基于雙層梁模型的電磁軌道發射身管動力學研究

蔡喜元，魯軍勇，譚 賽，張永勝，李 白，姜遠志

(海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，湖北 武漢 430033)

0 引 言

電磁發射技術是機械能發射、化學能發射之后的一次發射方式的革命，利用電磁力（能）推進物體到高速或超高速的發射技術[1 – 2]。電磁軌道發射武器電樞以超高速運動，身管所受載荷隨電樞運動高速變化，已經超出靜力學研究的范疇。而且從本質上講，力學中靜力學問題實際上都是動力學問題的近似[3]，與靜力學相比，動力學分析需要考慮系統慣性和阻尼作用。電磁軌道發射身管的動態響應影響系統性能，導軌振動影響電樞與導軌接觸狀態，當電樞與導軌失去有效接觸時，就會發生轉捩[4 – 5]。此外，身管的振動勢必影響電樞與彈丸內彈道和出口姿態，進而對射擊精度也有影響。

電磁軌道發射原理模型如圖1所示，電流從平行導軌一端流入，經過電樞從導軌另一端流出，導軌周圍產生的電磁場推動有電流通過的電樞向前運動。由于電磁場的存在，平行導軌之間會受到電磁斥力；由于樞軌之間的過盈配合，電樞對導軌也會有過盈力。Tzeng首次提出將復合型電磁軌道發射身管簡化為彈性基礎上的單層梁模型，利用應變能方法計算彈性基礎的剛度系數[6 – 7]。Lewis 和 Nechitailo 將內徑 與壁厚比在1.6左右的復合型電磁軌道發射身管簡化為彈性基礎上的Timoshenko梁[8]。Stonkus和Rackauskas等將一種螺栓預緊型電磁軌道發射身管簡化為彈性基礎上的單層梁模型[4]。Johnson和Moon為了解釋電磁發射過程中的轉捩現象，同樣采用彈性基礎上的單層梁模型計算軌道受電磁壓力下的應力波傳播特性以及軌道變形，但是模型并不符合實際工況[5]。何威將電磁軌道發射身管簡化為彈性基礎上的雙層梁模型，但是并未引入阻尼[9]。

圖 1 發射裝置模型圖Fig. 1 Electromagnetic launcher model

本文將一種螺栓預緊型電磁軌道發射身管簡化為Winkler彈性基礎上的雙層Euler-Bernoulli梁，考慮阻尼，建立雙層梁的振動微分方程，推導出齊次方程通解并得到在電磁軌道發射工況下導軌振動位移的解析解。建立模型在有限元軟件中仿真計算并分析電磁軌道發射身管動力學特性。

1 身管動力學雙層梁模型的建立

1.1 身管動力學模型簡化

本文建模分析的螺栓預緊型電磁軌道發射模型為上下對稱結構，截面如圖2所示。上下導軌之間和上下導軌與外封裝板之間由絕緣壓板分開，外封裝板由螺栓預緊。將電磁軌道發射身管簡化為彈性基礎上雙層簡支梁模型，導軌簡化為第1層梁，外封裝板為第2層梁，導軌與外封裝板之間絕緣壓板簡化為第1層彈性支撐，螺栓起到第2層彈性支撐的作用。身管動力學分析模型如圖3所示。

圖 2 身管截面Fig. 2 Cross section of electromagnetic launcher tube

圖 3 身管動力學分析模型Fig. 3 Structural analysis model of electromagnetic launcher tube

1.2 身管動力學微分方程的建立

彈性基礎上雙層Euler-Bernoulli梁的動力學微分方程為：

根據剛度定義，第1層Winkler彈性基礎的彈性常數為：

2 身管動力學雙層梁模型的理論求解

2.1 雙層梁動力學振動微分方程的求解

身管不受外加載荷情況下，式（2）和式（3）齊次方程形式為：

聯立式（7）和式（8）得到：

根據振動理論[9 – 10]，通解形式為：

另外，考慮振型函數正交性，身管不受外加載荷條件下雙層梁振動微分方程的解為：

2.2 身管動態響應

實際發射工況下，身管動態響應，即雙層梁模型受外加載荷情況下，聯立式（2）、式（13）、式（15）～式（18），對式（2）等號左右兩邊同時乘以并在上積分，并結合：

得到：

其中：

對于式（21），其解為：

于是，雙層梁模型振動方程的解，即導軌和外封裝板振動解析解為：

從圖4可以看出，導軌和外封裝板的撓度變形在整個時空分布情況基本一致，導軌和外封裝板主要向

圖 4 導軌和外封裝板撓度隨位置和時間的變化Fig. 4 Deflection of the rail and containment with time and location

3 身管動力學仿真分析

從身管振動角度來講，身管結構設計和材料選取主要考慮以下方面：1）導軌振動盡量小；2）導軌與外封裝板之間的相對位移要小。

由第2節可知電磁軌道發射時身管振動與身管各部分幾何尺寸以及材料性能都有關系。為了更加直觀地研究電磁軌道發射身管動力學特性，本文應用有限元分析軟件建立電磁軌道發射身管Winkler彈性基礎上的雙層Euler-Bernoulli梁模型，并進行動力學仿真分析。模型參數使用導軌尺寸為長3m，寬30 mm，高15 mm，材料為銅合金，密度 8 900 kg/m3，彈性模量120 GPa；上封裝板長 3 m，寬 160 mm，高 40 mm，材料為合金鋼，密度7850kg/m3，彈性模量210 GPa；絕緣壓板長 3 m，寬 160 mm，高 40 mm，材料為 GRP，彈性模量18 GPa[4]；預緊螺栓數量為80個，有效作用長度0.205 m，半徑9 mm，材料為合金鋼，彈性模量210 GPa。發射初始位置=0.2 m，發射距離 2.8 m，電樞移動速度設為1 000 m/s，導軌所受均布載荷=31.2 MPa，電樞對導軌等效集中載荷=400 kN，根據第1節和第2節分析，仿真計算結果如圖4～圖6所示。外側變形，向內彎曲無論是從幅度還是時間分布都相對較小，因此預緊螺栓必須有足夠的強度足以支撐和約束身管的外向變形。

圖 5 發射過程中身管撓度最大值Fig. 5 The maximum deflection of railgun during the launching process

從圖5（a）可以看出，隨著電樞的前進，導軌和外封裝板撓度變化趨勢基本一致，在初始階段撓度大小成直線增大趨勢，達到一定值后在接下來大部分時間撓度大小基本保持穩定，在發射后期撓度稍有波動并在最后時刻達到最大值。從圖5（b）可以看出，沿著導軌長度方向，導軌和外封裝板撓度大小先增大然后保持基本不變，最后在出口段撓度最大。在電磁軌道發射初始時刻，身管振動變形在短時間內迅速加大，在達到一定值后導軌和外封裝板撓度大小雖然保持基本不變，但是最大變形位置在隨著電樞位置的變化也在不斷變化；從時間上看，在發射出膛前導軌和外封裝板撓度存在一個不穩定狀態，撓度大小出現波動，并在出膛時刻達到最大值；從空間位置上看，在出口段導軌和外封裝板撓度存在不穩定狀態，撓度大小出現波動，在出口段撓度達到最大值。初步判斷身管振動不穩定狀態和最大撓度時間和空間的對應。

圖 6 為從發射開始后 0.10～2.60 ms間隔 0.50 ms分別截取此時導軌和外封裝板振動狀態。可以看出，發射初始階段，電樞運動距離較短，導軌間受電磁斥力作用區域較短身管的振動還不大。隨著電樞前進，撓度最大點也在向前推進，證實前文中對身管振動不穩定狀態和最大撓度的對應關系，即在發射出膛前一段時間在出口段撓度不穩定，在出膛時刻出口位置處撓度達到最大值。并且還可以知道，在整個發射過程任何時刻，導軌與外封裝板間隙的最大值位置發生在導軌和身管處于最大撓度處。圖6中電樞到達位置和該時刻導軌撓度最大位置如表1所示。

可以看出，最大撓度位置落后于電樞位置，這是身管受到集中載荷和分布載荷共同作用的結果。最大撓度位置落后電樞位置的距離隨著發射的進行慢慢拉大，這是由于在初始階段均布載荷作用區域較小，集中載荷對身管變形的作用較大，隨著發射的進行，均布載荷作用區域增加，集中載荷的影響相對減小。

圖7分別截取1.30 m和1.80 m導軌在整個發射過程中振動狀態，結合圖6分析可知電磁軌道發射過程中，受應力波的作用，在電樞還未行進到導軌距起始端位置處時，該位置處已經開始振動，并且振幅逐漸加大，在電樞離開該位置后，導軌該位置才達到最大撓度，之后振幅不斷衰減，導軌變形過程如圖8所示。

為了考察預緊螺栓對身管動力學特性的影響，改變螺栓半徑為4 mm，對比分析導軌與外封裝板間隙和導軌不同位置撓度最大值變化情況，結果如圖9所示。

圖 6 發射時間歷程中身管振動狀態Fig. 6 Vibration of railgun during the launching process

表 1 發射過程中電樞位置和最大撓度位置Tab. 1 Location of armature and maximum deflection during the launching process

圖 7 導軌距起始端 1.30 m 和 1.80 m 處振動狀態Fig. 7 Vibration of the rail at 1.30 m and 1.80 m location

圖 8 導軌變形過程Fig. 8 The deformation process of rail

可以看出，導軌與外封裝板間隙受預緊螺栓半徑影響較小，但是減小螺栓半徑，導軌撓度隨之增大。結合第1節和第2節內容分析可知：螺栓半徑的改變主要影響第2層彈性層等效剛度，螺栓半徑的減小等效剛度隨之減小。因此可以推論：增大第2層彈性層等效剛度，如增加預緊螺栓半徑和數量可以有效減小身管振動。

為了考察絕緣壓板和外封裝板對身管動力學特性的影響，分別改變絕緣壓板厚度為80 mm，外封裝板厚度為8 mm，對比分析導軌不同位置撓度最大值變化情況，結果如圖10所示。

圖 9 預緊螺栓對身管振動的影響Fig. 9 The influence of the bolt on the vibration of railgun

圖 10 絕緣壓板和外封裝板對身管振動的影響Fig. 10 The influence of the insulation clamping and containment on the vibration of railgun

可以看出，增加絕緣壓板厚度導軌撓度會隨之增大，而增加外封裝板厚度導軌撓度則隨之減小。結合第1節和第2節內容分析可知：絕緣壓板的改變主要影響第1層彈性基礎等效剛度，絕緣壓板厚度增加，第1層彈性層等效剛度減小，導軌撓度增大。外封裝板對身管振動的影響主要是靠影響下梁的慣性矩進而影響下梁抗彎剛度作用的，下梁抗彎剛度越大，身管振動越小，但是外封裝板厚度的增加會使得身管尺寸增加，預緊螺栓有效作用長度增加，進而減小第2層彈性基礎剛度。因此，在一定范圍內，綜合增加第1層彈性層等效剛度，提高外封裝板的抗彎剛度，如減小絕緣壓板厚度并選用高模量材料做絕緣壓板，增加外封裝板厚度并選用高模量材料做外封裝板能減小身管振動。

4 結 語

對螺栓預緊型電磁軌道發射身管建立了基于Winkler彈性基礎上的雙層Euler-Bernoulli梁模型，考慮實際工況，推導身管振動微分方程解析解。建立身管動力學有限元模型，仿真分析了發射過程中電磁軌道發射身管不同位置處變形隨時間的變化情況，并改變參數對比分析了不同電磁軌道發射身管結構參數和材料性能對身管動力學特性的影響。得到結論如下：

1）發射過程中導軌和外封裝板的撓度變形在整個時空分布情況基本一致，導軌和外封裝板主要向外側變形；

2）發射初始階段，電樞運動距離較短，身管振動隨著電樞前進迅速增大。隨著電樞前進，外加載荷作用區域增大，撓度最大點也在向前推進，最大變形值基本不變，在出口階段出現波動。任何一個時刻，導軌與外封裝板間隙的最大值位置發生在導軌處于最大撓度處；

3）集中載荷和分布載荷共同作用和應力波傳播的影響，對于導軌上任何位置處，在電樞行進到該位置處之前，導軌該位置處已經開始振動，振幅逐漸增大，并在電樞駛過該位置一段時間后，該位置振動才達到最大值，之后振動不斷衰減；

4）綜合增加第1層和第2層彈性層等效剛度，提高外封裝板的抗彎剛度，如減小絕緣壓板厚度并選用高模量材料做絕緣壓板，增加預緊螺栓半徑和數量，增加外封裝板厚度并選用高模量材料做外封裝板都可以有效減小電磁軌道發射身管振動。