巧轉化，妙破解
——一道向量最值題的探究

☉山東省青州第一中學 張偉言

平面向量的最值問題是高考平面向量內容中比較常見的考查形式之一，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數量積、參數值等相關最值的求解.也是各類模擬卷、自主招生中比較常見的題型，此類問題切入點多，方法多樣，而且難度一般都不低，是知識交匯、創新應用、能力體現及數學素養培養與提升的重要場所.

一、問題呈現

二、多解思維

從題目條件入手，通過對平面向量的線性關系的轉化，建立a，b，c關于x，y的表達式，結合余弦定理建立相應的方程，借助基本不等式的應用與二次不等式的求解確定x+y的取值范圍，并結合條件確定x+y的最大值.

從題目條件入手，通過對平面向量的線性關系的轉化，建立x，y的關系式與a，b，c的關系式之間的表達式，設出參數，結合余弦定理建立相應的方程，借助基本不等式的應用與二次不等式的求解確定m+n的取值范圍，并結合條件確定x+y的最大值.

故m+n≤4.

結合三角形的性質，可知m+n∈（1，4］.

從題目條件入手，通過對平面向量的線性關系的轉化，建立x+y關于a，b，c的表達式，結合余弦定理建立相應的方程，通過關系式的變形與轉化，利用基本不等式確定的最小值，進而得以確定x+y的取值范圍，并結合條件確定x+y的最大值.

設內切圓⊙I的半徑為r.

如圖1，設內切圓⊙I與△ABC各邊的切點分別為M，N，P，延長AI交BC于點Q.

圖1

當且僅當點Q與點P重合時等號成立，此時x+y取得最大值.

其實在解答平面向量的最值問題時，關鍵是結合題目條件，從題意入手，從平面向量相關概念的本質出發，選取代數與幾何、數與形等方式，用函數法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法參與解決，進而達到解決相關最值問題的目的，提升能力，拓展思維.W