空間計量與脈沖星導航

劉 民 帥 平 劉志宏 李 軍

（1.北京東方計量測試研究所，北京100086；2.中國空間技術研究院 錢學森實驗室，北京100094）

1 引 言

脈沖星是高速自轉的中子星，其磁極軸與自轉軸有一個固定的夾角，兩磁極沿軸線方向連續輻射出寬譜段電磁波，從射頻到γ 射線頻段均有能量分布，隨著脈沖星的自轉，輻射能量周期性地掃過太陽系，太陽系各處都能探測到周期性的脈沖信號。脈沖星距離太陽系非常遙遠，因此相對于太陽系慣性框架，它幾乎靜止不動，每顆脈沖星有自己獨特的脈沖輪廓，周期非常穩定。 據加拿大McGill 大學、英國Manchester 大學、美國Columbia 大學、Cornell 大學以及德國、荷蘭等學者聯合發布的論文，對最新觀測的5 顆毫秒脈沖星的觀測數據進行計算，得出周期變化率在10－19～10－21s／s 之間［1］。目前已編目的脈沖星有2000 多顆，可適用于導航的X 射線脈沖星達到幾十顆，長期計時穩定度優于10－15／d［2］。 脈沖星以其超高穩定性將成為太陽系內時空守時系統的自然基準。 當脈沖星在慣性坐標系中的固定位置、脈沖周期以及脈沖輪廓成為已知量時，攜帶脈沖星探測設備的航天器就可以利用這些信息進行自主導航，并且具備了時間計量能力。 脈沖星導航的基本原理，見圖1。 脈沖星的電磁輻射進入太陽系內可看作平面電磁波，先不考慮光線在引力場中的彎曲，簡單理解為一對平行光線從脈沖星方向到坐標原點OSSB和航天器，脈沖星PSR1 的某一個脈沖信號到達OSSB的時間為tSSB1，同一個脈沖信號到達航天器的時間為tSC1，時間差△t1＝tSSB1－tSC1＝d1／c，其中c 為光速常數。 tSC1為航天器用原子鐘觀測，經運算處理后的測量值。 tSSB1為已知量，是地面長期觀測PSR1 的數據，經處理生成的星歷表中該脈沖預期到達OSSB點的時間。 那么在PSR1 視向方向航天器到坐標原點的距離d1就可以計算出來。 同理，獲得至少在三個不同方向上航天器到原點的距離后就可以利用幾何關系確定航天器在坐標系中的具體位置，通過星歷表時間還可對航天器的時間測量系統進行校準。

圖1 脈沖星導航原理示意圖Fig.1 The principle of Pulsars navigation

上述過程看似簡單，但存在著坐標系選擇，時間單位的統一，多普勒效應［3］，以及在大尺度廣域時空中建立守時系統等空間計量問題。 空間計量理論將廣義相對論與傳統計量理論相結合，解決地球以外更廣闊的宇宙空間的測量單位統一和測量準確的問題，要求我們站在四維時空的角度理解物質的存在和運動規律［4，5］。 該理論認為時間和長度的計量單位是絕對定義的，不隨坐標系的不同而改變，同時性僅在同一個坐標系中有定義，不同坐標系之間不能直接進行時間比對，時間統一和時間單位的統一是相互矛盾的，建立時間和空間統一的方法有兩種，當前地球衛星導航系統（GNSS）只是其中之一［6］，脈沖星導航將用到另一種方法。 文獻［2］系統地介紹了脈沖星導航的理論和計算，本文從空間計量角度來理解，提出建立大尺度廣域時空中建立守時系統的設想。

2 脈沖星導航的坐標系選擇

描述宇宙時空，依賴坐標框架，參考點和參考方向決定了坐標框架的性質，在坐標框架中，若確定了具體的參考點、方向和坐標軸的刻度規則，就可以確定一個具體的坐標系，于是航天器在時空中的運動規律就可以用數學公式來精確表達。 一種坐標框架中可以定義幾種不同的坐標系，例如，在慣性坐標框架中可以定義太陽質心坐標系、太陽系質心坐標系、地心慣性坐標系等等。 如以太陽系質心OSSB為參考點，當春分時刻OSSB與地心連線的方向為X 軸，以黃道面法線方向為Z 軸，用右手法則確定Y 軸，用黎曼空間的度規確定坐標刻度關系，定義時間起始點（也稱初始歷元），就可以定義太陽系質心坐標系。 同一個坐標框架中的各種坐標系可以進行相互轉換，把坐標、速度、姿態角、時間等參數通過坐標系之間的關系進行相互轉換。 但是不同坐標框架之間的數學轉換非常復雜，星際導航一般不使用非慣性坐標框架。

空間計量的一個原則是“僅在同一個坐標系中具有同時性”，就是說，不同的坐標系之間不能直接進行時間的比較和傳遞，脈沖星、航天器、地球和太陽有各自的坐標系，它們之間不能直接比對時間。 站在地心慣性坐標系和太陽系質心坐標系上觀測同一個脈沖星的脈沖到達時間（TOA）的間隔是不同的。 對于同一個地球軌道航天器上的觀者，他既在太陽質心坐標系中，又在地球質心坐標系中，用同一個原子鐘，用SI 秒為單位，記錄了脈沖星的兩次TOA，雖然原子鐘的讀數是客觀且唯一的，但是經過時間尺度坐標轉換之后，TOA 的間隔表現在不同坐標系中就不相同，這也被稱為時間尺度轉換。 為便于理解，簡單忽略了c－3及更高次小量，簡單化的轉換公式如式（1）

式中：Δt——轉換到太陽質心坐標或地球質心坐標的一段時間，單位SI 秒；τ——航天器原子鐘的讀數，單位SI 秒；U——航天器在測量τ 時刻所處的引力勢，含太陽和地球共同作用，有周期變化分量；V——若在太陽質心系中是相對于原點的線速度，有周期變化分量；若在地球質心系中是相對于地心的線速度，在圓軌道上無周期變化；c——光速常數。

同樣使用式（1），代入相對于不同參考點的線速度V，所算得的時間間隔是不同的。 其原因是兩個坐標系中時間坐標軸的刻度規則（度規）不同，不論是太陽系質心坐標系，還是地心慣性坐標系，在時間坐標軸都是彎曲的，即時間坐標軸的度規g00不是常數，而是與引力勢和相對速度相關的變量。

脈沖星自身特有的脈沖輪廓是區別不同脈沖星信號的特征之一，是準確計算脈沖到達時間鑰匙，將輪廓上最具特征的曲線拐點定義為脈沖到達時刻點，如輪廓的峰尖，當標準脈沖輪廓與實時測量的脈沖輪廓重疊時，記錄一次脈沖到達時間。 脈沖星X 射線光子能量很微弱，同一個方向上還有許多其他脈沖星同時提供光子能量，不能直接繪出某顆脈沖星入射X 射線光子能量隨時間變化的曲線，需要將連續多個周期上相同相位的光子能量疊加起來才能有清晰的輪廓，這稱為脈沖輪廓折疊。 假設原子鐘的時間坐標刻度是均勻的，脈沖星的每個脈沖相對于航天器來說也是均勻到達的，以脈沖周期為間隔來進行折疊，把各周期上具有相同相位的光子能量疊加，就得到標準脈沖輪廓。 然而實際上這種假設不成立，首先航天器原子鐘的走速僅在自身所處的局域坐標系上是均勻的，其所記錄的時間間隔轉換到其他坐標系上就不再均勻了，考慮引力紅移和相對速度的影響，從地球質心坐標系上看圓軌道航天器，時鐘走速有一個固定偏移，從太陽質心坐標系上看繞地球旋轉的航天器，時鐘走速有時快，有時慢，呈周期性變化；其次脈沖星的脈沖也不是均勻到達航天器的，受多普勒速度效應影響，航天器朝著脈沖星方向運動時，所測量的脈沖間隔短，背著脈沖星方向運動時，間隔長。

S.Sheikh（2005）利用NASA 公布的ARGOS 衛星軌道參數和所記錄的Crab 脈沖星（PSR B0531 ＋21）數據獲得了如圖2所示的脈沖輪廓［7］。 其中，圖2（a）是長期高精度時間尺度轉換獲得的標準脈沖輪廓，圖2（b）是衛星原子鐘的時間坐標軸上相同相位測得的光子數疊加獲得的脈沖輪廓，相比標準脈沖輪廓，其尖峰很不清晰，其原因是受到相對論效應的影響衛星原子鐘的走速相對于脈沖間隔是不均勻的。 在速度變化不大的情況下，連續的相鄰周期上的輪廓受多普勒效應影響并不明顯。 圖2（c）是將衛星位置近似于地球質心，用地球在太陽軌道上的引力勢和相對速度參數進行了時間尺度轉換，再把轉換后時間坐標軸上相鄰周期同相位所測光子數疊加獲得的輪廓，其尖峰已經較為清晰。圖2（d）是考慮衛星在太陽系質心坐標系中受到的相對論效應，用衛星在地球和太陽軌道上的引力勢和相對速度參數進行時間尺度轉換，再進行脈沖輪廓折疊，其尖峰更為清晰。 這說只有用太陽系質心坐標系來測量脈沖間隔才能獲得準確結果，而地心慣性坐標系和衛星局域坐標系與脈沖星不在相同坐標系中，因而不能進行直接的時間比對，不具備同時性條件。 這也說明，只有站在太陽系質心原點OSSB上看脈沖星，是靜止的，脈沖星和OSSB處于相同的坐標系上，具有同時性。 而航天器和地球質心對于脈沖星來說，是相對運動的，不在同一個坐標系上，不能直接比對時間。 圖2（e）是衛星相對于脈沖星速度－4.8km／s 和0.13km／s 兩個時段，在原子鐘的時間坐標軸上直接進行脈沖輪廓折疊的結果，輪廓幾乎無法分辨尖峰，如果認為脈沖星的周期和輪廓是穩定的，那么多普勒效應的影響是對時間坐標軸刻度的影響。 當速度變化緩慢時，可以采用伸縮時間坐標軸比例的方法來修正多普勒效應。

圖2 Crab 脈沖星的脈沖輪廓在不同坐標系的時間軸上的周期疊加波形圖Fig.2 The pulse profile of Crab PRS folded on time axis of different coordinate systems

我們習慣地認為時間是均勻流逝的，時間坐標軸的刻度是均勻的，然而，廣義相對論告訴我們，在本地局域坐標系上時間軸可以均勻刻度，一旦離開本地局域坐標系，把我們的時間軸轉換到其他坐標系上，或者從其他坐標系觀測我們的時間坐標軸時，我們本地所謂均勻的時間就發生了彎曲（不均勻流逝），這種彎曲程度與我們所處的引力勢和相對于另一個坐標系原點的相對速度有關，簡單關系如式（1）。

從上述例子可見，選擇一個與脈沖星相對靜止的坐標系是脈沖星導航的前提。 對于遙遠的脈沖星，把整個太陽系作為質點，脈沖星相對于該質點的徑向勻速運動可理解為脈沖頻率固有偏移，橫向運動可理解為方位變化而脈沖頻率不變，其他周期運動的影響通過長期觀測可以修正，因而太陽系質心坐標系最接近這個條件。 任何航天器上都必須把原子鐘時間轉換到太陽系質心系坐標時上，才能正確地測量脈沖星的脈沖周期和輪廓。

3 時間統一還是時間單位統一問題

脈沖星導航需要建立時空基準體系。 選定空間坐標系，規定守時基準和傳遞方式是空間計量主要任務。 在大尺度的廣域時空中，不同坐標系之間相互傳輸的頻率信息受到引力紅移和多普勒效應的影響，導致頻率不能成為最穩定的傳遞標準。 時間具有客觀唯一性，又能被原子鐘準確測量，當約定光速為常數后，時間成為時空基準體系的重要參數。 文獻［6］的空間計量理論提出了兩種時間統一的方法。

第一種是地球衛星導航系統GNSS 的時間統一，星載原子鐘經過相對論公式修正，不再以SI 秒為單位測量原時（proper time），而是直接用修正后的計時單位（time unit 或稱時間尺度）測量坐標時（coordinate time），不同軌道上使用不同的計時單位，由地面主控站守時并發布統一時間，在軌衛星定期與地面站比對時間，同時修正原子鐘的時間或走速，保持與地面時間一致；

第二種是正確選擇時空坐標系，以國際單位制SI 秒為計時單位測量原時，利用廣義相對論的線元和時空度規表達式，計算“坐標時”，由此獲得不同“原時”之間的比對關系，利用同一個坐標系中共同的“坐標時”來實現時間測量的統一。 第一種時間統一的方法只能適用于地面和地球附近區域，而第二種方法適用于更廣闊的太陽系。

GNSS 導航的時空基準體系是以地球質心為坐標原點O，每顆衛星不斷地向四周發送自己的實時坐標和時間戳（對應坐標位置的時刻），如圖3所示。 時間統一的條件是：所有衛星發出的時間戳到達原點O 時都應相等，滿足式（2）。 因相對論效應影響和星載原子鐘的不穩定性，每顆衛星的原子鐘走速都不一致，它們不必以SI 秒為單位走時，但必須不斷與地面站進行時間比對，確保與地心坐標時同步。 因而GNSS 的星載原子鐘并不用SI 秒測量原時，而是被馴服后直接測量坐標時，GNSS 導航衛星一般是圓軌道，其相對論效應影響近似為常量。

式中：to——坐標原點收到的時間戳；ti——第i 個衛星發出的時間戳，i 是衛星序號；Ri——第i 個衛星在坐標系中的位置矢量。

圖3 GNSS 導航的時空基準模型示意圖Fig.3 The principle of time-space standard mode of GNSS

第二種時間統一的方法更適合于廣域空間的脈沖星導航。 國際單位制SI 秒的絕對定義是航天器自主導航，不依賴于地面守時系統的前提。 愛因斯坦的廣義相對性原理：“一切參考系都是平權的，物理定律在任何坐標系下形式都不變，即具有廣義協變性”。 推廣到空間計量領域“計量單位在任何參考系和任何局域空間中都應不改變其定義形式”。 1967年國際計量大會定義SI 秒：“銫原子C133 基態的兩個超精細能級躍遷輻射振蕩為9 192 631 770周期所持續的時間”［8］。 此定義沒有限制SI 秒的適用范圍，因此無論是局域還是廣域時空，無論是“原時”還是“坐標時”都必須使用上述定義的SI 秒作為時間尺度，來測量時間。 廣義相對論中有兩種時間：“原時”是局域空間中使用SI 秒測量的時間；“坐標時”是以SI 秒為單位的時鐘在引力場為零且相對坐標原點速度為零的那一點上測量的時間，慣性坐標框架中的質心點和無窮遠點滿足坐標時定義的條件。 脈沖星相對于太陽系質心來說近似無窮遠且靜止，因此脈沖星和太陽系質心上有統一的坐標時。 原時是可觀測量，而坐標時只能利用原時積分獲得。 在同一個坐標系中不同局域的原時不能直接比較，只有換算到坐標時，才能相互比較。 在廣域大尺度時空中只能利用坐標時和SI 秒的絕對定義來統一時間。 遠離地球的航天器原子鐘應以SI 秒為單位，測量脈沖星的到達光子數，先獲得原時坐標軸上的測量值，再依據式（1）代入相對于OSSB的線對速度和局域引力勢，積分獲得OSSB坐標時，將原時坐標軸刻度換算為坐標時刻度。但速度和引力勢（對應到位置上）都是導航的未知參數，又如何進行時間尺度換算呢？ 單獨依靠脈沖光子的原時測量數據是不能進行脈沖星導航的，還必須借助一些已知的條件。

1）脈沖星的脈沖周期和輪廓的穩定性是已知的。 地球觀測站長期觀測脈沖，利用已知的太陽系各天體軌道和引力勢參數，將觀測數據換算成以坐標時為刻度的脈沖周期，和每個脈沖到達坐標原點OBBS的時間，以及標準脈沖輪廓，這些已知量是脈沖星導航的基礎，尤其是每個脈沖達到坐標原點的時間能外推到未來某一時刻，這就是脈沖星的星歷表。 在不斷積累的大量數據支持下星歷表預測更佳準確；

2）脈沖星方位是已知的。 遙遠的銀河系外恒星是太陽質心坐標系的參照物，經長期觀測被選為導航參照的脈沖星具有長期的方位穩定性；

3）多普勒效應是可修正的。 航天器借助星敏感器和太陽敏感器，利用現有天文導航技術初步確定航天器在太陽質心坐標系內的位置、速度和方向，雖然太陽質心不同于太陽系質心，但距離較遠時，速度測量偏差是小量。 已知航天器在太陽質心坐標系內的速度矢量和脈沖星方位矢量，點積成為標量速度是航天器在太陽質心坐標系中在脈沖星視向方向的運動速度，可將V 代入在航天器自身坐標系內修正多普勒效應［9］

式中：Δτ’——修正后的原時坐標刻度間隔；Δτ——修正前的原時坐標刻度間隔；V——航天器在脈沖星視向方向相對于脈沖星的速度，接近脈沖星為正，遠離脈沖星為負。

這一時刻，所測量的原時坐標軸乘以多普勒效應系數（式2 中的系數），拉伸或壓縮時間坐標軸，這樣處理后的原時數據才可在式（1）中進行時間尺度轉換。 精確導航計算中這一步所述的速度需要多次迭代。

4）時間單位SI 秒是絕對定義的。 航天器上的原子鐘必須使用SI 秒測量原時，否則時間尺度轉換后的坐標時與星歷表時間不能統一。 時間單位統一是空間計量的第二種時間統一方式的前提條件。把式（1）左邊時間間隔Δt 為作為星歷表給出的脈沖周期，右邊原時τ 是可測量，用兩個及以上脈沖星的星歷就可迭代計算相對原點速度和引力勢。但這種方法中速度和引力勢都是與c－2相關小量，計算程序的截斷誤差影響很大；

5）星歷表初始歷元是已知的。 當某一顆脈沖星的星歷表初始歷元確定后，后續脈沖都能獲得順序的編號，且對應其到達OSSB的坐標時歷元，即序號乘以脈沖周期。 一旦航天器對新探測到的每個脈沖，查找到它在星歷表中的編號，那么后續測量的脈沖相位就可知道航天器在脈沖星視向方向的位移，觀測多個不同方向的脈沖星可知航天器在太陽系質心坐標系的具體位置。 把毫秒脈沖星的脈沖間隔換算到空間，在視向方向達幾千千米的尺度，利用傳統天文導航技術可初步獲得航天器的位置和速度，以此估算新到達的脈沖編號。

4 大尺度廣域時空的守時系統

守時是維持時間系統的穩定并且統一時間基準的技術。 如果一個孤立的系統不需要與外界比較時間的話，就沒有統一時間的需要，也就沒必要研究空間計量了。 然而，人類活動的所有空間范圍和所有時間跨度都被時間聯系在一起，尤其是長度單位被光速和時間定義后，空間也成為時間的相關量，導航的基本觀測量就是時間。 時間基準穩不穩，時間測量準不準以及時間如何傳遞和比較的問題成為空間計量的基本問題。 自從原子鐘技術實用以來，歷經50 多年，在地球上建成了基于大地水準面和500 多臺高精度原子鐘的守時系統，提供國際原子時TAI 基準，發布國際協調時UTC 時間。 當人類遠離地球，開展深空探索或建立地球以外的基地時，就不方便使用地面的守時技術，在大尺度廣域時空中，需要構建新的守時系統—太陽系質心守時系統。 與現有守時系統不同之處如下。

1）新的守時系統是以太陽系質心為坐標原點，在廣義相對論基礎上把坐標時作為時間傳遞、比對和守時的通用語言，不限定守時基準所處的空間位置，既可以在地球表面，也可以在地球同步軌道以及拉格朗日L2 點，未來還可以在月球、火星基地建立守時基準，只要守時基準位置的引力勢和相對速度可以精確計算就可行；現有守時系統是以地球質心為坐標原點，為便于地面原子鐘的測量，把地球質心坐標時外推到大地水準面上，稱大地水準面上的時間TT，也被看作是一種“坐標時”，它與地心坐標時TCG 有固定的走速偏差；

2）新的守時系統利用原子鐘和脈沖星的穩定性，有微觀量子穩定和宏觀宇宙穩定的雙重互比參考，現有守時系統僅依賴于多臺原子鐘的加權平均，來維持時間系統的穩定；

3）新的守時系統是開放系統，它把地面守時系統作為權值最大的子系統，隨著人類向外空間的發展，它還可以加入更多行星守時子系統，甚至引力勢和相對速度確定的任何航天器，如拉格朗日L2點，也能成為守時系統的一部分。

新的守時系統框圖如圖4所示。 具有守時功能的航天器應具有測量多顆X 射線脈沖的能力，并攜帶銫原子鐘，航天器的軌道力學參數作為已知參數，用銫原子鐘復現SI 秒單位，測量脈沖星到達時間，將某一編號的脈沖貼上轉換為太陽系質心坐標時的脈沖到達時間TOA，發送到地面，在地面計算來自不同航天器的TOA 與星歷表之差。 若偏差整體偏移，則修正星歷表，若某一個航天器的偏差較大，則通知該航天器修正銫原子頻標或軌道參數。守時系統的計算與脈沖星導航的計算是互逆過程。脈沖星導航是已知星歷表和原子時鐘，計算軌道參數。 而守時則相反。

圖4 太陽系質心坐標系守時系統框圖Fig.4 Time keeping system of BCRS

5 結束語

空間計量是解決長期航天任務中測量單位統一和測量準確可靠的技術和管理活動。 脈沖星導航技術在時間測量、空間測量以及其它工程量測量方面都與空間計量學科相交叉。 在時間測量理論方面，兩者都應用了廣義相對論基礎理論。 基于廣義相對論的空間計量理論在時間測量方面提出：不同坐標系中測量的原時不能直接比對，同時性僅在同一個坐標系中有定義，選擇恰當的坐標系是統一時間系統的前提條件；時間單位的統一和時間測量的統一兩者不可兼得，由此出現了脈沖星導航和地球衛星導航兩種時間系統的統一模式；SI 秒的定義適用于任何局域和廣域時空，使用SI 秒作單位測量原時，是各種坐標系之間時間尺度轉換的基本條件；銫原子鐘和脈沖星自轉周期將成為太陽系內守時系統的自然基準。 脈沖星的脈沖周期、脈沖輪廓和空間位置的長期穩定性既是脈沖星導航的工具也是空間計量的工具。