基于Pignistic概率函數和相關系數的證據組合方法

楊曉萍，廉偉健，李孟杰，錢志鴻

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基于Pignistic概率函數和相關系數的證據組合方法

楊曉萍，廉偉健，李孟杰，錢志鴻

（吉林大學通信工程學院，吉林 長春 130012）

D-S證據理論不能很好地解決證據之間高沖突的情況，得到的結果與事實相悖，并且在實際的應用中無法解決“一票否決”的問題。針對上述不足，提出了一種基于Pignistic概率函數和相關系數的新證據沖突衡量標準（Pcor）和基于該標準的加權證據組合方法。該方法用Pcor來衡量證據間的沖突，通過建立支持矩陣來確定各證據的支持度，用加權平均法修正證據，使用Dempster組合規則，最終得出與事實相符的結果。數值算例表明，所提方法有效地解決了高沖突證據組合問題，與相關算法相比，具有更好的收斂性。

D-S證據理論；沖突衡量；相關系數；證據組合；信任度

1 引言

D-S證據理論（Dempster-Shafer evidence theory）作為多傳感器信息融合決策層重要方法之一，具有良好的信息融合能力，所需要的條件比貝葉斯概率論更弱些，在不確定、不知道的情況下可以很好地解決問題，因此被廣泛地應用于決策分析、信息融合[1-2]、模式識別[3]、目標識別等領域。然而在一些特殊的情況下，采用Dempster組合規則將信息源的信息進行組合，會產生與事實相悖的結論，從而使組合失去意義。國內外研究者認為這種情況是由證據之間高沖突引起的，并提出了大量的改進算法，主要分為2類：1) 針對證據理論本身組合存在的問題進行修改，有效地解決了證據之間的高沖突問題，參見文獻[4-6]；2) 在經典理論算法的基礎上，對存在沖突的證據進行預處理，也有效地解決了證據之間高沖突帶來的問題，參見文獻[7-8]。這些改進算法從多個方面豐富了Dempster組合規則，并推動了其發展，使其更加適合實際應用。

本文在第二類改進算法的基礎上，借助Murthy[8]思想，在Pignistic概率函數[9-10]的基礎上引入相關系數來確立沖突衡量標準，并根據此衡量標準確立各證據權重，使用加權平均思想降低沖突證據在組合中的影響，最后使用Dempster組合規則完成證據組合。

2 D-S的基本概念

D-S中，用表示識別框架，={1,2,…,θ}，其中，對象θ(1≤≤)是的一個子集，且是互不相容的元素。包含了所有對象，其冪集定義為2，是所有子集的集合。

定義1 基本概率賦值函數（BPA，basic probability assignment）[11]。設為識別框架，如果函數：2→[0,1]滿足()=0、∑()=1，則稱為上的基本概率賦值函數。其中，()叫作的基本概率賦值，也就是對的支持度，為空集。如果??且滿足()>0，則稱為焦元。將框架內給出的(1)、(2)、…、(2)用行向量表示，=[(1),(2),…,(2)]。

Dempster組合規則表達式為

其中，∈[0,1)表示證據之間的沖突程度，計算式如式(2)所示。

3 證據沖突方法分析

在證據理論中，證據沖突[12]產生的原因主要有2個：1) 因不可抗力（如人為的放射干擾、雷電等惡劣天氣）引發傳感器收集到的證據與事實存在較大的偏差；2) 因人們對事物認知程度造成證據沖突即辨別框架不全面，導致各傳感器給出的報告相互之間沖突較高。因此，沖突衡量標準要有高沖突證據篩選的能力。

3.1 經典的證據衡量方法

經典的證據衡量方法在衡量證據之間的關系時存在一些有悖于事實的情況，通過例1來對經典的證據衡量方法進行分析。

例1 設識別框架={1,2,3,4}，3個證據的BPA分別為

1：1(1)=1(2)=0.5

2：2(1)=2(2)=0.5

3：3(3)=3(4)=0.5

1) 沖突系數

其中，A、B作為證據1、2的焦元表示符合識別框架的所有子集。

2) Joussemle距離

例1中的1與3是2個完全沖突的證據，根據完全沖突的意義來說，證據間求得的BPA值應無限接近于1，但是使用式(4)計算求得BPA=0.707，因此使用Joussemle距離也存在與事實相悖的情況。

3) 相關系數

相關系數的計算式如式(5)所示。

可以看出，經典的證據沖突方法在某些情況下會出現問題。

3.2 新的證據沖突衡量標準

針對相關系數無法在證據中包含非單子集的情況下正確地判斷出沖突程度，加入Pignistic概率函數，解決相關系數在此方面的不足。

定義2 Pignistic概率函數。設()為識別框架下的基本概率賦值函數，則Pignistic概率函數為

那么在識別框架下，證據經過Pignistic概率函數轉化后如式(8)所示。

定義4 設2個證據的單子集Pignistic概率函數為1、2，引入相關系數思想，來表示1、2證據之間的沖突程度，用表示，

從式(9)很容易看出∈(0,1)，這不僅保留了相關系數的能力，還解決了相關系數在非單子集情況下能力不足的問題。下文的例2是文獻[11]中的具體事例，用來說明在衡量證據沖突方面具有的優勢。

例2 設識別框架={1,2,3,…,20}，2個證據的BPA分別為如下所示。

1：1(2,3,4)=0.05,1(7)=0.05,1()=0.1,1()=0.8

2：2(1,2,3,4,5)=1

其中，的變化規律為{1}，{1,2}，{1,2,3}，…，{1,2,3,…,20}。表1給出當變化時，新的證據沖突程度與文獻[12]中采用的證據距離BPA和文獻[11]中定義的關聯系數的對比。

從表1可以看出，當1()變化到{1,2,3,4,5}時，1()與2(1,2,3,4,5)的焦元相同，此時，2個證據間的沖突是最小的，但隨著的變化證據沖突=0.05是不變的，說明不能用來衡量證據間的沖突程度。觀察證據距離BPA、關系系數和本文提出的沖突程度都是隨著的變化而變化，因此也可以作為證據沖突衡量標準，該新的證據沖突衡量標準簡稱為Pcor。表1中的數據表明：證據距離BPA與沖突程度呈正比關系；關系系數的值越大，證據間的沖突程度越小，證據間相似度就越高；的變化趨勢與關系系數相似。顯然，和與BPA的變化趨勢相反。為了直觀地表達各沖突程度變量的變化趨勢，圖1繪出了表1中BPA、1?、1?隨著包含元素個數變化的曲線。

表1 各證據沖突衡量標準之間的比較

圖1 證據沖突衡量標準的比較

從圖1可以看出，BPA、1、1?有著相同的變化趨勢，在變化到{1,2,3,4,5}時，BPA、1、1?的值都降到最小，并且隨著的進一步增加，三者數值都隨著沖突程度變大而相應地升高，這與客觀實際情況相吻合。從變化的趨勢來看，1?變化趨勢更加平滑。從以上的分析可以得出，本文定義的證據沖突衡量標準Pcor可以準確全面地描述證據間的沖突程度。

4 基于Pcor的加權證據組合方法

在傳感器決策信息融合領域，一直都秉承著少數服從多數的原則[13-15]，Zadeh[16]認為在Dempster組合規則下組合結果與事實相違背的原因是某個證據或少數證據不相容，但是對這些少數的證據我們無法規避或清除。為了能使大多數的證據決策保留下來，在證據合成過程中，降低一個或少數不相容證據的權重，Pcor是一個有效的方法，其利用值確定各證據的權重系數[17-18]，最后利用加權平均的思想進一步弱化不相容證據。

步驟1 根據式(7)與式(9)計算任意2個證據間的值并根據構建支持矩陣SM，如式(10)所示。

步驟2 計算m的支持度Sup(m)為

步驟3 計算m的權重ω為

圖2 基于Pcor的加權證據組合方法流程

5 仿真算例與分析

通過具體事例，將一些典型的組合規則與本文提出的組合方法進行對比分析，說明本文方法能較好地解決高沖突組合問題。

例3 設某一識別框架為={，，}，有5個傳感器的BPA分配分別如下所示。

1()=0.5，1()=0.2，1()=0.3

2()=0.0，2()=0.8，2()=0.2

3()=0.6，3()=0.3，3()=0.1

4()=0.55，4()=0.25，4()=0.2

5()=0.65，5()=0.15，5()=0.2

從5個傳感器給出的證據看出，1、3、4、5證據認為發生的可能性較大；證據2對的支持度較高，相比較而言，證據2是一條高沖突證據。通過6種組合規則對例3證據進行組合，其結果如表2所示。

從表2可以看出，由于2()=0，Dempster組合規則無法在更多證據支持的情況下得出一個合理的數值，組合后()值始終為0，顯然根據原始的Dempster組合規則做出的決策是不符合常理的；Yager組合規則分析出Dempster組合規則存在的問題并進行了相應的改進，把沖突的部分分配給未知項，隨著證據的增加，組合后的()逐漸變大，但()值仍為0，Yager組合規則雖然提高了組合理論分配的合理性，但是仍沒有解決Dempster組合規則處理高沖突證據帶來決策錯誤的問題；孫全等[20]對Yager組合規則進行了改進，很好地克服了該規則一直以來對的否定，隨著加入組合的證據增多，()值也在增加，只是收斂速度較慢，當第5個證據加入組合時，()=0.236 9、()=0.506 7，結果不確定性依然存在，仍不利于決策；Murthy方法很好地解決了高沖突問題，當第5個證據加入組合后，()=0.809 0，可以準確地做出決策判斷，但是Murthy組合規則只是對證據間進行了簡單的平均，并沒有考慮證據之間的相關性與差異，在2()=0.8這一基本概率賦值的干擾下，()與()的組合結果相差較大。

表2 6種組合規則結果比較

Pcor組合規則，不僅選取了Murthy組合規則中的組合優點，還利用新的證據沖突衡量標準Pcor來確定證據間的權重系數，達到對證據的合理分配。如表2所示，按照Pcor組合規則組合后，各元素滿足客觀規律()>()>()，對比Murthy組合規則明顯縮小()與()組合結果的差異。隨著對支持度高的證據加入，Pcor組合規則中()組合結果越來越大。當第4個和第5個證據加入時，()值分別為0.758 1、0.937 3，比Murthy組合規則中的()=0.545 3、()=0.809 0有明顯提高，那么Pcor組合規則更加利于決策。對比文獻[21]的組合方法，兩者在組合效果上都非常不錯，但是在相同的條件下，Pcor組合方法的()值是較大的，對最終的判斷結果更有利。如圖3所示（由于Dempster組合規則與Yager組合規則()值一直為0，2條線與橫軸重合），Pcor組合規則在第3個證據加入組合時()數值就很高，這得益于該規則分配權重的合理性，有效地降低證據2在整個組合過程中的影響，隨著證據4、5加入，證據2的影響越來越小。因此Pcor組合規則不僅提高了證據組合的可能性，還很好地反映了實際的組合過程，符合實際情況。

圖3 不同組合規則m(A)的收斂性

6 結束語

采用經典證據理論對高沖突證據進行組合時，會產生與事實相悖的結論。本文結合Pignistic概率函數變換與相關系數確立新沖突衡量標準Pcor，在理論與事例兩方面驗證Pcor可以有效地衡量證據間的沖突，并且根據Pcor提出了有效的組合規則。算法事例表明，本文提出的Pcor組合規則全面結合了證據間的相關性與差異，最大程度降低了高沖突證據帶來的組合問題，不僅加快了組合結果的收斂速度，降低了決策風險，還提高了抗干擾能力和證據高沖突時決策的準確性。

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Evidence combination method based on Pignistic function transformation and correlation coefficient

YANG Xiaoping, LIAN Weijian, LI Mengjie, QIAN Zhihong

College of Communication Engineering, Jilin University, Changchun 130012, China

The situation of high conflict between evidences and one ballot veto cannot be solved by classical D-S rule, and the results obtained from classical D-S rule are contrary to the facts. To solve this problem, a new standard to measure conflicts between evidences was proposed based on the combination of Pignistic function transformation and correlation coefficient, and also a novel kind of weighted combination method which was applied to measure conflicts between evidences was put forward according to the standard. After that, a support matrix was constructed based from which the credibility of evidence was obtained, and the weighted average method was used to revise the evidence. Finally, the combination was accomplished by using Dempster’s rule. The result of numerical examples shows that it’s effective to solve the combination of conflicting evidence. Compared with other methods, the proposed method has good astringency.

D-S evidence theory, conflict measure, correlation coefficient, evidence combination, credibility

TP391

A

10.11959/j.issn.1000?436x.2019049

2018?04?23；

2018?08?22

吉林省校共建計劃專項基金資助項目（No.SXGJQY2017-9）；吉林大學高層次科技創新團隊建設基金資助項目（No.2017TD-19）；國家自然科學基金資助項目（No.61771219）；吉林省科技廳重點科技研究發展基金資助項目（No.20180201081SF）

The Special Fund Project of Jilin Province School Co-Construction Plan (No.SXGJQY2017-9), The High-Level Technology Innovation Team Building Project of Jilin University (No.2017TD-19), The National Natural Science Foundation of China (No.61771219), The Science and Technology Research Development Fund of Jilin Provincial Science and Technology Agency (No.20180201081SF)

楊曉萍（1963? ），女，黑龍江鶴崗人，博士，吉林大學教授、碩士生導師，主要研究方向為網絡通信傳輸技術和多傳感器數據融合技術。

廉偉健（1993? ），男，吉林梅河口人，吉林大學碩士生，主要研究方向為多傳感器數據融合技術。

李孟杰（1994? ），男，河北邯鄲人，吉林大學碩士生，主要研究方向為WSN負載均衡多徑路由協議。

錢志鴻（1957? ），男，吉林長春人，博士，吉林大學教授、博士生導師，主要研究方向為基于物聯網、D2D、Wi-Fi、RFID 等無線網絡與通信技術。