基于隨機規劃的火炮膛內發射性能不確定性優化

徐鳳杰,楊國來,王麗群

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

彈丸膛內運動過程是受多種隨機因素影響的隨機過程[1],隨機因素是導致彈丸起始擾動差異與內彈道性能指標差異的根本原因。這些隨機因素包括:火炮內膛結構參數、彈丸結構參數以及發射裝藥參數,任何隨機因素的變化都對最終發射結果造成很大影響。因此,有必要進行考慮參數不確定性的火炮內膛發射性能綜合優化,獲得各關鍵參數的最佳組合以及參數區間,為火炮與彈藥系統的一體化設計提供理論參考。

目前,對彈丸膛內運動過程的研究大多集中在彈-炮耦合發射動力學方面。李振[2]建立了彈-炮耦合發射動力學模型,分析了不同因素對車載炮彈丸起始擾動的影響。陳光宋[3]研究了彈丸膛內運動規律,分析了彈-炮耦合機理,并對關鍵參數進行識別。現有對彈丸起始擾動問題的研究都是以彈-炮耦合系統為研究對象,將整個彈丸膛內運動過程視為確定性過程,通過對單一因素逐個進行分析,研究不同因素變化對起始擾動的影響,涉及的優化問題也均為忽略參數不確定性而進行的確定性優化。例如,李強等[4]建立了某大口徑輕型牽引炮彈-炮耦合有限元模型并利用徑向基神經網絡近似模型方法對彈丸起始擾動進行優化研究。在火炮發射過程不確定性問題方面,王麗群等[5]針對“彈丸出炮口運動-射擊密集度”這一過程,采用隨機穩健設計理論對射擊密集度進行了隨機優化,但是該研究忽略了彈丸膛內運動階段。對彈丸起始擾動進行確定性優化,得到的設計變量優化結果都是確定性的參數組合,無法適應實際生產中的不確定性問題,缺乏富有建設性的參數區間來指導生產。因此,針對上述問題,本文從彈-炮-藥一體化設計的角度出發,綜合考慮彈丸起始擾動與內彈道壓力等性能指標,研究了火炮膛內發射性能的隨機不確定性優化問題。首先采用內彈道模型與彈-炮耦合有限元模型,構建膛內發射動力學模型。然后基于隨機規劃理論,構建彈丸起始擾動的不確定性優化模型,并結合BP神經網絡代理模型技術與多目標遺傳算法進行優化求解,確定了各彈、炮、藥隨機因素的參數區間。

1 膛內發射動力學模型

彈丸膛內運動時期,身管與彈丸以及發射裝藥燃燒產生的火藥燃氣三者之間呈現互相作用的關系,因此研究彈丸膛內運動就必須綜合考慮彈、炮、藥三者之間的耦合關系。為研究彈丸膛內運動時期彈、炮、藥三者之間的關系,本文采用有限元方法建立火炮身管、彈丸的有限元模型,對ABAQUS進行二次開發,編寫內彈道程序(VUAMP)為彈丸提供彈底壓力。

為了簡化計算,對彈丸膛內運動過程做如下假設:①忽略彈帶擠進過程,認為彈帶已經完全擠入膛線;②將彈丸本體視為剛體;③不考慮發射過程中溫度的變化。

1.1 有限元模型

身管、彈丸以及彈帶均采用八節點六面體單元劃分。由于彈丸設為剛體以及身管在發射過程中變形很小,因此這兩部分網格尺寸可以適當放大;彈帶在彈丸運動過程中與膛線之間具有很強的接觸力,因此網格尺寸取較小值。模型如圖1所示。

圖1 有限元模型

1.2 內彈道模型

為描述彈丸膛內運動過程發射裝藥變化對彈丸運動的影響,編寫內彈道推力子程序(VUAMP),提供彈底壓力。內彈道模型選用建立在熱力學基礎上的混合裝藥經典內彈道模型,其數學模型為[6]

(1)

已燃相對厚度Zi可以采用四階龍格庫塔法求解微分方程解出,彈丸速度v與行程l可以利用ABAQUS中的傳感器直接讀取,兩者結合可以解出火藥燃氣壓力p。具體執行過程:給定內彈道初始參數,計算初始內彈道壓力值,推動彈丸前進,然后將傳感器讀出的彈丸運動速度與行程作為下一步計算的初始條件,計算出下一步的膛壓,如此往復直至彈丸出炮口。膛內發射動力學模型的計算流程如圖2所示。

圖2 膛內發射動力學模型求解流程

2 火炮膛內發射性能的不確定優化模型

研究不確定性問題一般可分為3類方法:概率模型、模糊模型以及區間模型[7]。本文采用隨機優化的方法來進行不確定優化。

2.1 不確定參數及其分布

彈丸膛內運動階段受到大量不確定因素的影響。本研究中考慮的不確定因素具體包括以下4類,共計15個:①火炮內膛結構參數:陰線寬b、膛線深a、藥室容積Vd;②彈丸特征參數:彈丸質量偏心ra、彈帶位置lR、彈帶寬度bp;③彈-炮耦合參數:彈、炮間隙ed;④發射裝藥參數:薄火藥質量m1、厚火藥質量m2、薄火藥弧厚δ1、厚火藥弧厚δ2、薄火藥孔徑d1、厚火藥孔徑d2、薄火藥長度l1、厚火藥長度l2。

對于一個優化問題,假設各隨機因素之間相互獨立,且已知它們的分布類型,可以通過調整分布參數(例如均值和標準差)來獲得最優解,將其稱為隨機設計變量,即x=(x1x2…xs)T。概率密度函數可以全面衡量一個隨機因素的隨機特性,通過特征量(例如正態分布的均值和標準差,均勻分布的區間中值與半徑,三參數威布爾分布的位置參數、形狀參數和尺度參數),可以具體量化其隨機特性,通過隨機取樣模擬其隨機特性。

確定不確定參數的分布規律及其分布參數是隨機優化的前提,最準確的確定方式是對這些參數進行大量的實驗,分析實驗數據得到其統計規律,從而確定其分布規律和分布參數。但是,由于火炮系統過于復雜,難以進行大量的實驗,因此根據文獻[8]和工程實際,假設這些參數服從正態分布,并以其均值μx和標準差σx作為隨機設計變量。

2.2 不確定性目標函數與約束的處理

在考慮隨機因素的不確定優化中,目標函數F與約束函數G均為隨機函數,需要對其按照一定準則進行處理,常用的準則有概率模型P,均值模型μ,標準差模型σ。

(2)

式中:kp為指標數。顯然,P越小,說明輸出特性的合格概率越大,即輸出特性越穩定。不合格概率的數學含義如圖3中陰影部分所示。

圖3 不合格概率

均值模型為

(3)

式中:Xk為樣本值,T為樣本統計量的數目。均值模型體現了系統的目標性能。標準差為

(4)

本文考慮的不確定目標函數主要為彈丸起始擾動,即彈丸出炮口時刻的運動姿態是決定火炮設計精度的重要技戰術指標。彈丸起始擾動包括彈丸高低擺動角位移UR2、彈丸水平擺動角位移UR3、彈丸高低擺動角速度ωR2以及彈丸水平擺動角速度ωR3。通過均值μ模型和標準差σ模型對不確定目標函數進行轉換。

對于不確定約束函數,從內彈道性能一致性的角度出發,本文選擇最大膛壓pmax與彈丸炮口初速v波動作為優化準則,設最大膛壓目標值pob,j=320 MPa,偏差Δp=10 MPa;設定彈丸炮口初速目標值vob,j=980 m/s,偏差Δv=10 m/s。

對均值、標準差、概率的計算求解均采用蒙特卡洛模擬方法[9],蒙特卡洛模擬是求解的核心。對概率的計算,可以采用數值積分方法求解。根據函數傳遞理論,對于分布類型都屬于正態分布的設計變量,其目標函數與約束函數也應屬于正態分布。在采用蒙特卡洛模擬獲得性能指標的特征值(均值、標準差)后,可以獲得各不確定約束的精確概率密度函數。正態分布的概率密度函數為

(5)

對于本文研究中的性能指標,正態分布概率密度函數無法直接積分,因此在求概率時可以采用高斯積分方法來求解。

(6)

式中:xs為積分點坐標,As為積分系數,nq為積分所用項數。

應當指出,本文性能指標的參數區間并不是[-1,1],因此需要轉換積分區間:

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在求解上述目標函數與約束函數的過程中,要用到統計特征值μ與σ,需要大量依靠蒙特卡洛模擬,但是這些性能指標來自于膛內發射動力學模型,每計算一次都需要耗費大量的計算時間,進行大量的隨機抽樣,這將帶來海量的計算任務,工程上難以實現。因此,本文選用搭建代理模型的方法來簡化計算過程以提高計算效率。

2.3 BP神經網絡代理模型

常見的構造代理模型的方法有:響應面法、徑向基函數法以及神經網絡法。其中神經網絡具備很強的非線性映射能力,一個3層的BP神經網絡能夠擬合任意復雜的非線性函數。BP神經網絡建模過程如圖4所示。

圖4 BP神經網絡建模過程

首先,運用最優拉丁超立方試驗設計方法,在隨機設計變量空間中安排80組試驗樣本,隨機設計變量取值范圍如表1所示。將這80組試驗樣本帶入膛內發射動力學模型中進行計算,并將得到的最大膛壓pmax、彈丸初速v以及彈丸起始擾動作為神經網絡的輸出。然后,以試驗設計樣本作為輸入,在Matlab軟件中利用神經網絡工具箱建立一個3層BP神經網絡。

表1 隨機設計變量及取值范圍

為驗證神經網絡的準確性,在設計空間內按照最優拉丁超立方試驗設計安排20組驗證樣本,并帶入膛內發射動力學模型進行計算,得到一組輸入、輸出關系,以此計算確定性系數R2,驗證BP神經網絡的準確度。

(8)

表2 神經網絡精度檢驗

在獲得BP神經網絡代理模型以后,對BP神經網絡進行1 000次隨機模擬,對最大膛壓pmax、彈丸初速v以及彈丸起始擾動進行統計分析,得出其μ與σ,并用于后續優化計算。

3 基于NSGA-Ⅱ的不確定優化

隨機不確定優化的求解涉及多個設計變量,是一個典型的多目標優化問題,遺傳算法是最常用的多目標優化算法。帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是多目標優化算法中應用最為廣泛的[10-11],所以本文以此對不確定模型進行優化求解,尋求不確定優化準則下設計變量的最優解,確定設計變量的最佳區間。

3.1 優化數學模型

進行不確定優化設計需要對設計變量的均值μ與標準差σ進行優化,以此來確定設計變量的最優取值區間。

本文采用的彈丸起始擾動有4個分量,分別是彈丸高低擺動角速度ωR2、水平擺動角速度ωR3、高低擺動角位移UR2與水平擺動角位移UR3,在建立優化目標函數時應當包含4個指標。優化目標函數為

(9)

以最大膛壓pmax與彈丸初速v的不合格概率P為約束條件,以彈丸起始擾動為優化目標,建立如下優化數學模型:

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3.2 優化結果與分析

通過上述優化算法進行優化,求得隨機設計變量的Pareto前沿,如圖5所示。

圖5 不確定優化Pareto前沿

從Pareto前沿中可見,經過多目標遺傳算法共尋找出滿足不確定約束準則下的最優解共計15個,這些設計點都得到了不同程度的優化。Pareto前沿左側彈丸起始擾動的均值μ非常小,說明彈丸擾動值更小;Pareto前沿右側彈丸起始擾動的標準差σ非常小,說明擾動值更為穩定。為兼顧均值與標準差,選擇圖5中的設計點A作為最終的優化結果,既可以實現較小的擾動,又可以滿足擾動較小的波動性。以彈丸高低擺動角速度為例,優化結果見圖6。

圖6 彈丸高低擺動角速度優化結果對比

經過隨機不確定優化,兼顧最大膛壓與彈丸初速不合格概率2個優化準則,得到彈丸起始擾動的不確定優化解,由隨機設計變量的均值與標準差確定最終的設計變量參數區間,圓整后的結果如表3所示。

表3 設計變量參數區間優化結果

4 結論

本文采用隨機不確定優化理論,研究了彈丸起始擾動和最大膛壓等膛內發射性能的不確定性優化問題。最終獲得了各彈、炮、藥隨機參數的合理參數區間,初步證明了隨機不確定理論在彈丸起始擾動等火炮膛內發射性能優化方面的可行性與有效性。該方法可以為火炮與彈藥系統的一體化設計以及參數誤差方案的制定提供理論參考。