基于嚙合理論的雙螺旋轉子接觸線計算研究

陳 飛，魏碧霞

（福州大學至誠學院，福建 福州350002）

雙螺桿壓縮機的陰陽轉子作為整個壓縮機中最重要的零件，它的性能對雙螺桿壓縮機的性能有著決定性的影響[1]。雙螺桿壓縮機轉子間的接觸線，是陰、陽轉子在嚙合運動時，兩個共軛齒面的交線。接觸線的長度會在很大程度上會影響雙螺桿壓縮機的熱力性能，接觸線設計不當，會影響螺旋轉子本身的力矩分布和軸承負載，也會造成壓縮機的泄漏損失。實驗證明，雙螺桿壓縮機的所有泄露損失中，大部分是由于接觸線的泄漏引起的損失。因此，研究雙螺旋轉子接觸線的計算就顯得尤為重要。其中，計算兩個嚙合轉子間的接觸線的總長度，是判斷轉子端面型線優劣的一個重要指標，是新型線研究和開發過程中的一個必不可少的計算項目[2]。由于雙螺旋轉子之間存在相對運動，因此要研究陰轉子和陽轉子在滿足嚙合條件下的相對運動速度對接觸線計算所產生的影響。

1 坐標系建立

為了更好地表達陰陽轉子之間的相對運動，這里先設置了螺旋轉子齒面的坐標系（見圖1）。坐標系分為兩個，一個是動坐標系，是隨著轉子轉動的；另一個是靜坐標系，是不隨轉子的轉動而轉動的。圖中的O1x1y1是固結在陽轉子上的動坐標系，O2x2y2是固結在陰轉子上的動坐標系。O1X1Y1表示固結在機座上的陽轉子靜坐標系，O2X2Y2表示固結在機座上的陰轉子靜坐標系。端面型線對稱中心分別是陽轉子坐標原點O1與陰轉子的坐標原點O2，ω1和ω2分別為陽轉子和陰轉子的角速度，φ1和φ2分別為陽轉子與陰轉子的轉角。

圖1 螺旋轉子齒面坐標系

2 嚙合條件

雙螺旋轉子在相對運動的時候，陰陽轉子的型線要滿足嚙合的條件。兩轉子嚙合時，一個轉子的齒面包絡出另一個轉子的齒面，在兩個互為包絡的齒面的接觸點處，有公切面或公法線。由于接觸線是轉子徑向上一條連續的空間曲線，所以嚙合線也是一條連續并且封閉的平面曲線[3]。陽轉子和陰轉子在嚙合之時不能彼此沖擊或彼此脫開，它們的齒面只能互相滑移。此時，陰陽轉子的齒面之間的法向相對速度即為零。因此，兩轉子接觸點的相對速度矢量v在接觸點公法線n上的投影等于零，即v⊥n。兩矢量垂直的數學表達式為：

上述的投影式即為陰陽轉子齒面嚙合的條件，這種關系可以在不同的坐標系中表達，因為陰陽兩個螺旋轉子的軸是平行的，因此在Z軸方向上是沒有相對運動的，所以螺桿壓縮機中陰轉子和陽轉子的坐標系可以分別表達為：

上述兩個式子中的vx2、vy2和vx1、vy1分別表示相對速度在O2x2y2z2和O1x1y1z1動坐標系中的投影。nx2、ny2和nx1、ny1分別表示陰陽轉子螺旋齒面的法矢量在O2x2y2z2和O1x1y1z1動坐標系中的投影。

3 相對運動速度

由圖1可知，只有先在靜坐標系O2x2y2中求出陰轉子的表達式，才能求出相對速度在陰轉子動坐標系O2x2y2z2中的投影，在這種情況下，使兩個轉子的角速度都同為-ω1，那么這兩個轉子的相互運動關系不變，但此時陽轉子是靜止的，而陰轉子做復合運動。

令-ω1=k,則-ω1=iω1=ik

由圖1的螺旋轉子齒面坐標關系可以推導出在陰轉子動坐標系中相對速度的表達式為：

同理可以推導出在陽轉子動坐標系中相對速度的表達式為：

4 螺旋曲面方程

如果螺桿壓縮機轉子的端面型線中某一段C的參數方程為x0=x0(t);y0(t)，那么在該曲線的初始位置所在的平面建立Oxy平面，并將OZ軸作為轉子的旋轉軸，建立直角坐標系Oxyz，如圖2所示，則由組成齒曲線C所形成的螺旋面參數方程為：

圖2 螺旋轉子曲面

根據以上參數方程，可以將陰轉子的齒面方程定義為：

同理，可以將陽轉子的齒面方程定義為：

5 螺旋齒面法線

由上述的推導可知，法線矢量的分量可由螺旋齒面方程而得，只要將式7的各項分量求偏導數，就可以得到陰陽轉子螺旋面法線的分量分別為：

6 接觸線方程

結合上述推導出的嚙合條件式子和轉子的螺旋齒面方程式，分別將式（5）、式（10）帶入式（3），得到陰轉子的嚙合條件式：

同理，分別將式（6）、式（11）帶入式（4），得到陽轉子的嚙合條件式：

此時，將嚙合條件式（12）與螺旋齒面表達式（8）聯立，可以得到陰轉子接觸線方程：

同理，將嚙合條件式（13）與螺旋齒面表達式（9）聯立，可以得到陽轉子接觸線方程：

7 接觸線計算

在對上述的接觸線方程求解時，首先要對參數變量t在其變化范圍內取不同的值，然后將嚙合條件式中的螺旋轉子在其轉角為零度的時候，求解出與上述變量參數t不同取值下相對應的不同的τ，接著再分別求出接觸線上與這些t和τ對應的空間上一系列點的坐標值。只要將這些空間點的距離進行累加，就可以得到接觸線的長度。我們可以在求解接觸線方程時，將接觸線上空間的點設為N個，那么在一個齒間軸節距內的接觸線長度可以表達為：

利用上述方法，只要足夠多的計算點的數量，就可以達到很高的精度。8結語

在實際的設備運動過程中，陰陽螺旋轉子齒面之間始終要保持一定的間隙，這樣才能保證雙螺旋轉子之間的相對運動。這種情況下就不可避免地存在著間隙帶，而該間隙帶基本上是由接觸線轉變過來的。為了最大限度地減少通過間隙區的氣體泄漏，應盡量縮短陰陽螺旋轉子之間的接觸線的長度。因此，轉子型線設計原則之一就是轉子型線應形成長度較短的連續接觸線[4]。