基于均勻化理論的4D軸編C/C復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)性能預(yù)測(cè)①

朱昭君，強(qiáng)洪夫

(1.火箭軍工程大學(xué) 研究生院，西安 710025；2.火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025)

0 引言

4D軸編C/C復(fù)合材料因其特有的編織方式，具有較高的軸向剛度、性能波動(dòng)小、結(jié)構(gòu)完整性好等特點(diǎn)[1-2]，是高壓強(qiáng)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)喉襯的首選材料。4D軸編C/C復(fù)合材料在制備過(guò)程中經(jīng)歷復(fù)雜的工序，使得纖維棒、纖維束、基體、界面發(fā)生物理化學(xué)變化，導(dǎo)致炭纖維材料的性能出現(xiàn)了變化，如果使用組分材料的原始性能預(yù)報(bào)復(fù)合材料的宏觀性能就會(huì)出現(xiàn)偏差。目前，對(duì)復(fù)合材料的力學(xué)性能研究缺乏高效的理論手段，大多經(jīng)過(guò)經(jīng)驗(yàn)預(yù)估獲得，同時(shí)對(duì)其力學(xué)性能在細(xì)觀層次的研究較少。因此，對(duì)該材料開(kāi)展細(xì)觀層次的力學(xué)性能預(yù)測(cè)，可為更高性能復(fù)合材料的設(shè)計(jì)提供理論支撐。

4D軸編C/C復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)性能的預(yù)測(cè)研究對(duì)應(yīng)復(fù)合材料的各組成部分，通過(guò)建立復(fù)合材料的細(xì)觀代表性體積單元(RVE)，在RVE模型上施加周期性邊界條件，可以解決細(xì)觀應(yīng)力的分布問(wèn)題，最后通過(guò)計(jì)算得到宏觀等效的材料系數(shù)。均勻化理論是模擬復(fù)合材料宏觀和細(xì)觀尺度物理場(chǎng)問(wèn)題的有效方法[3-8]。Hassani B[9-10]具體描述了均勻化方法的原理及應(yīng)用，提出可將其應(yīng)用在周期性結(jié)構(gòu)的材料性能分析中；對(duì)于4D軸編C/C復(fù)合材料而言，在細(xì)觀層次具有周期性的特點(diǎn)。劉洋[1]在4D軸編C/C復(fù)合材料試件燒蝕形貌的基礎(chǔ)上,討論了炭棒和纖維束之間界面的幾種破壞模式,為數(shù)值仿真提供了參數(shù)。唐敏[11]、廖英強(qiáng)[12]分別完成了4D軸編C/C復(fù)合材料的RVE模型的剛度預(yù)測(cè)，應(yīng)用周期性邊界條件程序作為位移邊界條件,同時(shí)將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。單忠德[13]對(duì)層間增強(qiáng)纖維棒復(fù)合材料應(yīng)用均勻化理論實(shí)現(xiàn)了等位移，使用體積平均法完成了剛度的預(yù)測(cè)。宋廣興[14]完成了二維C/C復(fù)合材料的有效彈性性能的預(yù)測(cè)，同時(shí)得出了參數(shù)對(duì)有效性能的影響規(guī)律。Wajed Zaman[15]研究了4D軸編C/C復(fù)合材料軸向纖維棒和徑向纖維束分別在彎曲載荷下的失效情況，得出了纖維棒與徑向纖維束不同的破壞模式。廖英強(qiáng)[16-17]針對(duì)4D軸編C/C復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測(cè)，采用雙線(xiàn)性?xún)?nèi)聚力模型對(duì)界面相進(jìn)行了模擬，得出了一些結(jié)論。

本文在均勻化理論的基礎(chǔ)上建立復(fù)合材料的RVE有限元模型，然后通過(guò)施加兩種情況下的周期性邊界條件進(jìn)行數(shù)值模擬，求得材料的力學(xué)性能，完成等效剛度矩陣的計(jì)算，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析，得到了一些規(guī)律。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 復(fù)合材料均勻化理論

(1)

其中，γ為體積，積分式中第一項(xiàng)為剛度體積平均值；第二項(xiàng)中χkl是等效位移，在代表性體積單元中進(jìn)行計(jì)算，反應(yīng)了應(yīng)變?cè)赗VE內(nèi)的波動(dòng)。在代表性體積單元應(yīng)用均勻化理論的過(guò)程中，設(shè)定不存在剛體位移，只存在純變形的情況，所以第二項(xiàng)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

(i,j,k,l,m,n=1,2,3)

(2)

1.2 邊界條件

1.2.1 周期性邊界條件的應(yīng)用

(3)

現(xiàn)以RVE沿x軸兩個(gè)相對(duì)面的位移為例說(shuō)明:

(4)

(5)

式(4)與式(5)相減，可得

(i,j=1,2,3)

(6)

圖1 RVE各邊及角點(diǎn)定義Fig.1 Definitions of RVE edges and nodes

1.2.2 一般周期性邊界條件的應(yīng)用

對(duì)于RVE模型，按照坐標(biāo)軸方向分成3組相對(duì)面組合，圖2中規(guī)定包含點(diǎn)1的3個(gè)平面為各自組合的主平面。對(duì)于包含X、Z坐標(biāo)軸面內(nèi)的某個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)M″，在相對(duì)應(yīng)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的位置落在某個(gè)C3D4單元內(nèi)，此時(shí)用這個(gè)單元的形函數(shù)插值這個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)值，就可得到M″位移值。上述過(guò)程可表達(dá)為

u=Nδ

(7)

式中u的值為向量(uvω)；N為形函數(shù)矩陣；δ為三角形S1S2S3位移矩陣。

圖2 一般周期性邊界說(shuō)明圖Fig.2 Diagram of aperiodic boundary conditions

點(diǎn)M與所處三角形S1S2S3的位置關(guān)系分為三種情況，在內(nèi)部、3條邊及3個(gè)頂點(diǎn)。由此過(guò)程看出，當(dāng)形函數(shù)矩陣只有一個(gè)分量時(shí)，一般周期性邊界條件退化為周期性邊界條件。

2 RVE的建立及材料性能

2.1 RVE的建立

4D軸編C/C復(fù)合材料的編織方式如圖3所示：它由軸向炭纖維棒，以及3個(gè)角度的炭纖維束依次穿過(guò)纖維棒形成層間增高，形成預(yù)制體[21]。從圖3可知，4D軸編C/C復(fù)合材料的增強(qiáng)體中的炭纖維棒采用正三角形排布，在纖維棒之間平鋪3層纖維束，纖維束之間互成120°，結(jié)構(gòu)具有沿炭纖維棒為中心對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn)，同時(shí)沿著纖維棒方向逐漸累加3個(gè)角度的纖維束層數(shù)，結(jié)構(gòu)厚度逐漸增加。因此，建立的RVE模型如圖4所示。

圖3 4D軸編C/C復(fù)合材料預(yù)制體示意圖Fig.3 Schematic diagram of 4D in-plane

由圖4可見(jiàn)，RVE有限元模型為一個(gè)長(zhǎng)方體，定義X為長(zhǎng)度方向，與90°纖維束垂直；y方向?yàn)閺较蚣磳挾确较颍c90°纖維束方向一致；z方向?yàn)檩S向即高度方向，垂直于xy平面。水平面(xy面)為矩形區(qū)域，矩形區(qū)域的4個(gè)角為1/4纖維棒，與中心處纖維棒圓的半徑相同，不同棒之間采用正三角形排布；纖維束沿軸向Z方向，分為4層，纖維束橫截面為矩形，纖維束在高度方向的尺寸相同。中間兩層分別為120°、240°纖維束，最上面和最下面兩層纖維束的高度值為一半，由這三個(gè)方向的纖維束為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)多個(gè)循環(huán)構(gòu)成高度方向尺寸，其余部分為基體和界面相，可保證復(fù)合材料的穩(wěn)定性。

圖4 RVE的網(wǎng)格劃分Fig.4 Finite element mesh of the RVE

2.2 材料性能參數(shù)

界面的重要作用傳遞纖維棒、纖維束與基體之間的載荷，以往的研究表明，界面的剪切強(qiáng)度與復(fù)合材料的宏觀力學(xué)性能之間存在一定程度的定量關(guān)系。為了考慮界面強(qiáng)度和斷裂能對(duì)剛度計(jì)算的影響，利用雙線(xiàn)性?xún)?nèi)聚力模型模擬界面對(duì)剛度計(jì)算的影響[15,22-25]。斷裂能值為123 J/m2，各組分材料性能來(lái)自文獻(xiàn)[16-17]，具體見(jiàn)表1～表3。

表1 纖維棒力學(xué)性能

表2 纖維束力學(xué)性能

表3 基體力學(xué)性能

3 有限元分析

3.1 RVE的位移分布及變形形狀

為了驗(yàn)證本文提出的一般周期性邊界條件的正確性，將其應(yīng)用到單相材料上，受任一單位應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行分析驗(yàn)證，結(jié)果都獲得了均勻的應(yīng)變場(chǎng)。

對(duì)于周期性邊界條件的施加，要求網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)，應(yīng)用C3D8和C3D6單元，劃分后由32 368個(gè)單元組成；一般周期性邊界條件情況，采用C3D4單元，劃分后由63 465個(gè)單元組成。對(duì)于周期性邊界條件，施加了14 334個(gè)約束方程；一般周期性邊界條件，施加17 214個(gè)約束方程。

以X向施加取值為0.1%的平均預(yù)應(yīng)變?yōu)槔S向炭纖維棒及90°纖維束的變形圖見(jiàn)圖5。可見(jiàn)，炭棒以及纖維束對(duì)應(yīng)面的變形趨勢(shì)是一致的，變形后本身出現(xiàn)了一定的起伏不平，不再保持為平面。

(a)炭棒變形圖

(b)90°纖維束變形圖

圖6為RVE位移分布特征。由于代表性體積單元由多種組分材料組成，位移由宏觀平均位移以及細(xì)觀位移項(xiàng)組成，代表性體積單元模型內(nèi)部材料的不均勻造成了位移不是同一值，單元外表面上的位移分布不均勻，對(duì)于零平均預(yù)應(yīng)變方向上的位移也出現(xiàn)了波動(dòng)。

3.2 有限元結(jié)果分析

3.2.1 剛度性能及分析

選取6個(gè)獨(dú)立的位移載荷，同時(shí)界面剪切強(qiáng)度選取5.7、7.72、10 MPa三種情況進(jìn)行分析計(jì)算，應(yīng)用編寫(xiě)的周期性邊界條件子程序和一般周期性邊界條件子程序兩種情況的計(jì)算分析，同時(shí)與已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比[13]，得到軸向模量以及泊松比隨界面強(qiáng)度變化如圖7、圖8所示。

圖6 RVE變形形狀圖Fig.6 Deformation shape of RVE

圖7 軸向模量隨界面強(qiáng)度變化圖Fig.7 Axial modulus change with interface strength

圖8 泊松比隨界面強(qiáng)度變化圖Fig.8 Poisson's ratio change with interface strength

從圖7、圖8數(shù)據(jù)可知，隨著界面強(qiáng)度的增加，一般周期性邊界條件預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差相比周期性邊界條件要更小一些。當(dāng)界面強(qiáng)度取5.7 MPa時(shí)，應(yīng)用一般周期性邊界條件預(yù)測(cè)得到的軸向彈性模量為47.77 GPa，泊松比為0.173，相對(duì)誤差分別為8.2%和16.6%，周期性邊界條件對(duì)應(yīng)的誤差為12.7%和20%；當(dāng)界面強(qiáng)度取7.72 MPa時(shí)，應(yīng)用一般周期性邊界條件預(yù)測(cè)得到的軸向彈性模量為49.92 GPa,泊松比為0.195，相對(duì)誤差分別為4.1%和7.2%，周期性邊界條件對(duì)應(yīng)的誤差為7.4%和15.8%；當(dāng)界面強(qiáng)度取10 MPa時(shí)，應(yīng)用一般周期性邊界條件預(yù)測(cè)得到的軸向彈性模量為51.3 GPa，泊松比為0.202，相對(duì)誤差分別為2.5%和4%，周期性邊界條件對(duì)應(yīng)的誤差為5.7%和8%。同時(shí)，可看出軸向彈性模量以及泊松比值隨著界面強(qiáng)度的增加逐漸增加，同時(shí)預(yù)測(cè)值小于實(shí)驗(yàn)測(cè)試值。因此，隨著界面剪切強(qiáng)度的增加，材料的平均剛度越高。

3.2.2 參數(shù)對(duì)剛度性能的影響

纖維棒之間的中心間距及纖維棒的直徑都是RVE的重要參數(shù)。現(xiàn)分析兩個(gè)參數(shù)對(duì)徑向模量的影響，改變纖維棒的中心間距以及纖維棒直徑尺寸，對(duì)徑向模量的影響如圖9、圖10所示。

圖9 纖維棒直徑對(duì)徑向模量的影響Fig.9 Effect of diameter of fiber rod on the amount of radial modulus

圖10 纖維棒中心間距對(duì)徑向模量的影響Fig.10 Effect of distance of two fiber rod center of on the amount of radial modulus

由圖9可知，隨著纖維棒直徑的增加，徑向模量逐漸增加，主要是因?yàn)樵诰幙楅g距不變的情況下，增加纖維棒直徑，導(dǎo)致基體的體積分?jǐn)?shù)減小，基體模量小于纖維棒的橫向模量，所以徑向模量增加。由圖10可知，纖維棒中心間距的增加，徑向模量逐漸降低。主要是由于軸向纖維棒以及徑向纖維束的體積含量降低，引起模量的整體下降。

4 結(jié)論

(1)在一般周期網(wǎng)格劃分的情況下，節(jié)點(diǎn)的位移由包圍此節(jié)點(diǎn)的C3D4單元的節(jié)點(diǎn)位移結(jié)合單元形函數(shù)插值獲得，計(jì)算誤差最大為7.2%，計(jì)算精度較高。

(2)隨著界面強(qiáng)度的增加，軸向模量EZ、泊松比 逐漸增加；同時(shí)，一般周期邊界條件情況下預(yù)測(cè)得到的材料性能更加接近實(shí)驗(yàn)值。結(jié)合得出的參數(shù)對(duì)剛度的影響規(guī)律及復(fù)合材料的實(shí)際使用環(huán)境可知：增加編織間距可以有效降低材料的模量，當(dāng)間距增加1 mm，徑向模量降低了8 GPa；同時(shí)，對(duì)于纖維棒直徑增加0.5 mm,徑向模量只增加2.08 GPa，增量較小，纖維棒直徑對(duì)徑向模量的影響較小。

(3)采用均勻化理論，研究預(yù)示了4D軸編C/C復(fù)合材料的力學(xué)性能，建立了符合實(shí)際的RVE模型；同時(shí)，也證明了一般周期性邊界條件對(duì)材料力學(xué)性能預(yù)測(cè)是有效方法。