b+m ，把 a b 看成是經(jīng)過點P（b，a），O（0，0）兩點的直線的斜率.即kPO= a-0 b-0 = a b .（如圖所示）

證明? 如圖所示，∵0<a<b，

∴點P（b，a）在第一象限，

且必在直線y=x的下方.

又因為m>0，所以點Q（-m，-m）在第三象限且必在直線y=x上，連接OP，PQ，則直線OP的斜率為 a b ，直線PQ的斜率為 a+m b+m .因為直線PQ的傾斜角大于直線OP的傾斜角，所以 a+m b+m > a b .

點評? 構(gòu)造斜率模型解決代數(shù)問題的關(guān)鍵在于挖掘并抽象出代數(shù)表達式的斜率意義，本題中的分式形式使得斜率模型的建立具備了“先天”的優(yōu)勢.

例4?? 若a= ln2 2 ，b= ln3 3 ，c= ln5 5 ，則（? ）.

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

解? 因為 lnx x = lnx-0 x-0 ，表示函數(shù)y=lnx的圖像上的點（x，y）與坐標(biāo)原點O連線的斜率，如圖所示，則a=kOA，b=kOB，c=kOC，由圖像可知：kOC<kOA<kOB，即c<a<b，故選C.

點評? 本題的關(guān)鍵是觀察三個分式的特點，發(fā)現(xiàn)a，b，c可以作為函數(shù)y= lnx x 在x=2，x=3，x=5三點的函數(shù)值，即三條直線OA，OB，OC的斜率.也可以考查函數(shù)y= lnx x 的單調(diào)性，即利用它的導(dǎo)數(shù)來嚴格求解，但對于選擇題、填空題，用數(shù)形結(jié)合的思想將問題轉(zhuǎn)化為過曲線y=lnx上的點與原點的直線的斜率，問題便可直觀、簡捷地解出，但圖形須相對準(zhǔn)確.

構(gòu)造斜率只是解決恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍的一種方法，并非適用于所有的問題，但是如果條件適合，構(gòu)造斜率往往能讓我們變抽象為直觀，減少分類討論的麻煩，甚至簡化許多煩瑣的計算，達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]胡小平，章敏.構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題的功能研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（3x）：46-47.

[2]劉有良.構(gòu)造解析幾何模型解代數(shù)問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002（s）：50-51.