預防套管變形的許用壓裂注入壓力計算方法

沈新普 張 平

1. 中國石油大學（華東） 2. 天津辰興工程技術有限公司 3. 中國石油集團川慶鉆探工程有限公司工程技術部

0 引言

套管是油氣井設備的核心部件之一，對井壁及井孔內部的其他設備有支撐和保護作用。由于某些特殊地層載荷因素、固井質量因素以及套管的設計等諸多因素的影響，按照常規設計的套管有時候會發生嚴重的塑性變形而導致相關施工及生產不能正常進行。多年來，這個問題引起了石油工程界的廣泛關注并得到了若干研究者較深入的研究[1-5]。

2011年以前，研究者主要關注常規油氣生產相關的套管完整性問題。高德利等[1,3-4]討論了套管及鉆井管柱沿全長的變形問題；張效羽等[5]將模糊識別技術用于在役套管的變形損壞的預測分析；張效羽[6]對2001年以前的套管分析研究文獻做了簡要的回顧與綜述；練章華等[7]對套管的擠毀現象做了工程彈塑性有限元分析；韓建增等[8]討論了幾何缺陷對套管抗擠壓強度的影響，以及套管局部損壞的問題研究。

頁巖氣儲層改造工程中，水力壓裂注入載荷作用下引起的套管變形是近10年來出現的問題。2011年威遠頁巖區塊威遠201-H3水平井分段壓裂施工過程中出現嚴重的套管變形，導致后續鉆塞工作無法完成，極大地影響了該井的頁巖氣產量，由此引起了研究者的重視。沈新普[9]針對威遠201水平井的套管變形問題建立了二維平面應變有限元數值模型，結合施工和變形情況以及微地震監測數據分析了影響套管變形的主要因素。董文濤等[10]從現象觀察的角度分析了體積壓裂導致套管變形的各種可能的原因。劉奎等[11]分析了頁巖氣水平井壓裂對井筒完整性的影響，包括對套管變形的影響。李軍等[12]分析了頁巖氣水平井分段壓裂時套損的影響因素。陳作等[13]對深層頁巖氣分段壓裂技術現狀作了綜述研究，并給出了若干發展建議。高利軍等[14]研究了頁巖氣水力壓裂中套損機理及其數值模擬研究，指出單純提高套管鋼級不能杜絕壓裂引起的套管變形現象。戴強[15]對頁巖氣井完井改造期間生產套管損壞原因進行了分析，得出了一些有益結論。楊恒林等[16]對頁巖氣儲層工程地質力學一體化技術進展進行了綜述研究，并對相關的預防措施進行了探討。郝美美[17]研究了頁巖氣井油層套管受力分析及應力分布計算，強調了固井水泥環的保護作用對套管完整性的重要性。于浩等[18]對頁巖氣壓裂過程套管失效機理進行了有限元分析，得出了若干有益的結論。此外，付麗霞等[19]介紹了國外文獻中對于套管錯斷的原因認識以及相關實例及解決的辦法，對解決頁巖氣水平井壓裂導致的套管變形有一定借鑒價值。張衛東等[20-22]研究了延緩斷層處套管損壞的方法，提出的建議對預防套管變形很有幫助。

以上文獻比較深入地認識了水力壓裂時的套管變形行為機理。筆者以前述文獻研究為基礎，結合已有的工程資料，建立一套簡化的三維有限元數值分析模型，分析在水力壓裂注入壓力載荷作用下套管與固井水泥環、地層等的相互作用；進而利用這一套模型來設計安全的水力壓裂注入壓力上限值：在這個注入壓力上限值作用下，地層能夠被順利壓開、而套管不會發生顯著變形。因此，這個模型有兩個功能：①對于給定的管柱設計，預測計算安全注入壓力上限值；②根據由斷裂力學分析預測得到的壓開地層需要的最小壓力值來設計相應的能承受這個壓力的套管系統。本文僅限于前者的分析，即根據給定的套管設計和地層環境等條件來預測計算壓裂注入壓力上限值。

在下面的論證過程中，筆者首先建立問題求解的簡化的三維有限元數值分析模型（包括子模型和區塊模型），再給出使用上述模型預測計算壓裂注入壓力上限值的數值計算流程。以威遠某頁巖氣井的實際情況為例，計算在水力壓裂時的地層應力場分布及套管的變形等力學量的場分布，由此給出該井實際情況下的安全水力壓裂注入壓力上限值。

1 模型理論

1.1 模型中的非對稱特性的來源

套管發生變形的原因之一是套管及井孔軸線兩側的地層屬性具有了非對稱的剛度特性。這里所說的兩側既可以是左右兩側也可以是上下兩側或者類似其他形式的兩側。圖1和圖2為兩口井的工程實例，這兩口井都說明了地層剛度在套管軸線兩側非對稱的現象。

圖1來自威遠201-H3水平井的壓裂過程微震監測部分資料。圖1中的紅點代表壓裂誘發的裂縫擴展以及其造成的微地震事件。從圖1-b俯視圖看出，微地震代表的裂縫擴展在左上角的分布密度遠遠大于其在右下角的分布密度。這表明進入到左上方的壓裂液體積要大于進入井孔另一側區域的壓裂液體積。實際施工過程誘發了嚴重的套管變形。

圖1 威遠201-H3井壓裂過程中的微震監測部分信息圖

圖2 某井A靶點及套管變形導致工具卡阻點的三維空間位置圖

圖2 是另1口井中的套管兩側剛度不對稱的例子。該井沒有微震監測信息。壓裂引發的套管變形導致了工具在A點附近受到卡阻，說明A點附近的套管上下兩邊地層的剛度不對稱也一樣引起套管發生明顯變形。

1.2 模型中考慮的影響套管變形的3個主要因素

影響套管變形的因素很多。根據前述文獻工作，結合已有工程資料，本文模型選擇了3個比較明顯的影響套管變形因素在模型中予以模擬。

1）壓裂施工注入壓力。工程施工記錄表明：壓裂之前套管沒有變形。很明顯，沒有壓裂就沒有套管變形。

2）固井水泥環的質量。固井水泥環質量不佳時，水泥環中的水泥分布不均勻，直接導致套管受到非均勻分布的載荷，從而加劇了套管變形。

3）套管軸線兩側的地層剛度非對稱分布。

上述3個因素分別體現了：①施工因素；②地層因素；③固井因素。套管設計因素作為給定值出現在模型中。

其他影響因素如小斷層的存在等，則沒有包括在本文的模型中。主要原因是：①沒有充分證據證明本文模擬的實例中有小斷層；②假如以后遇到有小斷層存在的情況，可以引入到模型的結構當中，而且這個過程沒有技術困難。

1.3 數值建模的步驟及要求

本文模型的特點：①采用滲流—變形耦合的有限元模型來模擬地層的變形、應力及孔隙壓力變化；②采用彈塑性材料模型模擬套管的變形；③采用彈塑性材料模型模擬水泥環的變形。整個計算是在大型商用有限元軟件平臺上實現，模型中包括了筆者開發的材料子程序和邊界條件子程序。

圖3給出了利用本文模型進行壓裂載荷下套管變形分析的套管—地質—工程一體化分析的數值計算格式與計算流程。這個分析流程包括主要的4個分析步驟：整體模型分析、初級子模型分析、二級子模型分析和最大安全許用壓裂注入載荷分析。下面分別介紹這4個分析步驟的內容和原理。

步驟1：利用單井地應力分析結果和區塊地震資料，建立區塊尺度的三維有限元模型，進行初始精細地應力場建模與分析。區塊整體模型不包含套管及井孔。

圖3 套管—地質—壓裂工程一體化分析的數值計算流程圖

三維整體模型有限元分析的目的是建立具有地震資料約束的精細地應力場。地震資料提供精細的地層地質構造描述，各地層頂面與地面的起伏能夠被精確地引入到有限元模型當中。整體模型的尺寸在深度方向上包括從地面到井軸之間的深度。水平方向的尺寸應該能夠把整個井軌跡包括進來。如果區塊內有斷層，則應該詳細模擬斷層的傾角、方位角以及寬度等幾何信息。根據圣維南局部影響原理，整體模型重點在得到儲層位置上精確的地應力場，其上覆地層構造細節可簡化處理。

整體模型的參數標定可以結合單井地質力學分析進行：用地層漏失試驗或者小型壓裂試驗標定最小水平主壓應力分量；結合井壁上的裂縫成像測井資料判定主應力分量的大小次序等。

步驟2：建立初級子模型，尺度為100 m量級。初級子模型不包含套管及井孔。引入地層剛度非對稱特性：對井孔軸線一側的地層賦初始彈性模量值，另一側的地層彈性模量值賦一個“損傷材料的彈性模量”值，以此來模擬裂縫分布的非對稱屬性。

天然裂縫發育且人工誘導裂縫分布密度大的地層剛度與沒有裂縫的地層的剛度相比，要小。差別是多少？可以參考損傷力學的原理來計算。根據損傷力學的應變等效原理，材料剛度值與材料的損傷變量的值之間是負的線性關系，即：剛度值隨損傷值的增大而線性減少。關于儲層壓裂改造時的損傷變量場的分布參見本文參考文獻[23]。筆者在確定裂紋發育一側的地層彈性模量和剛度值時參考了本文文獻[23]的損傷場分布數值結果。需要進一步說明的是：雖然本文的簡化模型并不計算壓裂過程的裂縫生成及擴展的斷裂力學/損傷力學分析，但是如果能把裂紋發育區的剛度降低現象模擬直接與壓裂過程的斷裂力學/損傷力學數值計算結果結合起來，那么計算得到的結果精度將會更高。

泊松比是模型的關鍵參數之一：泊松比越大，材料的不可壓縮性就越大。雖然孔隙壓力的升高會引起體積膨脹、增大有效應力3個主應力分量之間的比值，泊松比值的升高能夠增強體積膨脹產生的變形效應。

模型中引入了地層材料黏結強度和內摩擦系數隨塑性變形增加而減少的經驗函數關系。在模型中是通過有限元軟件的用戶子程序來實現的。

初級子模型和整體模型之間通過位移邊界和孔隙壓力邊界相連：整體模型的位移場和孔隙壓力的數值解被用做初級子模型的邊界條件。初級子模型的底面為整體模型底面的一部分。

步驟3：建立二級子模型。二級子模型的尺寸為：長度20 m，寬度和高度均為10 m。二級子模型包含套管、水泥環和地層3個方面的材料屬性。二級子模型和初級模型之間通過位移邊界和孔隙壓力邊界相連：初級子模型的位移場和孔隙壓力的數值解被用做二級子模型的邊界條件。二級子模型的底面為初級模型底面的一部分。

10、選果留瓜：留果時選主蔓10～15片葉之間的果，側蔓8～12片葉之間的果，選果留瓜時需幼果長到雞蛋大為好，選果后噴一次“金元寶”液肥，可促進果實迅速膨大，提高產量20%以上。早熟4～5天提高糖度2～3度，7天噴一次共噴2～3次，果實膨大期無雨干旱要及時澆水，避免因為干旱造成減產。

簡化的二級子模型僅模擬上半部的套管結構，也就是說：模型假設了套管模型的變形上下對稱，套管軸線的變形只發生在水平面上。同樣，模型中的水泥環也是只有上半部，下半部分的變形被假設為與上半部對稱。

二級模型的材料參數特性有下述特點：①地層參數取值與初級子模型的地層材料取值相同。②包含了水泥環材料。為了模擬水泥環固井質量差的情況，水泥環包含了兩種材料：一種完好的混凝土材料CM-1，另一種是差的混凝土材料CM-2。差的混凝土材料CM-2的彈性模量小于CM-1的彈性模量。至于兩者相差的程度，可以根據固井質量測井數據來調整/標定。當固井質量等級為“優/好”的時候，CM-1和CM-2兩種材料的彈性模量取同樣的值。③套管的材料為彈塑性—線性硬化材料。

步驟4：利用子模型計算壓裂引起的套管變形。根據不同的注入載荷對應的套管變形量，判斷得到“滿足套管變形安全要求的最大許用壓裂注入壓力”。

最后得到的這個最大許用壓裂注入壓力就是壓裂施工壓力的上限：當施工壓力低于這個數值的時候，壓裂施工能夠壓開儲層且保證不會導致套管發生影響后續施工的明顯變形。當施工壓力超過這個值時，套管將發生明顯變形，后續施工如鉆塞等將無法進行。

2 工程實例

本小節采用的數據參考了2011年實際發生的威遠某頁巖氣水平井多段壓裂工程實例，但在保證合理取值的前提下經過了必要的修正，參數取值接近但不是工程實例真實值。這個例子用于理論模型及流程使用示范說明目的，僅供參考。

本例中的水平井壓裂原設計分為10個壓裂段。在第3個壓裂段的壓裂施工過程中發生了套管嚴重變形，導致第4段下橋塞工作不能按設計進行，只能減少壓裂段數。圖4為壓裂施工注入壓力的壓力—時間曲線及排量—時間曲線，實際施工注入壓力井底最大值為90 MPa。

模型中的輸入數據還包括：①初始地應力場，作為輸入數據的初始地應力場是單井地質力學分析結果；②套管參數，包括套管壁厚、直徑、材料的彈性模量、泊松比、初始屈服極限和硬化參數；③地層材料的力學參數；④注入壓力。

2.1 輸入參數

2.1.1 初始地應力場及初始地層孔隙壓力場取值

套管軸線的深度為2 600 m。結合已有測井數據，單井地質力學分析得到的深度2 600 m上的地應力的數值為：垂直應力為－63 MPa（固體力學符號法則，壓力為負值，拉力為正值，下同）；最小水平主壓應力為－66.2 MPa；最大水平主壓應力為－66.6 MPa。井軸線與最小水平主壓應力方向平行。地層初始孔隙壓力為30 MPa。

水泥環的厚度為0.139 7 m。材料密度為1 900 kg/m3。完好水泥環材料CM-1的彈性模量為27.2 GPa，泊松比為0.3。差水泥環材料CM-2的彈性模量取CM-1彈性模量的1/10，為2.72 GPa。

2.1.3 地層的材料特性取值

儲層地層的密度取為2 650 kg/m3，彈性模量取為40 GPa，泊松比初始值取為0.25。施工過程中隨著壓裂注入引起的孔隙壓力升高，泊松比也會發生變化。這一點通過引入用戶子程序來實現隨變形而變化的泊松比，其最大值為0.3。這個特性在整體模型中不出現，只在子模型模擬階段出現。上覆巖層的密度隨深度增加而增加，整個上覆巖層密度產生的垂直應力滿足前述－63 MPa的條件。

地層剛度不對稱的特性在下面的介紹中給定。

2.1.4 裂縫發育一側地層的剛度取值

圖4 壓裂施工注入壓力的壓力—時間曲線及排量—時間曲線圖

根據本文參考文獻[20]的結果，壓裂造成的損傷變量最大值在井壁附近為0.34。參考這個結果，這里破碎地層的彈性模量取完整地層彈性模量的70%，也就是假設壓裂造成的彈性模量降低為30%。這樣就引入了井軸兩側的剛度不對稱。

2.1.5 壓裂施工注入壓力輸入參數取值

如圖4所示，取壓裂施工注入壓力為90 MPa。這個壓裂施工注入壓力被作為分布壓力施加在套管表面。同時，它也被作為地層孔隙壓力的最大值施加到壓裂載荷下的子模型地層模型中。

2.2 整體模型的邊界條件

整體模型的邊界條件設定為：四周側面和底面均施加法向零位移約束，頂面是地面，沒有約束和載荷。

2.3 有限元網格

有限元網格分別的建立整體模型的有限元網格，初級子模型的有限元網格，二級子模型的有限元網格。

2.3.1 整體模型

圖5-a所示為整體模型的有限元網格。模型高度為2 600 m，寬度300 m，長度500 m。整體模型的下部彩色部分為初級子模型的相對位置。在已有的地質資料中，這個尺度范圍內沒有斷層，也沒有破碎帶。這一點在圖1的微震監測現象中也得到了證實：微震現象在跨越斷層/小斷層時會有比較明顯的變化。因為沒有觀察到這個現象，因此可以認為這個模型尺度范圍內沒有斷層存在。

整體模型的計算目的是構建初始地應力場，進一步為子模型分析提供精準的地應力場輸入。整體模型的地應力場不受壓裂的影響，因此整體模型中沒有引入地層剛度不對稱特性。地層剛度不對稱特性在子模型分析的時候再引入。

2.3.2 初級子模型

圖5-b所示為初級子模型的有限元網格。模型高度為30 m，寬度為30 m，長度為110 m。初級子模型包含3種材料：上覆巖層、完好地層、破碎地層。

2.3.3 二級子模型

圖5 有限元網格圖

圖5 -c所示為二級子模型的有限元網格。模型高度為10 m，寬度為10 m，長度為20 m。二級模型的位置位于初級子模型的下部、中心位置。其底面為初級子模型的底面的一部分。之所以這樣取二級子模型是因為要模擬破碎地層和完好地層兩者在套管兩側形成的不對稱。地層中實際發生的情況可能沒有這么理想化。但是簡化模型要模擬的剛度非對稱特性在這里得到了模擬體現，主要目的達到了。

從圖5看到，二級子模型包含了完好地層、破碎地層、完好水泥環CM-1、差水泥環CM-2以及套管。其中完好水泥環CM-1、差水泥環CM-2在模型中的幾何位置和所占截面積的比例，可以根據實際固井質量進行調整。模型中井孔位置在一開始的時候是有材料充滿的，在計算開始的時候進行了模擬鉆井過程的單元移除，以此模擬鉆井過程、引起井孔周圍的應力集中現象。

在實際計算的時候，可以給完好地層和破碎地層賦同樣的材料參數值，來模擬裂縫對稱分布的情況；給CM-1和CM-2賦同樣的值來模擬固井質量完好的情況。

在套管與水泥環之間、水泥環和地層之間以及其他不同材料分界面上都是利用有限元網格之間的連續屬性進行計算，沒有特別設置界面單元來描述材料分界面上的力學屬性。雖然這樣的簡化處理給模型帶來一定的誤差，但是并不會對套管變形結果精度造成太大的影響。事實上這樣的簡化極大地降低了問題的非線性程度，節約了計算成本。另一方面，如果以后的計算機條件改善、計算能力大幅提高之后，在材料分界面上賦設材料界面單元將有利于得到更精確的數值計算結果。

套管內徑為0.121 4 m，壁厚為0.009 149 4 m，材料為P110鋼。材料的密度為7 922 kg/m3，初始屈服強度為758 MPa。彈性模量為206 GPa，剪切模量為79.38 GPa，泊松比為0.3。

2.4 數值計算結果與分析

使用上述三維有限元模型進行滲流—變形耦合的孔隙彈塑性數值分析，按照圖3所示的計算流程逐級進行整體模型計算、初級子模型計算和二級子模型計算，得到給定條件下的套管變形場等模型中各個部分的力學量的分布情況。略去過程，下面給出一組與套管變形直接相關的主要的數值計算結果。這一組圖所用的模型的壓裂注入壓力載荷為90 MPa。圖6給出了初級子模型在壓裂注入壓力及重力、初始地應力作用下的最大主應變分量的分布情況。

從圖6看出，由于注入壓力的作用，壓裂造成的破碎地層的彈性模量較低，從而最大主應變分量值為拉應變且明顯大于完好地層一側的應變值。這表明剛度不對稱導致了變形不對稱。最大應變值為1.242%。

圖7為壓裂載荷作用下的二級子模型的最大主應變分布。這一組數值結果計算時采用了的水泥環的彈性模量處處相同，即假設了固井質量完好。由于井孔尺寸較小且應變集中發生在完好地層與破碎地層的交界處（位于底部中心），圖7-a給出的最大應變分布圖不能很好地展示應變集中部位。為此給出了單獨顯示的右圖。右圖顯示了水泥環中的最大應變分布圖。從圖7-b中看到，在破碎地層和完好地層的交界處，發生的應變集中現象明顯。最大應變值為5.538%，水泥環上發生的最大應變值為4.413%。

圖8-a為單獨顯示的套管變形。當固井質量完好情況、給定的壓裂注入壓力作用下，套管在水平方向上的最大水平位移為14.94 mm，最大的垂直位移為0.248 2 mm。這說明此時的套管變形主要是套管軸線S形側向位移，而不是截面形狀的擠扁/橢圓變形。

圖6 初級子模型的最大應變場的分布情況圖

圖7 二級子模型的最大應變場的分布情況圖

圖8 套管各點水平位移與垂直位移分布情況圖

按照前述原理，給定模型的“固井質量差”且其他條件都不變，此時得到的套管變形數值結果如圖8-b所示。從圖8-b看出，此時套管各點的水平位移最大值為15.61 mm，垂直位移最大值為7.183 mm。比較圖8-a、b可以看出，當固井質量差的時候，套管變形主要是局部套管截面形狀的變形。而當固井質量好的時候，套管變形是軸線S形變形，截面形狀基本不變。

給定不同的壓裂注入壓力，在模型中對裂縫對稱性和固井水泥環的質量好差做不同的組合，進行了一系列的計算。部分數值結果如表1和表2所示。表1給出了不同載荷條件、不同模型組合條件下的套管各點上的位移最大值的情況。表2給出了不同載荷條件、不同模型組合條件下的套管各點上的Von Mises等效應力最大值的情況。

從表1中看出，當注入壓力為90 MPa、固井質量差、裂縫分布不對稱的時候，套管上最大位移點的水平位移值為15.6 mm、垂直位移值為7.18 mm。結合表2的Von Mises應力值，可以知道此時的變形為塑性應變。

從表1中看出，當注入壓力為80 MPa時，固井質量差、裂縫分布不對稱的時候，套管上最大位移點的水平位移值為9.5 mm、垂直位移值為0.83 mm，明顯小于90 MPa時的變形量。結合表2的Von Mises應力值，可以知道此時的變形為彈性應變。也就是說：當壓裂的載荷卸載之后，變形可以消失/恢復。因此，這個80 MPa的注入壓力是安全的。這一點已經在長寧區塊水平井（寧201-H1）的多段壓裂施工中得到實際應用，取得了良好的效果，保障了施工安全和成功。

表1 不同載荷條件組合下的套管各點上的位移最大值表

表2 不同載荷條件組合下的套管各點上的Von Mises等效應力最大值表

3 結論與建議

筆者針對致密儲層水力壓裂造成的套管變形問題建立了三維有限元模型。模型中包含了地層地質、套管、固井水泥環以及壓裂施工參數，是一個套管—地質—工程一體化的三維有限元模型。模型中采用了子模型技術，建立了區塊地應力場以及地層變形與套管變形之間的力學聯系。通過實例展示了提出的理論模型的使用流程，得到的數值結果與工程實際現象相吻合，說明本文的簡化模型具有合理的精度和準確性。

根據模型分析得到的數值結果，得到下述結論：

1）在裂縫分布不對稱、固井水泥環質量差的條件下，套管在較高的壓裂注入壓力作用下容易發生明顯的變形。變形是塑性的，卸載后也不會恢復。

2）數值計算結果和實際施工經驗表明，對于本文的工程實例，80 MPa注入壓力能保證套管不發生明顯變形。但是90 MPa的注入壓力將造成套管明顯的塑性變形?？梢园?0 MPa作為安全壓裂注入壓力最大值，在實際操作中，當壓力達到80 MPa的時候，就要密切關注觀察套管的變形情況，一旦套管變形出現明顯增加，則立即降低注入壓力。

3）裂縫非對稱分布很多時候不能預先得知，也就是不知道有沒有。這個時候，在模型中計入裂縫的非對稱分布來計算水力壓裂注入壓力上限值，相當于加了一個風險因素在里面，得到的水力壓裂注入壓力上限值偏于保守。因此，不失一般性，在不能保證沒有裂縫非對稱分布特性的情況下，建議計入這個因素，之后把水力壓裂注入壓力上限值作為施工參考值：當壓力達到水力壓裂注入壓力上限值的時候，就要密切關注觀察套管的變形情況，一旦套管變形出現明顯增加，則立即降低注入壓力。

壓裂引起的套管變形因為涉及套管、復雜的地質信息、施工信息等多方面因素，十分復雜，從而難以得到一個十分完善的模型。筆者的簡化模型是這個方向的一個嘗試，雖然在實際應用中取得了良好的效果，也還有很多地方需要進一步完善。

由于筆者所掌握的資料很有限，實際上可能存在其他影響套管變形的因素，但是作者在這里分析的情況中沒有遇到，因此這里沒有列入。本文只是通過對幾個主控因素對套管變形影響分析，了解其影響程度和趨勢，以便為安全施工提供參考依據。