基于波原子稀疏優化與組稀疏表示的壓縮感知算法

胡春海，馬雙娜，李永發

(燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著信息技術迅猛發展，人們對信息的需求日益劇增，從模擬到數字信號的轉換一直嚴格遵守采樣率必須達到超過信號頻率2倍的奈奎斯特采樣定理才能滿足信號的準確重建。傳感系統為獲得更精準的信號，需要處理的數據量大大增加，對其信號處理的能力提出了更高要求，也給相應硬件設備帶來極大的挑戰。為解決以上問題，學者們提出了一種壓縮感知[1-2]理論。壓縮感知指出信號可以通過遠低于奈奎斯特定理的采樣頻率來恢復和重建。它能夠大大降低信號采樣頻率、信號處理時間以及計算、儲存和傳輸數據的成本。壓縮感知通過對信號的采樣實現數據壓縮，壓縮后的信號更有利于傳輸和儲存，壓縮信號通過特定的壓縮感知重構算法進行信號重建，只需要對數據進行測量就可以對原始信號實現高壓縮比、高效率的數據處理。2014年Zhang提出組稀疏表示(Group-based Sparse Representation，GSR)[3]的圖像壓縮感知算法。根據自然圖像的非局部相似性，將圖像分塊并尋找每個相似塊組的稀疏表示進行壓縮感知。傳統的組稀疏重構算法缺乏對圖像整體稀疏性的研究，本文提出一種約束矩陣對圖像的波原子變換系數進行約束實現圖像稀疏化預處理，并采用組稀疏表示的圖像重構算法進行實現圖的壓縮感知重建。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論主要包括三個方面：信號的稀疏表示、測量矩陣的設計和重建算法[4]。信號可以進行壓縮感知的必要條件為信號能夠在某特定的變換域中稀疏表示[5]或自身稀疏。壓縮感知利用測量矩陣[6]對信號進行測量獲得測量值，測量矩陣要求符合約束等距性條件(Restricted Isometry Property,RIP)[7]，最后通過壓縮感知的重構算法完成信號重建。

1.1 稀疏表示

信號本身一般不是稀疏的，但是能夠通過某種變換使其稀疏。文獻[1]中Donoho指出：如果信號x∈RN×1，在變換域Φ中有L個非零系數，且信號x在變換域Φ中是L-稀疏的，則稀疏表示能夠使信號通過在變換域中用有限的基函數表示。正交變換基Ψ下信號x的稀疏表示為

x=Ψ·s，

(1)

s是稀疏向量，采用測量矩陣Φ(大小為M×N)對x進行采樣，則有

y=Φ·Ψ·x。

(2)

得到測量值y中包含重構x所需的信息，其中Φ與Ψ不相干。常用的稀疏表示方法有離散余弦變換、傅里葉變換和小波變換[8-9]等。

1.2 測量矩陣

若滿足信號重建要求，稀疏變換矩陣Ψ和測量矩陣Φ則需要具有不相干性，且測量矩陣Φ要求滿足RIP特性。對任意的l=1，2，…，L，定義矩陣Φ的等距常量δl為滿足下式的最小值：

(3)

式中，x為L項稀疏向量，0<δl<1，稱矩陣Φ滿足l階RIP。

壓縮感知中用作測量矩陣的有隨機高斯矩陣、哈達瑪矩陣、伯努利矩陣和Toplitz矩陣[10]。等。隨機測量矩陣的列數遠遠大于行數M?N,當測量數M≥clog(N/K)時,便會以極大的概率滿足RIP條件，且隨機高斯矩陣Φ與大多數變換基矩陣Ψ高度不相關。Candes等[11]證明在壓縮感知中高斯隨機測量矩陣能夠以很大概率滿足RIP特性，可以作為普適的測量矩陣。

1.3 重構算法

測量值y經過儲存傳送等過程，最后需要在終端進行重構。由y重構信號x的方程屬于欠定問題，未知數遠遠大于方程數量導致方程存在無數解。故可以將問題轉換為由y恢復s，因為s是k稀疏的且未知數遠小于x。稀疏過程為

y=Φx=Φ·Ψ·s。

(4)

根據以上條件可以從y中采取非線性優化的方法來恢復信號x。壓縮感知信號重構問題最直接有效的方法是利用最優l0范數式的方法來重構稀疏信號s，即

xopt=Ψsopt，

(5)

sopt=arg min‖s‖0s.t.ΦΨs=y。

(6)

這是壓縮感知的核心思想，壓縮感知由少量線性測量通過求解最優化問題(5)直接得到信號x的壓縮表示，使得超高分辨率信號獲取成為可能。在此利用最優l0范數重構信號方法的基礎上又提出了范數類、匹配追蹤類等各類壓縮感知算法[12]。

2 組稀疏表示壓縮感知算法

圖1 圖像塊與圖像塊組
Fig.1 Image block and image block group

(7)

引入平衡參數λ將式(7)轉換為無約束問題：

(8)

采用迭代收縮閾值算法求解，利用式(9)重構圖像：

(9)

3 波原子變換稀疏優化

3.1 波原子變換

由于小波基無法較好地去逼近奇異性曲線，二維圖像通過小波變換進行表示時造成圖像幾何特征會包含不同的小波系數子帶，導致圖像的小波變換并不能很好的用于稀疏表示。2007年Demanet等人提出了波原子變換[15]，波原子振蕩周期和支撐域尺寸滿足關系：wavelength≈(diameter)2。波原子可以看作方向小波與Garbo原子的“插值”形式，相對與Bendelet、Contourlet和曲波等對圖像的紋理細節信息有更好的稀疏表示[16]。

在二維波原子變換中：

(10)

(11)

(12)

二維波原子變換系數：

(13)

在j=3，m=(3,2)的尺度下二維波原子基函數的空域和頻域圖形如圖2所示。

圖2 二維波原子基函數圖形
Fig.2 2-D wave atoms basic function graph

波原子具有最優表示圖像方法的特征，能夠很好的非線性逼近奇異值曲線，對紋理細節信息表征優于曲線波。圖3(a)為大小為256×256的指紋圖像,(b)、(c)為分別經小波變換和波原子變換后以最大的512個系數的重構圖像。

圖3 圖像小波變換與波原子變換重構結果
Fig.3 Image wavelet transform with wave atoms transform reconstruction results

3.2 優化矩陣設計

波原子變換可以使數據變得稀疏，但稀疏后數據壓縮感知重建效果仍不太理想。根據變換域系數數據顯示逐漸遞減的趨勢，所以對波原子變換較小系數進行抑制[17]。因此針對變換系數特點設計了系數約束矩陣：

(14)

系數約束矩陣為n維的對角矩陣，m為所在行數。其中變量j滿足

(15)

圖像經過波原子變換得到圖像波原子變換系數，波原子變換系數乘以約束矩陣得到優化后波原子變換系數。圖4為圖像barbara.bmp的波原子變換系數，圖5～6為系數抑制與逆抑制結果，從圖4～6對比可以看出優化后波原子變換系數中較小系數被抑制，變換系數稀疏度大大改善，此優化稀疏過程可逆。

圖7為圖像barbara.bmp與圖像經過波原子稀疏優化后結果，波原子稀疏優化增強圖像稀疏性。

圖4 圖像波原子變換系數
Fig.4 Image wave atoms coefficients

圖5 波原子系數抑制結果
Fig.5 Wave atoms coefficients suppression result

圖6 波原子系數逆抑制結果
Fig.6 Wave atoms coefficients inverse suppression result

圖7 原圖像與波原子稀疏優化結果
Fig.7 The original image with wave atoms transform sparse optimization results

4 仿真實驗

仿真實驗硬件環境為Intel Pentium E5405,CPU 2.5G主頻，4G內存的計算機，軟件環境為Win10 64位操作系統，MATLAB R2012a。本文采用大小為256×256的barbara等國際標準灰度圖像進行壓縮感知重建的仿真實驗。為了消除實驗隨機性，實驗結果取在相同的采樣率下200次的平均值，實驗以峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作為圖像質量評價指標。

算法具體實現步驟：

1) 構建抑制矩陣對原始圖像進行波原子變換系數稀疏優化并重建；

2) 對圖像按像素大小為32×32分塊并重組，采用高斯測量矩陣壓縮采樣；

3) 自適應字典學習獲取字典DGk；

4) 通過本文算法重構原圖像；

5) 對重構圖像進行波原子系數逆抑制，恢復原圖像。

表1為barbara等4幅圖像在采樣率為0.1、0.2和0.3下GSR算法和本文方法實現圖像壓縮感知重構實驗結果，從實驗得到的重構圖像PSNR相比較可以看出，本文方法在采用不同圖像和不同采樣率情況下重構圖像質量均明顯高于GSR算法。由于圖像本身復雜程度和稀疏程度不同，重構圖像質量有所差異。

表1 圖像壓縮感知重構PSNR

Tab.1 Image comprised sensing reconstruction PSNR dB

圖8為采樣率為0.08的實驗結果，從以上4組實驗重構圖像結果可以看出GSR算法在較低采樣率下無法準確恢復圖像邊緣紋理等信息，本文算法相較于GSR算法能更有效地恢復原圖像的細節邊緣部位，重構圖像質量更清晰。

圖8 圖像壓縮感知重構結果
Fig.8 Image compressed sensing reconstruction results

圖9為圖像barbara由GSR算法和本文方法在采樣率0.05到0.5下的重構質量對比結果。從圖9中可以看出本文算法相較于原有的GSR算法在不同的采樣率下的PSNR均有所提高，尤其在低采樣率下效果明顯高于GSR算法。

圖9 圖像重構質量對比
Fig.9 Image reconstruction quality

從圖8和圖9實驗結果可以看出本文算法對于不同的圖像在各個采樣率下的重建效果相較于原有的算法重構質量更好,在相同采樣率下峰值信噪比更高，能夠更好地恢復圖像紋理細節信息，峰值信噪比更高。

5 結論

本文提出一種基于波原子系數稀疏優化的組稀疏表示圖像壓縮感知算法，通過構建一種約束矩陣對圖像波原子變換系數進行約束使得圖像變得更加稀疏。圖像的整體稀疏性增強能夠有效地提高圖像壓縮感知重構算法圖像重構質量，仿真實驗表明在相同采樣率下本文算法較GSR算法具有更高的峰值信噪比，使得圖像的重建效果更好，尤其是在低采樣率下表現出的對圖像邊緣細節恢復能力更高，從而使得本文方法能以更低采樣率實現滿足需求的圖像壓縮。