恰當“消元”，舍繁取簡

陳 超

二元一次方程組是初中代數(shù)的重要組成部分，是中考數(shù)學的必考知識點。二元一次方程組的解法在中考中的要求是“掌握”，即要求掌握其解法的本質規(guī)律，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題。而二元一次方程組的解法有“代入消元法”和“加減消元法”，其本質是運用消元思想，從而實現(xiàn)“二元”向“一元”的轉化。解一個二元一次方程組，既可以運用代入法，也可運用加減法。通過觀察方程組中相同未知項的系數(shù)特征，進而恰當?shù)亍跋?，往往能使計算簡便，提高正確率。下面通過幾道例題，希望能幫助同學們體會到恰當“消元”的奧妙。

一、寧“加減”，勿“代入”

例1解方程組

【解析】在這個二元一次方程組中，存在一個未知數(shù)系數(shù)為1，故可以選擇對此方程加以變形。用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，代入到另一個方程中，將二元一次方程轉化為一元一次方程，解這個方程，再回代求解另一個未知數(shù)，這是用代入法解此方程組；在這個方程組中，存在一個未知數(shù)系數(shù)相同，也可以將兩個方程相減，消去一個未知數(shù)，從而把二元一次方程轉化為一元一次方程，這是用加減法解此方程組。

解：方法一（代入法）。

由①，得y=12-x。③

將③代入②，得2x+12-x=20。解這個一元一次方程，得x=8。

將x=8代入③，得y=4。

方法二（加減法）。

由②-①，得x=8。

將x=8代入①，得8+y=12，所以y=4。

【點評】從這個方程組中的未知數(shù)系數(shù)的特征看，解此方程組既可以用代入法也可以用加減法。但從兩種解法的具體過程看，很顯然加減法要略顯簡潔。如果在用代入法時先消去的是x，則得2（12-y）+y=20，那么這里就會涉及去括號，顯得更加麻煩，增加了出錯的可能性，故面對此類情況，同學們要首選加減法。

例2解方程組

【解析】解二元一次方程組的基本思想是消元，當某一未知數(shù)的系數(shù)較簡單時（如±1），才可以選擇代入法，否則計算會很繁瑣。本題選擇加減法。

解：①×4，得12x+20y=100。③

②×3，得12x+9y=45。④

③-④，得11y=55，所以y=5。

將y=5代入①，得3x+5×5=25，所以x=0。

【點評】用加減法解這個方程組，既可以消去x，也可以消去y，首選消去要乘的倍數(shù)少的未知數(shù)。

二、寧“加”，勿“減”

例3解方程組

【解析】通過觀察這個方程組中的未知數(shù)系數(shù)的特征，可以得出解此方程組用加減法較簡單，但不論消去哪個未知數(shù)都需要對兩個方程進行變形。若消去x，則會涉及減法，符號變化較多，容易出錯；若消去y，則只涉及加法，符號變化較少，所以選擇消去y，計算時出錯的可能性較小。

解：①×3，得15x+18y=48。③

②×2，得14x-18y=10。④

③+④，得29x=58，所以x=2。

將x=2代入①，得5×2+6y=16，所以y=1。

【點評】當解方程組時，在確定用加減法之后，若存在兩個方程中相同未知數(shù)系數(shù)的符號相反，一般選擇用“加法”消去這個未知數(shù)。

三、能“整體”，勿“化簡”

例4解方程組

【解析】本題常規(guī)解法是先化簡，再消元，雖能達到目的，但不是明智之舉。觀察發(fā)現(xiàn)方程①與方程②中有相同的代數(shù)式4x+3y，所以把方程②代入①中，從而得到關于x的一元一次方程，求出x的值，進而求出y的值，則顯得更簡潔。

解：將②代入①，得2x+3×1=5，所以x=1。

將x=1代入②，得4×1+3y=1，所以y=-1。

【點評】解方程組時，有時可根據(jù)題目的特點把某一部分看成一個整體，將這個整體看成未知項，并消去它，從而達到簡化運算的目的。當然不是所有的題目都能像本題一樣，直接整體代入，有時必須通過仔細觀察，抓住方程組的特點，先將它適當?shù)刈冃?，然后再整體消元。

四、巧妙“消元”，重構方程（組）

例5已知方程組的解滿足x+y=3，求k的值。

【解析】本題表面上看是一個二元一次方程組和一個二元一次方程的問題，其本質上是一個“三元”問題，所以解決此類問題可以從不同層次觀察和不同角度思考：其一是常規(guī)解法，即直接解關于x、y的方程組，再將方程組的解代入到x+y=3中，得到關于k的一元一次方程，進而求出k的值；其二是重構二元一次方程組，求出x、y的具體數(shù)值，再代入到另一個方程中求出k的值；其三是先消去一個未知數(shù)，構建一個含有k的二元一次方程組，解這個方程組；其四是仔細觀察題目的特點，可以將方程組中的兩個方程的左、右兩邊分別相加，然后將x+y=3整體代入，就可以了。

解：方法一：

解這個一元一次方程，得k=8。

方法二：

將2x+y=1與x+y=3聯(lián)立，

得-2+2×5=k，所以k=8。

方法三：

由x+y=3，得y=3-x。④

將④分別代入①、②，

所以k=8。

方法四：

①+②，得3x+3y=k+1，

則3(x +y)=k+1。④

將x+y=3代入④，得3×3=k+1，所以k=8。

【點評】解決此類問題，無非這幾種方法，不論采取哪種方法解題，同學們要注意的是：不僅要觀察方程組中相同字母系數(shù)的特征，而且還要根據(jù)解題的需要，觀察將方程組中的兩個方程的左、右兩邊分別相加或相減后未知數(shù)系數(shù)的特點?？傊氈掠^察，恰當消元，往往會“輕而易舉”地把問題解決了。就本題而言，方法四就顯得十分簡潔。