關注例題拓展 增強數學素養

鄭金華

數學素養中的“運算能力”“符號意識”等要求與“數與式”領域是緊密聯系的。如何抓住本單元中的典型例題總結規律，從而進行延伸與拓展，這對同學們來說是非常值得研究的。

一、提升數學“運算能力”

在平時的學習中，一方面，老師會讓同學們整體感知數學運算，熟練運用運算法則開展適度、適量的訓練；另一方面，我們在訓練的同時，應更多地去關注對算理的理解。下面，我們為同學們提供一些經典例題，希望同學們能結合具體的數學運算，研究其中的運算原理。

1.對數學運算“法則”的理解。

例2計算：（3a2-ab）-（5ab-4a2+7）。

【解析】原式=3a2-ab-5ab+4a2-7=7a2-6ab-7。

例1是一道“數值”計算，例2是一道“代數式”計算。“數值”計算過程比較直觀，結果是一個數值，非常具體；引入字母的“代數式”所進行的計算比較抽象，結果還可能是一個沒有實際意義的“符號串”，如例2的運算結果。

2.對數學運算“算理”的理解。

例3甲地的海拔高度為32米，乙地的海拔高度為-18米，則兩地的高度相差多少米？

【解析】32-（-18）=32+18=50（米）

答：兩地的高度相差50米。

例4全班學生分成5個組進行游戲，每個組的基本分為100分，答對一題加50分，答錯一題扣50分，游戲結束時，各組的分數如下：

第五組-100第一組100第二組150第三組-400第四組350

（1）第一名超出第二名多少分？

（2）第一名超出第五名多少分？

【解析】（1）用最高的第四組的分數減去第二組的分數，然后根據有理數的減法運算法則進行計算即可得解；（2）用最高的第四組的分數減去第三組的分數，根據有理數的減法運算法則：減去一個數等于加上這個數的相反數，進行計算即可得解。

有理數減法的實質并不是小學階段建立的“在整體中拿走一部分”。從本質上說，這兩道例題能幫助同學們對數學運算的理解上升到一個新的高度——理解數學算理。

二、培育數學“符號意識”

同學們應該明白，“數與式”中的內容并不是枯燥的符號和繁雜的計算，事實上，“數與式”內容非常豐富，與現實世界和生活都是緊密聯系在一起的。

1.具有現實意義的問題情境。

例5手工拉面是我國的傳統面食。制作時，拉面師傅將一團和好的面，揉搓成一根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折，每次對折稱為一扣，如此反復操作，連續扣六七次后便成了許多細細的面條。一根面條拉扣8次是多少根？一根面條拉扣n次是多少根？

【解析】一根面條拉扣1次是2根，一根面條拉扣2次是（2×2）根，一根面條拉扣3次是（2×2×2）根，一根面條拉扣4次是（2×2×2×2）根……所以，一根面條拉扣8次是根，記作28。一根面條拉扣n次是（）根，記作2n。

例6某種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個。根據此規律，請根據你所學的知識，計算：（1）這樣的一個細胞經過3小時后可分裂成多少個細胞？（2）這樣的一個細胞經過n（n為正整數）小時后可分裂成多少個細胞？

【解析】（1）經過3小時后可分裂成22×3=26=64個細胞；（2）經過n（n為正整數）小時后可分裂成22n個細胞。

例713世紀數學家斐波那契的《計算書》中有這樣一個問題：在羅馬有7位老婦人，每人趕著7頭毛驢，每頭驢馱著7只口袋，每只口袋里裝著7個面包，每個面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘，則刀鞘有多少只？

【解析】7×7×7×7×7×7=76，刀鞘有76只。

例6與例7都是中考題，顯而易見，這類題目是通過對教材的引例進行挖掘，然后變式延展而成的。同學們要在具體情境中主動識別運算類型、運算對象，自覺選擇適當的運算法則，正確實施運算，解釋運算結果的合理性，從而在使用的過程中逐步感知與接受數學符號。

2.數學活動或數學游戲。

例8數學活動：李明同學用一個邊長為a的正方形和一個邊長為b的正方形以及兩個長和寬分別為b、a的長方形（如圖所示），拼成一個大的正方形，且他通過比較拼圖前后的總面積發現了一個數學規律。

（1）請你畫出拼成后的圖形。

（2）請你用數學式子表示李明同學發現的數學規律，并利用規律計算（2x+3y）2。

【解析】（1）如圖所示：

例9數學游戲：將若干枚棋子平均分成3堆（每堆至少2枚），分別放在左邊、中間、右邊，并按如下順序進行操作：第一次，從右邊一堆中拿出2枚棋子放入中間一堆；第二次，從左邊一堆中拿出1枚棋子放入中間一堆；第三次，從中間一堆中拿出幾枚棋子放入右邊一堆，并使右邊一堆的棋子數為最初的2倍。小明認為：無論最初的棋子數為多少，按上述方法完成操作后，中間一堆總是剩下1枚棋子，你同意他的看法嗎？請說明理由。

【解析】無論最初的棋子數為多少，最后中間只剩1枚棋子。理由：設原來平均每堆a枚棋子，則最后左邊2a枚棋子，右邊（a-1）枚棋子，總棋子數還是3a。列式：3a-2a-（a-1）=1，所以最后中間只剩1枚棋子。

在“數與式”的學習過程中，同學們要善于進行動手操作、積極思考并找到規律，主動使用數學語言和數學符號表達自己的思維過程，只有這樣才能有利于同學們正確認識數學符號的內涵，有助于你們形成“符號意識”，提高運算能力，促進數學素養的不斷提升。