淺析極限思想及其應用

趙瑩然

摘 要：本文首先總結了極限思想的形成與發展，然后闡述了極限的數學概念，并給出了求解極限的幾種常見方法，尤其是洛必達法則，最后論述了極限思想的應用。

關鍵詞：極限思想;極限概念;極限計算方法;極限思想應用

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）03-0185-02

極限思想在整個數學發展史上占有重要地位。極限思想就是通過極限概念分析和解決問題的一種數學思想。在數學歷史發展的過程中，極限思想不斷被完善。隨著近代嚴格極限理論的確立，極限思想成為了微積分理論的基礎。隨后，在各個學科領域的分析中，也開始借助于極限來定義。極限思想使得有限和無限、連續與不連續的相互轉化成為現實。

1 極限思想的形成與發展

極限思想的由來可以追溯到古代。例如戰國時期莊周所著的《莊子·天下篇》中記載了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”;魏晉時期數學家劉徽在“割圓術”中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓和體而無所失矣”;古希臘數學家芝諾的“二分法”和阿基里斯悖論等[1]，這些都是早期極限思想的生動體現。公元前4世紀，古希臘數學家歐多克斯提出了關于計算面積和體積的窮竭法，證明了“圓的面積與直徑的平方成正比”等結論。阿基米德通過嚴密的計算，解決了求幾何圖形長度、面積、體積等性質的一系列問題，并提出了無窮小量的概念，這一概念成為了17世紀牛頓創建微積分的基礎。但貝克萊指出，牛頓在微分的推導過程中先是認為無窮小量不是零，最后又讓它等于零，無窮小量是“已死的幽靈”，即著名的貝克萊悖論。這一悖論引發了數學史上的第二次危機。后來隨著嚴格極限理論的建立，尤其是魏爾斯特拉斯創立的ε-δ語言，用靜態的方法描述了動態的極限和連續的概念，才消除了無窮小量引起的混亂，從而使得第二次數學危機得以解決。自此之后，極限理論以充實和嚴密的自身體系成為微積分的理論基礎，使微積分擺脫了幾何上的直觀和運動上的不確切描述，進入了全新的發展時期。隨著現代數學理論的不斷發展，極限概念也在進行著深層次的拓展，比如n維歐式空間中的函數極限、距離空間中的點列極限以及拓撲空間中的半序點列極限等[2]。

2 極限的數學概念

2.1 數列極限

考慮數列，隨著n的增大，該數列的值與1的差值會越來越小。這樣，給定一個趨于0的正數ε，當n大于某個值時，1+與1的差值總會小于ε。類似的，可以給出數列極限的定義：給定數列{an}，a為實常數，如果對于任意給定的ε>0，無論它多么小，總存在正整數N，使得當n>N時，滿足|an-a|<ε，則稱數列{an}收斂于a，并且a為數列{an}的極限，記作an=a或an→a（n→∞）。若不滿足上述條件，則數列{an}的極限不存在，即數列{an}不收斂，或稱數列{an}發散。

2.2 函數極限

對于函數極限，也有類似的定義。設函數f（x）在點x0的某個去心領域內有定義，如果存在實數A，對于任意給定的ε>0，無論它多么小，總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，都有|f（x）-A|<ε成立，則稱A是函數f（x）在x→x0時的極限，記作f（x）=A或f（x）→A（x→x0）。若不存在這樣的A，則稱函數f（x）在點x0處的極限不存在[3]。

求數列和函數極限時，關鍵是找出與ε有關的N或δ。比如求函數極限時，一般可先限定x的變化范圍，然后從|f（x）-A|<ε入手，通過對|f（x）-A|進行適當放縮得出δ的值。

例1：證明（x2-5x+8）=2。

證：當x≠2時，由0<|x-2|<1可得0<|x-3|<2。根據函數極限定義，要證上式成立，即滿足對任意的ε>0，有|（x2-5x+8）-2|=|（x-2）（x-3）|<2|x-2|<ε，解得|x-2|<。取δ=min{1，}，則當0<|x-2|<δ時，可滿足|（x2-5x+8）-2|<ε，從而證得（x2-5x+8）=2。

2.3 與極限思想有關的一些概念

（1）函數f（x）在點x0處連續，即f（x）在x0處的極限值等于在該點處的函數值f（x0）。（2）函數f（x）在點x0處的導數，是函數值改變量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）與自變量x的改變量Δx之比在Δx→0時的極限。（3）函數f（x）在[a，b]上的定積分，是[a，b]上的任意劃分P：a=x0<x1<x2<…<xn=b，ξi∈[xi-1，xi]，當λ=（Δxi）→0時，和式Sn=f（ξi）Δxi的極限。（4）數值級數un的斂散性由部分和數列Sn是否存在極限來定義。

3 極限的幾種計算方法

3.1 函數極限運算法則

設：limf（x）=A，limg（x）=B，則：

（1）lim[f（x）±g（x）]=A±B;（2）lim[f（x）·g（x）]=A·B;（3）lim =（B≠0）。

對于數列極限，類似法則仍然成立。

3.2 夾逼準則

直接求出極限在很多時候是比較困難的，此時可以考慮對原變量進行適當的放縮，從而得到兩個易于求極限且極限值相同的新變量，則原變量的極限等于新變量的極限。

例2：求的極限。

解：對任意正整數n，顯然有<≤=，易知→0，→0。

由夾逼準則可得=0。

3.3 兩個重要的極限

利用以下兩個重要極限時，要注意函數具有或可化為該形式。

（1）=1。

例3：求。

解：=·）=· =1·1=1。

（2）=e或=e。

例 4：求的極限。

解：==e2。

3.4 洛必達法則

在計算分式極限時，通常會遇到分子分母都趨于零或無窮大的情況。實際上，就屬于該種形式。可以考慮借助導數來計算這種類型的極限，即洛必達法則。若函數f（x）和g（x）滿足以下條件：

（1）f（x）和g（x）的極限都是0或都是無窮大;（2）f（x）和g（x）都可導，且g（x）的導數不為0;（3）lim存在（可以是有限數或∞）。

則極限lim也一定存在且等于lim，即lim=lim。

例5：求。

解：該極限形式是待定型，根據洛必達法則可得==。

在運用洛比達法則時，需要注意以下幾點：

（1）使用時要注意條件，首先觀察是否屬于或待定型。（2）要注意分子分母在限定區域內是否可導，然后分別求分子、分母的導數。（3）對于0·∞、∞±∞、∞0、1∞、00等類型的極限都可以轉化成或型。就屬于1∞型，==== =e1=e。（4）若條件符合，可以連續使用洛必達法則直至求出極限。但有時即使符合條件，使用洛必達法則也不一定能求出極限，此時應停止使用該法則，尋求其他解法[4]。

4 極限思想的應用

極限思想本質上是一種數量關系或空間形式，它反映了客觀事物在運動變化過程中由量變轉化為質變的過程。極限理論是微積分的理論基礎，同時也是研究微積分的基本工具。它不僅在數學分析領域中起到了很大的作用，還能廣泛應用到其他數學分支和自然科學中，比如微分幾何、計算數學以及物理學等領域。極限思想在概率論中也有著重要作用。概率的定義即為事件發生頻率的極限，但現實生活中實驗的次數是有限的，因此研究概率時往往要用到求極限的方法。概率論中的許多定理，比如大數定律與中心極限定理等，都是通過極限的語言來描述的。極限的思想方法體現了有限與無限、變量與常量、近似與精確、量變與質變的對立統一。它作為人類發現數學問題并嘗試解決數學及相關學科問題的一種重要手段，在數學乃至科學發展過程中起到了巨大的作用。

參考文獻

[1] 鄭承民.極限思想的演變及其應用[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2011（4）：89-94.

[2] 吳振英，陳湛本.論極限的思想方法[J].廣州大學學報（自然科學版），2003（5）：410-413.

[3] 陳紀修，於崇華，金路.數學分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[4] 藺守臣.求極限的方法[J].浙江師范大學學報（自然科學版），2001，24（s1）：40-41.