《長方形的周長》教材比較研究

馮靜宇

一、問題提出

教材是學生獲得知識的主要途徑之一，學生主要通過學習教材上的知識以及教師教學，得以提升自己的思維水平。就小學數學幾何板塊的教學來說，如何從空間觀念、創新能力的培養出發，設計出既符合學生心理發展水平，又符合數學內在規律的教學內容和課程體系，是一件重要而又艱難的工作。《長方形的周長》第一次從測量與計算的角度，促進學生對圖形概念的認識，對學生的抽象思維能力、空間觀念等別有意義。從使用范圍和教材特色兩方面考慮，對人教版和浙教版兩個版本教材關于“長方形的周長”的相關內容進行研究和分析，期望能對老師們的教學有所啟發。

二、研究設計

1.研究框架。

根據范希爾幾何思維水平，學生的幾何思維分為五個水平，分別是：視覺水平、分析水平、非形式化的演繹水平、形式的演繹水平、嚴密性水平。《長方形的周長》這節課在兩版教材中都處于第一學段，這一學段的學生幾何思維水平應位于范希爾幾何思維水平的前三個水平中。

因此以前三個水平為框架，我做了如下分類：

表1 《長方形的周長》這節課內容的類目表

2.研究方法。

本研究對人教版和浙教版關于《長方形的周長》的例題和習題進行分析，使用內容分析法進行編碼，建立了四個主類目和八個次類目進行比較分析。

3.分析示例。

以兩個版本的例題和習題為分析單位，對部分主類目下的次類目簡要舉例。浙教版在本課第一課時，通過“畫一畫，算一算”的題目讓學生了解長方形周長的幾何構圖元素，這就屬于幾何思維水平1.2。

浙教版第4 頁練習題2

在學生經歷了畫一畫和量一量的操作后，了解了長方形周長的特征并積累了測量經驗，為探索長方形周長的公式做了鋪墊。學生在這些操作中能自己總結出長方形的周長公式而不是死記硬背，領會長方形周長的計算原理和方法，符合幾何思維水平3.1。

在兩個版本的教材中，都出現了要求學生把相同或者不同的長方形拼成一個新的圖形并求它的周長（浙教版第5 頁題3，人教版第85 頁題4）。要解決這個問題，就需要學生具備良好的空間觀念，這符合思維水平4.1。

在浙教版中還出現了利用小正方形拼出固定周長的多邊形（浙教版第100 頁，在4×4 的點子圖上，畫出周長是12cm 的圖形，點與點之間的距離都表示1cm），學生需要在長方形周長公式的演繹過程中，推理和歸納出有公共邊圖形的周長公式，這符合幾何思維水平4.2。

三、研究結果

根據筆者建構的評價類目分析表，以“題目”為單位，將《長方形的周長》這節課中所有的例題和習題進行編碼和歸類，對比分析浙教版和人教版各類目占題目總數的比例，進一步揭示浙教版和人教版教材內容中幾何思維水平的情況。

1.兩個版本教材主類目所占分量的分析。

以兩個版本的主類目的占比來看，兩版的教材內容都以“3.問題解決”所占的分量最多，其次是“4.空間觀念”，再其次是“2.長方形的周長分析”，最少的是“1.長方形周長的辨認與建構”。

浙教版教材各種水平習題相對均衡，在“1.長方形周長的辨認與建構”“2.長方形的周長分析”“4.空間觀念”這三個水平的占比都比人教版高；而人教版則特別集中在“3.問題解決”水平，從而在這個水平上占比高于浙教版。

2.兩個版本教材次類目所占分量的分析。

表2 兩個版本教材次類目占比分布表

以兩個版本的次類目分布來看，兩個版本排在首位都是“3.2 應用周長公式解決問題”。浙教版排在前三位分別是“3.2 應用周長公式解決問題”“4.2 根據長方形周長推理出多連方的周長計算方法”“4.1兩個不同周長的長方形拼成新的長方形”。人教版在前三位分別是“3.2 應用周長公式解決問題”“4.1 兩個不同周長的長方形拼成新的長方形”“2.2 測量長方形的周長”。

人教版在“1.1”“1.2”“2.1”“4.2”這四個次類目占比都是0%，說明該版本的教學內容在幾何思維水平上有斷層。

3.兩個版本內容在幾何思維水平分布分析。

兩種版本教材在幾何思維水平分布柱狀圖

總體來看，浙教版覆蓋了范希爾幾何思維前三個水平，其中以水平2 占的分量最大。而人教版在水平0 中的占比有所缺失。

對于水平0，如前述人教版有斷層，而浙教維版安排了畫一畫的活動，讓學生在實際操作中感知周長的構成，積累直觀體驗。

對于水平1，兩個版本所占比重相似，浙教版比人教版略高，說明兩個版本教材都比較重視分析長方形周長的組成要素及這些要素之間的關系，以此作為理解周長公式含義的基礎。

對于水平2，兩個版本教材所占分量都比其他兩個水平要高得多，說明兩個版本教材在《長方形的周長》這節課的學習中，教學目的旨在讓學生掌握長方形周長公式，并靈活運用。

四、思考與啟示

1.尊重兒童認知規律，注重課程內容的序列性。

范希爾理論指出，學生幾何思維具有次序性，也就是說學生幾何思維水平的發展是循序漸進的，要在特定的水平順利發展，必須掌握前一個水平的各個概念和策略。

對于低段的學生來說，思維還處于具體形象思維向形式化思維過渡的階段，因此主要的學習任務是實現從水平0 到水平1 的發展，同時向水平2 過渡。

通過統計主類目和次類目的占比，我們可以看到浙教版在每個幾何思維水平中都有一定的題目設計，更符合學生幾何思維發展逐步遞進的規律。特別的，浙教版在課程內容中設有“畫一畫”“量一量”等具體操作活動，讓學生的從視覺、觸覺等多種感官協同作用形成對長方形周長本質屬性充分感知，從而為接下來的建構、抽象和應用等活動做好準備。

2.從多角度關注問題解決。

兩個版本的教材都非常關注學生“問題解決”的幾何思維水平。以人教版為例，共配備15 道習題，其中指向問題解決的有10 道，占比67%。且教材強調多角度利用學習的長方形周長公式進行問題解決，包括從直接應用公式解決問題到在具體情境中解決問題；從正向利用使用公式到逆向使用公式；從基本的使用公式運算到通過歸納推理得出有圖形拼接產生公共邊的長方形的周長的計算。問題解決的維度越多樣，學生從中獲得的數學知識和思維感悟也就越豐富，幾何思維水平在其中得到提升。

3.從技能的熟練到能力的發展。

決定課堂成效的不只是技能的熟練度，還有在解決問題中表現出的思維的靈活度和思維的創新性。在常規的問題解決的基礎上，浙教版還設計了不少有利于學生主動探索與創造的學習內容，拓展學生數學學習空間。

面對這樣的問題（在4×4 的點子圖上，畫出周長是12cm 的圖形，點與點之間的距離都表示1cm），有的學生是通過逐一增加方格數的方法解決問題。即要畫出周長是12 厘米的圖形，先考慮含4 條公共邊的五連方圖形，20－2×4＝12。繼續考慮6 條公共邊的六連方圖形，24－2×6＝12……一直到九連方。也有的學生從特殊的周長是12 厘米的正方形著手解決，然后逐一減少方格數最后成為含有4 條邊的五連方圖形。

無論是正向的增加，還是逆向的減少，都是在綜合地解決非常規的問題，在培養學生幾何思維的靈活性和創新性上有所突破。

成功的幾何學習常常表現出這樣的特點，強調學生在主動構造自己的知識中的作用，他們并不是一味地識記那些形狀、名稱或規則，而是通過自己的操作活動，去努力感知概念、性質和過程，從自己的活動的系統模式中構建空間觀念。

對兩個版本的教材內容進行比較，不在于簡單的評判高低好壞，而是要深入分析預期的課程，為教師的教學提供依據，作為參考，真正提升學生的幾何思維水平。