基于響應(yīng)曲面法與滿意度函數(shù)的柔順機(jī)構(gòu)多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)

（江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)是一種具有無(wú)機(jī)械摩擦、精度高、加工工藝簡(jiǎn)單、間隙小以及運(yùn)動(dòng)靈敏性較高等優(yōu)越特性的新型機(jī)構(gòu)，這些特性適應(yīng)于現(xiàn)代科技技術(shù)發(fā)展對(duì)各類設(shè)備高精度、高標(biāo)準(zhǔn)的要求，目前在航空航天與生物工程等尖端領(lǐng)域已被廣泛應(yīng)用。由于柔順機(jī)構(gòu)在實(shí)際工況下往往受到外界變載荷和結(jié)構(gòu)參數(shù)等多重不穩(wěn)定因素的影響，使其柔性鉸鏈部件時(shí)常發(fā)生“欠”變形或“過(guò)”變形而導(dǎo)致各軸向柔度不穩(wěn)定，影響柔順機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)功能操作的精確度和可靠度。因此，針對(duì)各柔性部件柔度的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)值得深入研究。

當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)柔性鉸鏈所做的研究主要在自由度、屈曲優(yōu)化分析以及拓?fù)涓纳品治龅葞讉€(gè)方面。文獻(xiàn)[1]通過(guò)運(yùn)用可靠性指標(biāo)和一次二階矩法來(lái)評(píng)估參數(shù)在不確定情況下所造成的影響，以柔性鉸鏈柔度達(dá)到最小值以及位移輸出達(dá)到最大值為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建熱固耦合拓?fù)涓纳颇Ｐ停瑢?duì)柔性鉸鏈進(jìn)行分析，并引入可靠性設(shè)計(jì)的約束條件作為機(jī)構(gòu)可靠性指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析得出兼顧安全性與經(jīng)濟(jì)學(xué)的柔性鉸鏈設(shè)計(jì)參數(shù)組合，實(shí)現(xiàn)了提高鉸鏈工作穩(wěn)健性的目標(biāo)。文獻(xiàn)[2,3]中運(yùn)用田口方法對(duì)柔性鉸鏈在可控因子和噪聲因子相互作用下的可靠性進(jìn)行分析，得到了具有一定參考價(jià)值的成果。文獻(xiàn)[4]通過(guò)建立柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)特性復(fù)合橋式微動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模型，運(yùn)用拉格朗日方程和偽剛體法探究柔性鉸鏈的穩(wěn)健性能，獲得了更為可靠的運(yùn)動(dòng)精度。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用柔性鉸鏈可靠性多目標(biāo)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法，將外部環(huán)境的變載荷與柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為優(yōu)化變量，建立柔性鉸鏈可靠性多響應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過(guò)分析計(jì)算柔性鉸鏈可靠度，得出柔性鉸鏈串聯(lián)系統(tǒng)實(shí)際工況下的失效幾率，試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，采用可靠性多目標(biāo)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法可使柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)性能得到提高，在實(shí)際工程中具有較高的參考價(jià)值。

本文以微指針放大柔順機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，針對(duì)其柔性部件常常會(huì)因?yàn)榭煽匾蛩睾筒豢煽匾蛩氐挠绊懴露鴮?dǎo)致難以同時(shí)考慮各響應(yīng)柔度的穩(wěn)健性，及其對(duì)應(yīng)的多響應(yīng)質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系而導(dǎo)致難以構(gòu)建優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的工程問題，采取響應(yīng)曲面法與滿意度函數(shù)相結(jié)合的方法，優(yōu)化微指針放大柔順機(jī)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)，為提升微指針放大柔順機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健性與精確性提供新的解決方案。

1 微指針放大柔順機(jī)構(gòu)

微指針放大柔順機(jī)構(gòu)主要由兩根固定桿與旋轉(zhuǎn)桿構(gòu)成，固定桿一端固定，另一端與倒圓角直梁型柔性鉸鏈[6]相連，如圖1所示。當(dāng)該機(jī)構(gòu)用于薄膜殘余應(yīng)力的測(cè)量時(shí)，薄膜釋放殘余應(yīng)力，使連接于固定桿的柔性鉸鏈?zhǔn)芰Πl(fā)生微量形變，迫使旋轉(zhuǎn)桿發(fā)生微動(dòng)角位移，接著對(duì)微探針結(jié)構(gòu)進(jìn)行電信號(hào)導(dǎo)入，迫使其逐步轉(zhuǎn)動(dòng)，最終與旋轉(zhuǎn)桿發(fā)生接觸，通過(guò)判別施加電信號(hào)的大小逆向推導(dǎo)出選裝桿的旋轉(zhuǎn)位移量，從而通過(guò)數(shù)學(xué)換算達(dá)到測(cè)量薄膜殘余應(yīng)力的目的[7]。

圖1 微指針放大柔順結(jié)構(gòu)示意圖

2 穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的構(gòu)建思路

2.1 響應(yīng)曲面法

在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，為了能夠較好的解決多響應(yīng)質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系而導(dǎo)致難以構(gòu)建優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的工程問題，需要先采用合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，而后通過(guò)采取邏輯嚴(yán)密及數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ǎ瑢?duì)獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立一個(gè)高精度的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。因響應(yīng)曲面法是一個(gè)集試驗(yàn)設(shè)計(jì)和構(gòu)建優(yōu)化設(shè)計(jì)模型精度高于一身的方法，具有試驗(yàn)次數(shù)少、成本低以及邏輯嚴(yán)密的優(yōu)點(diǎn)，故常應(yīng)用于多響應(yīng)質(zhì)量特性的實(shí)際工程問題優(yōu)化建模。

2.2 滿意度函數(shù)

在解決多響應(yīng)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的研究中，Derringer和Suich[8]提出了滿意度函數(shù)法。針對(duì)響應(yīng)質(zhì)量特性的性質(zhì)不同，可將其歸類為望大特性、望目特性及望小特性，其分別對(duì)應(yīng)的滿意度函數(shù)如式(1)、式(2)、式(3)所示，以此將所有響應(yīng)進(jìn)行逐個(gè)特定滿意度函數(shù)轉(zhuǎn)變。

通過(guò)進(jìn)行單個(gè)滿意度函數(shù)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而建立起復(fù)合滿意度函數(shù)優(yōu)化模型，其計(jì)算表達(dá)式如式(4)所示，并計(jì)算出該模型的加權(quán)幾何平均值，使其趨于最大化，以此將多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)難題轉(zhuǎn)變成單響應(yīng)問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

式中：ωi（i=1,2,...,n）表示第i個(gè)響應(yīng)滿意度函數(shù)的權(quán)重；∑ωi=1是各響應(yīng)質(zhì)量特性權(quán)重的總和；這里假設(shè)ω1=ω2=...=ωn[9～12]。

2.3 中心復(fù)合有界試驗(yàn)設(shè)計(jì)

對(duì)于中心復(fù)合有界試驗(yàn)設(shè)計(jì)（CCI）的結(jié)構(gòu)形狀而言，其呈現(xiàn)球狀，這一設(shè)計(jì)方式主要應(yīng)用于較為嚴(yán)苛的條件需求，如試驗(yàn)設(shè)計(jì)范圍受到工程實(shí)際狀況約束，試驗(yàn)設(shè)計(jì)水平不能越出立方體的邊界，此時(shí)可以甄選CCI設(shè)計(jì)方法。以3因子為例，其CCI布點(diǎn)示意圖如圖2所示。由圖2可知，CCI設(shè)計(jì)方法中的各因子含有5個(gè)設(shè)計(jì)水平，分別為±1，0，±1。

圖2 3因子CCI布點(diǎn)圖

2.4 構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化模型的總體思路

多響應(yīng)質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量常呈現(xiàn)非線性關(guān)系，導(dǎo)致難以構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，針對(duì)此問題提出一種基于響應(yīng)曲面法與滿意度函數(shù)相結(jié)合的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法。構(gòu)建該方法模型的總體思路是：首先通過(guò)CCI方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，進(jìn)而獲取到試驗(yàn)數(shù)據(jù)；然后通過(guò)利用響應(yīng)曲面法對(duì)各響應(yīng)值進(jìn)行模型的擬合；其次對(duì)擬合的模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)；最后構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)采用滿意度函數(shù)法，將多響應(yīng)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髲?fù)合滿意度函數(shù)加權(quán)幾何平均值最大化的單響應(yīng)問題，進(jìn)而獲取響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的最佳設(shè)計(jì)方案。其優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

圖3 穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)流程圖

3 柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)

鑒于微指針放大柔順機(jī)構(gòu)是通過(guò)柔性鉸鏈的形變來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)微小角位移進(jìn)行放大的作用，在實(shí)際工作環(huán)境中，柔性鉸鏈的變形非常小且變形主要集中于倒圓直梁段，其余部分可視為剛體，其機(jī)構(gòu)圖如圖4所示。因此在進(jìn)行優(yōu)化分析時(shí)，選取倒圓直梁段作為優(yōu)化目標(biāo)，以此構(gòu)建該柔性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)模型，其受力分析如圖5所示。

圖4 柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)圖

圖5 柔性鉸鏈?zhǔn)芰Ψ治鰣D

通過(guò)查閱文獻(xiàn)[13]可推導(dǎo)出沿Z軸彎曲柔度Cz和沿X軸方向的柔度Cx，它們分別為：

式中：E為彈性模量；b為鉸鏈寬度；t為鉸鏈厚度；r為倒圓半徑；L為鉸鏈長(zhǎng)度；c=r/t。

根據(jù)微指針放大柔順機(jī)構(gòu)的實(shí)際工況要求，柔性鉸鏈以多晶硅作為原材料，楊氏模量E=156GPa，影響鉸鏈工作性能的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)b∈[8.5，11]μm、t∈[4.7，5.5]μm、r∈[4.5，6.5]μm、L∈[1，3.5]μm，繞Z軸方向的彎曲柔度Cz為望大特性，沿X軸方向的柔度Cx為望小特性。通過(guò)查閱文獻(xiàn)[14]可推導(dǎo)出Cz在區(qū)間（0.3441，0.6171）rad/N.m內(nèi)呈現(xiàn)望大特性，Cx在區(qū)間（1.0828，1.6636）nm/N內(nèi)呈現(xiàn)望小特性。

考慮到微指針放大柔順機(jī)構(gòu)實(shí)際工況的限制，該模型采用Minitab對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)b、t、r、L進(jìn)行CCI試驗(yàn)設(shè)計(jì)，進(jìn)而獲取b、t、r、L響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)表的取值，通過(guò)對(duì)各參數(shù)取值組合進(jìn)行試驗(yàn)，獲取在各種設(shè)計(jì)組合下柔度Cz與Cx的取值，其試驗(yàn)設(shè)計(jì)與運(yùn)行數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)表1所得數(shù)據(jù)，計(jì)算分析響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)模型，得到各擬合項(xiàng)與柔度的P值關(guān)系，如表2所示。

表1 CCI響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)表

表1 （續(xù)）

表2 各擬合項(xiàng)與柔度的P值表

當(dāng)P值大于0.05時(shí)，擬合項(xiàng)對(duì)柔度的影響不顯著，P值小于0.05時(shí)，擬合項(xiàng)為顯著影響項(xiàng)。故根據(jù)表2，可篩選出Cz、CX的顯著影響擬合項(xiàng)，且柔度與擬合項(xiàng)呈現(xiàn)非線性數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，因此采用二階響應(yīng)進(jìn)行擬合建模，分別擬合出各柔度響應(yīng)曲面模型，其模型公式如式(7)、式(8)所示：

在擬合出各柔度響應(yīng)曲面模型后，必須對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)，以確定擬合模型是否能夠表達(dá)真實(shí)數(shù)學(xué)模型。在查閱文獻(xiàn)[15]后可知，在實(shí)際工程中，通常采用多元相關(guān)系數(shù)R2以及修正多元相關(guān)系數(shù)作為評(píng)判模型精度的指標(biāo)。當(dāng)數(shù)值趨近于1，且與R2數(shù)值越接近時(shí)，則表明該擬合模型的精度越高，其分別對(duì)應(yīng)的計(jì)算如式(9)所示。

式中：yi為目標(biāo)響應(yīng)質(zhì)量特性的仿真值，為目標(biāo)響應(yīng)質(zhì)量特性的預(yù)測(cè)值，為響應(yīng)質(zhì)量特性仿真值的平均值，k是自由度，MSE為均方誤差，Variance為方差。

根據(jù)上述公式，對(duì)各柔度的擬合曲面模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，驗(yàn)證結(jié)果如表3所示，Cz、Cx的修正多元相關(guān)系數(shù)均趨近于1，且與R2十分接近，故可判定擬合響應(yīng)曲面模型的精度很高，滿足完全替代真實(shí)數(shù)學(xué)模型的要求。

表3 各響應(yīng)曲面模型的精度指標(biāo)

假定每個(gè)響應(yīng)柔度所對(duì)應(yīng)的滿意度函數(shù)都呈現(xiàn)分段式線性函數(shù)關(guān)系（即r=1），由于Cz為望大特性，Cx為望小特性，故根據(jù)式(1)與式(2)可分別得出Cz、Cx的滿意度函數(shù)，如式(10)、式(11)所示。

結(jié)合式(10)、式(11)和式(4)，即可得出Cz與Cx的復(fù)合滿意度函數(shù)D復(fù)合，如式(12)所示，并將其作為曲面模型的目標(biāo)函數(shù)。最終運(yùn)用Minitab的響應(yīng)優(yōu)化器模塊對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)值求解，其最終參數(shù)優(yōu)化圖，如圖6所示。

圖6 參數(shù)優(yōu)化圖

由上圖可知，最終最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)方案為b=11，t=4.7，r=4.5，L=3.5，Cx=1.1858，Cz=0.6171；D復(fù)合的合意性為0.9070，d(yCx(x))=0.8226，d(yCz(x))=1.00000，上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，該方法使微指針放大柔順機(jī)構(gòu)的柔性鉸鏈基本達(dá)到了穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

為了進(jìn)一步確定該方案的有效性，設(shè)計(jì)在不利條件下對(duì)該穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行兩次試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果：Cx分別為1.1852、1.1864，Cz分別為0.6167、0.6175，與穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)后響應(yīng)柔度的絕對(duì)偏差均小于1%，證明了該方法的有效性。同時(shí)與文獻(xiàn)[13]中有限元分析法所得優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。

表4 優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)比表

通過(guò)表4的數(shù)據(jù)對(duì)比可知，采用文獻(xiàn)[13]中的有限元分析法構(gòu)建各響應(yīng)質(zhì)量特性優(yōu)化模型時(shí)，其D復(fù)合僅為0.7136，對(duì)照本文的D復(fù)合=0.9070有著顯著差異，表明本文方法更優(yōu)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以微指針放大柔順機(jī)構(gòu)柔性鉸鏈部件為對(duì)象，針對(duì)柔性部件在實(shí)際工況中受多重因素影響而導(dǎo)致難以實(shí)現(xiàn)各響應(yīng)柔度的共同穩(wěn)健，采用滿意度函數(shù)與響應(yīng)曲面法相結(jié)合，對(duì)其進(jìn)行多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。

首先，運(yùn)用CCI原則對(duì)主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而后采用曲面響應(yīng)法分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，確定擬合顯著項(xiàng)，得出多響應(yīng)曲面擬合模型，通過(guò)結(jié)合滿意度函數(shù)，將多響應(yīng)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髲?fù)合滿意度函數(shù)加權(quán)幾何平均值最大化的單響應(yīng)問題，借助Minitab的響應(yīng)優(yōu)化器模塊進(jìn)行運(yùn)算求解，最終獲取最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)方案，并與采用有限元分析法所得設(shè)計(jì)方案進(jìn)行對(duì)照，發(fā)現(xiàn)采用本文所用的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案更優(yōu)，這為此類柔性鉸鏈的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)提供了新的解決方案。