“數 與 式”易錯點分析

張 衛

“數與式”是九年級同學進入第一輪綜合復習階段要面對的第一部分，從現在開始，我們要站在更高的層面上，更綜合地梳理各個知識點。“數與式”看起來相對簡單，但由于概念的混淆、內容的遺忘、方法的錯選等原因，同學們在許多考題中還是會產生一些易錯點，值得我們多加關注。

一、概念有誤易出錯

“數與式”中的概念相對多且雜，清楚概念是正確解題的最基本要求。

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根據分式的定義對上式逐個進行判斷，其中中的分母含有字母，是分中的分母不含字母，因此不是分式。故選A。

【點評】本題主要考查對分式的定義是否清楚。形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。特別要注意，π不是字母，不是分式，這個易誤認為分式。另外，符合分式的定義，不能將其化簡成5x而錯誤地認為它不是分式。

例2計算：（π-3.14）0-+（-1）-1+cos45°。

【點評】本題涉及零指數冪、負指數冪、二次根式化簡和特殊角的三角函數值4個考點。在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。其中（-1）-1是求-1的倒數，結果為-1，不少同學會誤認為結果為1而出錯。另外，|-2|=2也是易出錯的考點。

二、考慮不周易出錯

在平時練習中，經常有同學在解題過程中只顧其一，不顧其二，造成問題解答不完整或解答錯誤。進入中考復習階段，我們需要對此多加梳理，找出自己的薄弱點。

例3化簡：

【解析】

【點評】本題重點考查異分母分式加減運算，通分是關鍵。很多同學會將作為最后結果而出錯。這里需要注意，最后結果必須是最簡分式，能約分的一定要約分。另外，一些同學經常會把這一步誤寫成而出錯。

例4若最簡二次根式與3是同類二次根式，則x=_______。

【解析】由題意得：x2-4x=10-x，

解得：x=5或x=-2。

當x=-2時，不滿足“最簡二次根式”這個條件，故舍去。故答案為：5。

【點評】本題考查同類二次根式的知識。根據同類二次根式的被開方數相同，可得出關于x的方程，解出即可。但同學們一定要注意，在解題時要全面考慮，求出x之后檢驗是否滿足題意，以免出錯。

三、未用“整體”易出錯

“整體代入”思想是中考數學中最常考查的數學思想，經常結合方程、函數等知識點出現。

例5已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的實數根，求代數式：的值。

【解析】∵x2+3x-1=0，

∴x2+3x=1，即x（x+3）=1。

【點評】解決本題的關鍵是把代數式化簡變形成與已知條件有關的形式。需要注意的是，本題中如果解出方程x2+3x-1=0的實數根，再代入求值，不僅難度大大增加，而且極易出錯。例6設反比例函數y=-2的圖像與一次

x函數y=-x+3的圖像交于點（a，b），則_____。

【解析】把（a，b）分別代入y=-和y=-x+3，

∴ab=-2，a+b=3，

【點評】利用反比例函數與一次函數的交點問題，把（a，b）分別代入兩個解析式，可得到ab=-2，a+b=3，再把所求的代數式通分，然后利用整體代入的方法計算。同學們經常把兩個函數關系式聯立成方程組求解，再代入求值，這樣也能求解，但出錯的可能性會大大增加。

四、理解不透易出錯

中考越來越關注同學們對數學的真正理解、應用的能力，常見的考查方式是新定義問題及閱讀理解類問題。這類問題必須在已有知識、能力的基礎上理解透徹后才能順利解決，不然極易出錯。

例7有一個運算程序，可以使：a⊕b=n（n為常數）時，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n-2，現在已知1⊕1=2，那么3⊕3=_______。

【解析】現在已知1⊕1=2，求3⊕3，相當于求a增加2、b增加2后的結果。結果就是在2的基礎上增加2，又減少4，即2+2-4=0。

【點評】這是一個典型的新定義類問題，解答此類題目一定要認真觀察和分析數據，從中找出規律。a⊕b=n（n為常數）時，由（a+1）⊕b=n+1，可知當a增加1的時候，結果增加1；由a⊕（b+1）=n-2，可知當b增加1的時候，結果減少2，相當于b增加多少，結果就減少2倍的增加數。由此可知a、b增加對結果的影響，根據此規律可解題。

例8 【知識生成】通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式。

（1）如圖1，根據圖中陰影部分的面積可以得到的等式是：______________________。

圖1

【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式。如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖2所示的方式分割成8塊。

圖2

（2）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為：_________________________________。

（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規律求a3+b3的值。

【解析】（1）∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積，即：（a+b）2-（ab）2，

又∵陰影部分的面積由4個長為a，寬為b的小長方形構成，即：4ab，

∴可得到等式：

（a+b）2-（a-b）2=4ab。

（2）大正方體被切割成了8個小正方體或長方體，故先求它們的體積和，再直接求大正方體的體積，即可得到需要的恒等式。

∵8個小正方體或長方體的體積之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，

∴a3+b3

=（a+b）3-3a2b-3ab2

=（a+b）3-3ab（a+b），

將a+b=3，ab=1代入上式可得：

a3+b3=33-3×1×3=18，

故a3+b3的值為：18。

【點評】本題主要考查了平方差、立方和公式的幾何背景，用分割求解和整體計算可解決。