巧用隱形圓解決線段的最值問題

◆張潔彬

(唐山市第十二中學)

求線段長的最值問題是近年來中考常見題型，解決此類問題，學生可以在教師的引導下抽象或提煉出相應的解題基本模型，從而達到提升學生的解題能力。筆者現對題目中蘊含隱形圓的基本模型做以下三點分析。

利用隱形圓求線段最值問題，要清楚解題的基本模型，利用“三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊?！钡男再|求線段的最大和最小值。如圖1，當點P為⊙O外一點時，點P到圓上各點的最大距離是直線PO上點P與遠交點B之間的線段PB的長，最小距離是直線PO上點P與近交點A之間的線段PA的長；當點P為⊙O內一點時，點P到圓上各點的最大距離也是直線PO上點P與遠交點B之間的線段PB的長，最小距離也是直線PO上點P與近交點A之間的線段PA的長。明確模型后，就可以將“兩點間線段的長”轉化為“定點到圓上各點的距離”，從而通過找到動點運動軌跡是圓(弧)，利用隱形圓與遠近交點的關系即“圓內(外)一點到圓上各點的連線中，點與過圓心的直線與圓近交點距離最短，遠交點距離最長”來求線段長的最大和最小值。

一、“一中同長”發現隱形圓求最值

例1.如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A’EF，則A’C的長的最小值是___.

變式：如圖5，在矩形紙片ABCD 中，AB=2，AD=3，點E是AB的中點，點F是AD、DC或BC邊上的一個動點，將四邊形ADFE或五邊形ADCFE沿EF所在直線翻折，得到四邊形A′EFD’或五邊形A′EFC’D’，則A’C的長的最大值是___.

二、利用旋轉軌跡發現隱形圓求最值

例2.如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求線段PM的最小值與最大值。

三、定弦對定角”發現隱形圓(弧)求最值

1.角為直角

例3.如圖10，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為多少？

2.角為非直角

例4.如圖12，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為___.

分析：

通過以上問題的探究，我們發現基礎知識是學生解決數學問題的最基本要素。在教學中，教師要善于引導學生發現動點題目中不變的量，不變的性質和不變關系。對于求解一條線段長的最值問題學生常常會發現點的運動軌跡是一個隱形的圓。教師要引導學生抓住圖形的這一幾何特征，依據“圓內(外)一點到圓上各點的連線中，點與過圓心的直線與圓近交點距離最短，遠交點距離最長”這一基本解題模型，通過以靜制動，多解歸一的方法來求得線段長的最大或最小值。