地面與飛行狀態下固體發動機比沖差異性分析①

何景軒，侯 曉

(1.中國航天科技集團公司四院四十一所，西安 710025；2.中國航天科技集團公司四院，西安 710025)

0 引言

彈總體對固體發動機一般提出海平面、某一高度或真空條件下比沖等性能要求，固體發動機的性能可通過地面或者地面高空模擬試驗直接獲得推力，從而獲得發動機的實際比沖。固體發動機的內彈道模型是在試驗數據的基礎上所建立的性能預示模型，在此基礎上，可根據某一發動機的實際相關參數來準確預示該發動機的性能。對于參加飛行試驗的發動機，可用導彈飛行中相關遙測參數進行發動機的性能評估，目前飛行狀態下固體發動機推力的辨識主要有兩種方法：利用導彈飛行中獲得的視加速度和彈體相關質量及其變化進行比沖辨識；基于發動機內彈道預示模型，根據飛行中遙測壓強進行發動機比沖的辨識。文獻[1]采用飛行試驗遙測參數和地面試驗相關參數來獲得VEGA各級固體發動機的實際性能，指出為了降低由飛行試驗數據反算發動機實際性能的不確定度，需引入更為復雜的噴管喉襯燒蝕規律。文獻[2]采用發動機內彈道計算模型BEEP，以遙測壓強為基礎，通過調整發動機的性能以匹配該外彈道條件下的視加速度來評估固體發動機的比沖。文獻[3]采用視加速度方法對固體發動機的比沖進行了計算，與發動機內彈道模型計算的發動機比沖吻合度好，平均比沖相對最大偏差為0.4%。文獻[4]采用外彈道模型對固體發動機比沖進行了計算。在發動機研制中，通過對多個型號飛行試驗結果分析，在飛行狀態下，除一些發動機因大過載條件下燃燒產物有較多沉積而沒有預先進行準確預測其質量變化率外，這兩種辨識方法均可進行發動機性能的評估。

隨著導彈制導控制與精度要求的進一步提高，在型號研制過程中，也發現采用視加速度方法辨識的發動機比沖與地面試驗所獲得的比沖還是有一個較小的差異。文獻[2]對大力神固體助推器的比沖進行了分析，指出并不是發動機的總沖發生了變化，而主要在于通過改變發動機的比沖以匹配視加速度這種辨識方法所造成，分析認為該發動機比沖天地差別為1.4 s(17.3 N·s/kg)，其中比沖曲線形狀的變化占0.9 s(8.82 N·s/kg)，氣動阻力部分占0.3 s(2.94 N·s/kg)。針對固體發動機性能天地差異性問題，文獻[5]對其產生的原因進行了分析，提出了彈體起飛質量、發動機質量流量規律、發動機附加質量及沉積質量等因素對性能辨識的影響，其主要集中在彈體質量及其變化對性能辨識的影響上，并對相關因素進行了具體分析。

本文首先排除天地性能辨識中一些測試誤差對辨識結果的影響，主要從理論上對一些影響性能天地差異性的固有因素與本質原因進行探究，為準確辨識發動機的性能以及外彈道計算與控制提供依據。

1 固體發動機比沖計算方法

1.1 地面試驗發動機比沖

對于地面或者高空模擬試驗發動機均可直接測得推力，根據實際環境大氣壓強或者實測模擬艙壓通過換算獲得發動機的海平面或者真空條件下發動機的推力。推力對時間的積分除以實測推進劑質量，可得發動機平均比沖：

(1)

1.2 飛行狀態下基于視加速度的發動機比沖

在真空或者氣動阻力忽略不計的條件下，由飛行中獲得的視加速度計算發動機的推力：

(2)

根據式(2)獲得推力，再應用式(1)可計算發動機的平均比沖。此外，可選取發動機工作過程中某一時間段推力相對平穩的區間，在該區間內可近似認為dF/dt=0，同時假設發動機的比沖為常數，則經過一系列推導可得發動機的比沖：

(3)

式(3)可提供一種發動機比沖的估算方法，其基礎是高精度穩定的視加速度測試數據，由于每一時刻點的視加速度數值的微小差異會導致計算結果散布較大，且實際工作中dF/dt≠0，并涉及到力變率與加速度能量增量等，所以在后面分析中不涉及式(3)。

1.3 飛行狀態下基于內彈道模型的發動機比沖

以遙測壓強為基礎，利用內彈道模型可獲得發動機推力：

F=CF(t)pc(t)At(t)

(4)

式中pc(t)為遙測壓強；CF(t)為根據地面試驗得到海平面或者真空狀態的推力系數；At(t)為根據多發地面試車前后噴管喉徑實測值確定的噴管喉徑變化規律。

從固體發動機比沖計算模型看，基于視加速度方法主要考慮導彈在飛行過程中初始質量及其質量的變化等因素；而基于內彈道模型，主要依據遙測壓強及相關性能參數，在排除飛行大過載條件下某些型號發動機燃燒產物的沉積引起質量特性較大變化而未進行有效預示等情況外，基于內彈道模型與地面試驗獲得的發動機比沖一致，只要發動機遙測壓強曲線與預示壓強曲線吻合較好，或者平均工作壓強一致，則該模型就能夠滿足發動機比沖的辨識要求。固體發動機性能辨識的差異性主要是采用基于視加速度模型時與地面試驗獲得的比沖存在一定且較小的差異，即性能天地差異性的問題，根據現有公開報道[1-3]以及多個研制型號的分析結果，這種性能差異基本在1 s左右，且在1.5 s以內。下面對其差異性進行分析。

2 地面與飛行狀態下固體發動機比沖的差異性分析

2.1 發動機的推力與飛行速度的關系

Sutton[6]指出，火箭發動機的推力與飛行速度的關系為接近常數(Nearly constant)；文獻[1]認為，由飛行試驗所得到的噴管效率要高于靜止試驗狀態噴管的效率，但相差不大，加速飛行狀態下噴管擴張段內氣固兩相流運動特性等變化對性能的影響可忽略不計。為了便于分析，把該問題進行理想化處理并考慮極端狀態，在不考慮阻力和重力條件下，設導彈的初速為零時，基于齊奧爾科夫斯基和阿克萊相關公式，其理想末速度分別為

(5)

(6)

式中v為導彈的速度；ue為燃氣相對于導彈的噴氣速度；M0為導彈初始總質量；Mp為發動機裝藥質量。

該式未考慮阻力和地球引力等引起的損失，代表理想的極限情況。當ε=v/c→0，阿克萊公式簡化為齊奧爾科夫斯基公式，故齊奧爾科夫斯基公式是阿克萊公式的特例，是對極限狀態阿克萊公式計算的理想飛行速度增量的正修正。通常導彈飛行條件下ε基本等于0。因此，兩式基本沒有差別，也就是通常意義上的發動機本身的推力與飛行速度無關[6]。

2.2 發動機的推力與飛行高度的關系

固體發動機提供的性能參數一般為海平面或者真空條件下的性能，飛行條件下，外彈道計算中發動機的推力按照相應高度的環境壓強等因素進行修正。例如，發動機的海平面推力為

(7)

F=F0+Aepa(1-p/pa)

(8)

發動機推力公式中，環境壓強p由導航結果和大氣模型計算得到，但發動機提供的海平面或者真空條件下的性能F0保持不變。

2.3 導彈質量變化對性能的影響

導彈質量變化主要包括發動機和彈上伺服燃氣源等其他系統質量變化以及部分部件分離質量等。其中，發動機秒流量包括兩個部分：一是按照實際裝藥質量確定的秒流量；二是發動機熱結構燒蝕質量所帶來的附加質量秒流量。推進劑的秒流量可根據實際裝藥量及工作時間等條件準確確定，而發動機的附加質量包括燃燒室內絕熱層、噴管固定體絕熱層、喉襯組件及擴張段等絕熱結構燒蝕產生的秒流量，附加質量一般天地之間會有所差別，其中包括一些飛行彈道與過載條件下熱結構燒蝕質量相比地面有所增加，或者一些推進劑在飛行過載條件下的燃燒特性有所變化而造成凝相顆粒的沉積等情況，這些質量均需通過地面過載試驗、固體發動機立式試車或者通過飛行試驗的反算來獲得。

設導彈的質量變化的一般規律為

M=M0f(t)

則質量變化率為

dM/dt=M0f′(t)

(9)

在真空重力場中鉛直平面內以一定俯仰角θ條件下飛行時，其運動方程為

(10)

當t=0時，有Mt=0=M0及f(0)=1，可得

Δv=-uelnf(t)-gtsinθ

(11)

從上式分析可知，導彈的質量變化對性能的評估影響較大。其中，發動機裝藥的秒流量和伺服燃氣源等可準確預示，而發動機的附加質量因天地可能有所差異，會對性能評估有所影響；同時，也需考慮導彈質量變化與該時刻視加速度的匹配性。

2.4 發動機推力一定時不同彈道的速度增量

導彈的空間運動可看成變質量物體的六自由度運動，由兩個矢量方程描述。通常將矢量方程投影到坐標系，形成三個描述導彈質心運動的動力學標量方程和三個描述導彈繞質心轉動的動力學標量方程。為了簡化分析，設在鉛直平面內重力場中，在一定俯仰角θ條件下無氣動阻力飛行時，其理想速度增量為

(12)

由式(12)可知，導彈的俯仰角越大，則發動機的推力需直接克服重力的作用，這樣不利于提高導彈速度。如圖1所示，設發動機噴氣速度為3000 m/s，在導彈質量比一定的條件下，俯仰角對導彈最終速度具有較大的影響，不同飛行彈道其速度增量不同。

2.5 固體發動機的能量到導彈能量的轉換

一般情況下，固體發動機總體會對固體推進劑提出比沖等性能要求。由于發動機在工作過程中存在各種能量耗散，所以其比沖與固體推進劑的比沖不同，也就是存在將推進劑能量向發動機的能量轉換問題。在飛行狀態下，同樣存在從發動機能量轉換為導彈的能量這樣一個轉換效率的問題，其主要原因在于靜態與飛行態的差別。發動機地面試車時是靜止狀態，而飛行時是運動狀態，但并不是發動機推力或者能量發生變化。

圖1 速度增量與俯仰角及質量比的關系Fig.1 Relationship of speed increment and pitch angle and mass ratio

導彈的速度增量與導彈的質量特性及發動機的性能密切相關，通過對導彈推進效率的討論可更好地說明發動機的能量如何更好地轉換給導彈以及導彈視加速度模量與發動機性能的關系。按照變質量質點運動微分方程，將導彈以及排出的燃氣合在一起當作質點系來考慮，在能量釋放時兩者相對分離，設發動機噴出的動量為mu，導彈的質量為M，根據動量定理和能量守恒原理并忽略二階小量的情況下，發動機產生的能量推進導彈的運動，其發揮的效率為

(13)

式中Em為導彈獲得的能量；E為導彈推進系統的總能量；R為導彈的質量比。

由式(13)可知，發動機能量的轉化與導彈的質量密切相關，R越大，即推進劑的質量越大，能量轉化給導彈的效率就越高。該分析方法是基于推進劑的能量瞬間完全釋放出來以加速導彈的運動，但導彈在實際飛行過程中，推進劑能量逐漸釋放。對于推進劑能量逐漸釋放這種情況，發動機采用等效噴氣速度uef，這樣導彈的能量方程為

(14)

發動機的能量方程為

(15)

導彈的推進效率為

(16)

式(16)表示導彈的推進效率是導彈質量數和lnR的關系。由v=ueflnR可知，R=ev/uef=eλ，即推進效率也是飛行速度與發動機等效噴氣速度之比的函數，速度的倍數對應質量比的對數。對于等效噴氣速度為常數的發動機，導彈的速度隨R的增加而增加，達到峰值后又呈下降趨勢。

固體發動機作為導彈動力裝置，外效率是發動機的一個特性，與導彈的推進效率相對應，發動機的外效率是在單位時間內導彈運動中所消耗發動機推力的有用功與氣流動能之比，雖然發動機的推力不隨導彈飛行速度變化，但其外效率則取決于導彈的運動速度。

設λ=v/uef，則發動機的外效率為

η=2λ/(1+λ2)

(17)

在λ<1時，隨著λ的增大，推進的效率增加；當λ=1時，效率最大；當λ>1時，效率會逐漸下降。因此，導彈不同的質量數及飛行速度會影響推進效率。若導彈固定則相當于發動機地面試車狀態，則外效率為零，因為發動機的推力不做任何功；在彈體速度等于發動機等效噴氣速度時，外效率達到最大值等于1。通過計算可知，某型號發動機的外效率為0.995，其物理意義：在飛行狀態下，相對于慣性系當燃氣質點噴出時的絕對速度為零，則燃氣的全部動能都消耗在導彈的運動上；當彈速小于或者大于流速時，則燃氣質點從噴管飛出后向導彈運動的反方向或者同向運動，其絕對速度為流速與彈速之差，即還有一些燃氣動能未被導彈利用而耗散掉，這兩種情況下外效率都小于1，因為在彈速小于流速時其動能沒有全部消耗，而彈速大于流速時推力的一部分功在導彈運動中轉化為燃氣質點的動能。此外，在飛行過程中，也可能存在瞬間分離部件的動能。因此，采用視加速度的分析方法，實際上是能量轉化后對導彈進行的運動分析，這樣的辨識方法與地面靜止狀態的發動機存在一定差異，在性能辨識中需考慮轉化效率的修正。

2.6 視加速度合成方向與發動機推力方向存在差異

實際飛行中，加速度計的測量值包括彈的運動加速度和表觀重力加速度的修正以及相關運動引起的加速度等[7]，如導彈質心處與非質心處的過載存在導彈的角速度、角加速度等有關的哥氏慣性力和牽連慣性力等差異，非質心處的慣性傳感器除敏感系統的平移運動外，還敏感到由于剛體旋轉運動所引起的慣性力的作用；當導彈彈道傾角變化較大時，導彈大姿態機動飛行時，導彈質心處的過載與導彈尾部的過載也具有一定的差別。因此，通過坐標轉化后沿彈體坐標系下的三個方向的合成視加速度的方向可能不完全沿彈體縱軸并通過其質心，同時發動機的推力方向因噴管補償量及飛行彈道的要求，發動機的推力與導彈彈體縱軸實際上也存在方向誤差且不通過彈的質心，而且發動機燃氣噴射方向與導彈運動的速度方向并不在一條直線上。因此，在實際應用時，要注意合成的視加速度方向與發動機推力方向的偏差與橫移造成的影響。

2.7 飛行狀態下導彈壓差阻力的分配

對于真空狀態下的飛行，可不考慮壓差的影響。對在大氣環境中飛行的導彈在采用遙測數據處理發動機的比沖或者外彈道計算時，需要考慮壓差阻力中的(pe-pa)Ae部分歸發動機推力項，見式(7)和式(8)所示形式。按照導彈飛行動力學方程，在超音速飛行時，阻力系數Cx包括波阻、摩擦阻力、頭部阻力、底部阻力等相關阻力系數。由于(pe-pa)Ae項已歸發動機推力，所以壓差阻力系數不應再包含這部分的阻力系數。考慮噴流效應，導彈底部壓強pb一般低于當地大氣壓強pa，因此其壓阻為(pa-pb)(Sb-Ae)項，否則會重復計算項。目前，由于阻力難以從視加速度中進行有效剝離，所以對在大氣環境條件下采用視加速度的方法辨識發動機的性能偏差較大。

2.8 其他因素的影響

一般彈道設計是將導彈作為可控的質點，對于體積較大的飛行器，地面環境條件下實測的重量與高空狀態下的重量除重力加速度的影響外還存在地面大氣環境條件下空氣浮力的作用造成導彈重量方面的天地差別。另外，空間飛行器在高空飛行時，因存在太陽光壓力，按照粒子說，光由光子組成，所以由光子組成的光正如由氣體分子組成的氣體一樣，對物體產生光壓力。顯然，該因素對短時間工作的飛行器影響可忽略不計。

3 結論

(1)對影響發動機性能辨識的因素進行了分析，其主要因素包括導彈的質量變化率、能量轉化效率以及視加速度與發動機推力方向一致性等因素；結合現有公開報道及相關型號的分析，這些因素造成天地比沖的差異基本在1 s左右，且在1.5 s以內，在工程上基于視加速度模型和基于發動機內彈道模型均可辨識發動機的比沖，但基于視加速度的方法辨識發動機的比沖稍微偏小。

(2)導彈質量變化對性能評估影響較大，對發動機而言，其裝藥秒流量可準確預示，而發動機的附加質量(包含一些發動機可能存在凝相產物沉積的情況)由于天地可能有所差異，所以會對性能評估有所影響。

(3)在飛行狀態下，在彈體飛行速度與發動機等效噴氣速度不同時，均會影響發動機能量到推進能量的轉化效率。因此，基于采用視加速度的分析方法，實際上是能量轉化后進行的導彈運動分析，在性能辨識中，需考慮轉化效率的修正。

(4)導彈視加速度和發動機推力均為矢量，由于飛行彈道以及各種因素的影響，兩者的方向性可能存在一定差異。