基于嚙合理論的雙螺旋轉(zhuǎn)子接觸線計算研究

陳 飛，魏碧霞

（福州大學(xué)至誠學(xué)院，福建 福州350002）

雙螺桿壓縮機的陰陽轉(zhuǎn)子作為整個壓縮機中最重要的零件，它的性能對雙螺桿壓縮機的性能有著決定性的影響[1]。雙螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子間的接觸線，是陰、陽轉(zhuǎn)子在嚙合運動時，兩個共軛齒面的交線。接觸線的長度會在很大程度上會影響雙螺桿壓縮機的熱力性能，接觸線設(shè)計不當(dāng)，會影響螺旋轉(zhuǎn)子本身的力矩分布和軸承負載，也會造成壓縮機的泄漏損失。實驗證明，雙螺桿壓縮機的所有泄露損失中，大部分是由于接觸線的泄漏引起的損失。因此，研究雙螺旋轉(zhuǎn)子接觸線的計算就顯得尤為重要。其中，計算兩個嚙合轉(zhuǎn)子間的接觸線的總長度，是判斷轉(zhuǎn)子端面型線優(yōu)劣的一個重要指標，是新型線研究和開發(fā)過程中的一個必不可少的計算項目[2]。由于雙螺旋轉(zhuǎn)子之間存在相對運動，因此要研究陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子在滿足嚙合條件下的相對運動速度對接觸線計算所產(chǎn)生的影響。

1 坐標系建立

為了更好地表達陰陽轉(zhuǎn)子之間的相對運動，這里先設(shè)置了螺旋轉(zhuǎn)子齒面的坐標系（見圖1）。坐標系分為兩個，一個是動坐標系，是隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的；另一個是靜坐標系，是不隨轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動的。圖中的O1x1y1是固結(jié)在陽轉(zhuǎn)子上的動坐標系，O2x2y2是固結(jié)在陰轉(zhuǎn)子上的動坐標系。O1X1Y1表示固結(jié)在機座上的陽轉(zhuǎn)子靜坐標系，O2X2Y2表示固結(jié)在機座上的陰轉(zhuǎn)子靜坐標系。端面型線對稱中心分別是陽轉(zhuǎn)子坐標原點O1與陰轉(zhuǎn)子的坐標原點O2，ω1和ω2分別為陽轉(zhuǎn)子和陰轉(zhuǎn)子的角速度，φ1和φ2分別為陽轉(zhuǎn)子與陰轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角。

圖1 螺旋轉(zhuǎn)子齒面坐標系

2 嚙合條件

雙螺旋轉(zhuǎn)子在相對運動的時候，陰陽轉(zhuǎn)子的型線要滿足嚙合的條件。兩轉(zhuǎn)子嚙合時，一個轉(zhuǎn)子的齒面包絡(luò)出另一個轉(zhuǎn)子的齒面，在兩個互為包絡(luò)的齒面的接觸點處，有公切面或公法線。由于接觸線是轉(zhuǎn)子徑向上一條連續(xù)的空間曲線，所以嚙合線也是一條連續(xù)并且封閉的平面曲線[3]。陽轉(zhuǎn)子和陰轉(zhuǎn)子在嚙合之時不能彼此沖擊或彼此脫開，它們的齒面只能互相滑移。此時，陰陽轉(zhuǎn)子的齒面之間的法向相對速度即為零。因此，兩轉(zhuǎn)子接觸點的相對速度矢量v在接觸點公法線n上的投影等于零，即v⊥n。兩矢量垂直的數(shù)學(xué)表達式為：

上述的投影式即為陰陽轉(zhuǎn)子齒面嚙合的條件，這種關(guān)系可以在不同的坐標系中表達，因為陰陽兩個螺旋轉(zhuǎn)子的軸是平行的，因此在Z軸方向上是沒有相對運動的，所以螺桿壓縮機中陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子的坐標系可以分別表達為：

上述兩個式子中的vx2、vy2和vx1、vy1分別表示相對速度在O2x2y2z2和O1x1y1z1動坐標系中的投影。nx2、ny2和nx1、ny1分別表示陰陽轉(zhuǎn)子螺旋齒面的法矢量在O2x2y2z2和O1x1y1z1動坐標系中的投影。

3 相對運動速度

由圖1可知，只有先在靜坐標系O2x2y2中求出陰轉(zhuǎn)子的表達式，才能求出相對速度在陰轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2z2中的投影，在這種情況下，使兩個轉(zhuǎn)子的角速度都同為-ω1，那么這兩個轉(zhuǎn)子的相互運動關(guān)系不變，但此時陽轉(zhuǎn)子是靜止的，而陰轉(zhuǎn)子做復(fù)合運動。

令-ω1=k,則-ω1=iω1=ik

由圖1的螺旋轉(zhuǎn)子齒面坐標關(guān)系可以推導(dǎo)出在陰轉(zhuǎn)子動坐標系中相對速度的表達式為：

同理可以推導(dǎo)出在陽轉(zhuǎn)子動坐標系中相對速度的表達式為：

4 螺旋曲面方程

如果螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子的端面型線中某一段C的參數(shù)方程為x0=x0(t);y0(t)，那么在該曲線的初始位置所在的平面建立Oxy平面，并將OZ軸作為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)軸，建立直角坐標系Oxyz，如圖2所示，則由組成齒曲線C所形成的螺旋面參數(shù)方程為：

圖2 螺旋轉(zhuǎn)子曲面

根據(jù)以上參數(shù)方程，可以將陰轉(zhuǎn)子的齒面方程定義為：

同理，可以將陽轉(zhuǎn)子的齒面方程定義為：

5 螺旋齒面法線

由上述的推導(dǎo)可知，法線矢量的分量可由螺旋齒面方程而得，只要將式7的各項分量求偏導(dǎo)數(shù)，就可以得到陰陽轉(zhuǎn)子螺旋面法線的分量分別為：

6 接觸線方程

結(jié)合上述推導(dǎo)出的嚙合條件式子和轉(zhuǎn)子的螺旋齒面方程式，分別將式（5）、式（10）帶入式（3），得到陰轉(zhuǎn)子的嚙合條件式：

同理，分別將式（6）、式（11）帶入式（4），得到陽轉(zhuǎn)子的嚙合條件式：

此時，將嚙合條件式（12）與螺旋齒面表達式（8）聯(lián)立，可以得到陰轉(zhuǎn)子接觸線方程：

同理，將嚙合條件式（13）與螺旋齒面表達式（9）聯(lián)立，可以得到陽轉(zhuǎn)子接觸線方程：

7 接觸線計算

在對上述的接觸線方程求解時，首先要對參數(shù)變量t在其變化范圍內(nèi)取不同的值，然后將嚙合條件式中的螺旋轉(zhuǎn)子在其轉(zhuǎn)角為零度的時候，求解出與上述變量參數(shù)t不同取值下相對應(yīng)的不同的τ，接著再分別求出接觸線上與這些t和τ對應(yīng)的空間上一系列點的坐標值。只要將這些空間點的距離進行累加，就可以得到接觸線的長度。我們可以在求解接觸線方程時，將接觸線上空間的點設(shè)為N個，那么在一個齒間軸節(jié)距內(nèi)的接觸線長度可以表達為：

利用上述方法，只要足夠多的計算點的數(shù)量，就可以達到很高的精度。8結(jié)語

在實際的設(shè)備運動過程中，陰陽螺旋轉(zhuǎn)子齒面之間始終要保持一定的間隙，這樣才能保證雙螺旋轉(zhuǎn)子之間的相對運動。這種情況下就不可避免地存在著間隙帶，而該間隙帶基本上是由接觸線轉(zhuǎn)變過來的。為了最大限度地減少通過間隙區(qū)的氣體泄漏，應(yīng)盡量縮短陰陽螺旋轉(zhuǎn)子之間的接觸線的長度。因此，轉(zhuǎn)子型線設(shè)計原則之一就是轉(zhuǎn)子型線應(yīng)形成長度較短的連續(xù)接觸線[4]。