相干信源DOA估計(jì)的一種改進(jìn)空間譜估計(jì)算法

任生凱，劉尚鈔，王開斌，周瑞青

(1.中國(guó)航天科工集團(tuán)二院二十五所,北京 100854；2.中國(guó)人民解放軍駐航天二院二八三廠軍事代表室，北京 100854)

0 引言

戰(zhàn)場(chǎng)上，反輻射導(dǎo)彈可以利用敵方雷達(dá)的電磁輻射信息進(jìn)行跟蹤導(dǎo)引，引導(dǎo)反輻射導(dǎo)彈飛行目標(biāo)，摧毀敵方雷達(dá)及其載體，因而在戰(zhàn)爭(zhēng)中具有重要地位。但是隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展，戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境日益復(fù)雜，受多徑反射、敵方設(shè)置的有源誘餌干擾等因素影響，戰(zhàn)場(chǎng)上同一時(shí)間、同一空域有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)相干信源，給反輻射導(dǎo)彈的目標(biāo)來波方向(DOA)估計(jì)、目標(biāo)跟蹤等能力帶來巨大挑戰(zhàn)。研究如何有效解決多個(gè)相干信源的DOA估計(jì)問題，對(duì)提高反輻射導(dǎo)彈抗干擾能力、提升作戰(zhàn)性能有重要意義。

為解決多個(gè)信源的DOA估計(jì)問題，從20世紀(jì)70年代末開始，超分辨空間譜估計(jì)在理論研究方面便出現(xiàn)大量成果，最有代表性的是Schmidt提出的多重信號(hào)分類(MUSIC)[1]算法以及Roy、Paulraj和Kailath提出的旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)[2-3]算法。人們對(duì)這些算法的深入研究促進(jìn)了子空間類算法的興起。子空間類算法真正意義上實(shí)現(xiàn)了角度的超分辨估計(jì)，極大提高了DOA估計(jì)精度。但是，當(dāng)面對(duì)相干信源時(shí)，絕大多數(shù)傳統(tǒng)子空間類算法的性能迅速下降，甚至完全失效。

在相干信源情況下，要正確估計(jì)出信號(hào)方向，關(guān)鍵是如何有效地恢復(fù)陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩。目前關(guān)于解相干的處理大致可分為2類：降維處理和非降維處理。降維處理算法主要包括空間平滑類算法[4]、矩陣重構(gòu)類算法[5-6]。降維類算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且解相干效果較好，但它們是以犧牲陣列的有效孔徑為代價(jià)，導(dǎo)致陣列可分辨的最大相干信源數(shù)目變少。非降維處理算法包括Toeplitz算法[7]、最大似然(ML)[8]估計(jì)和加權(quán)子空間擬合(WSF)[9]算法等。其中Toeplitz算法的估計(jì)性能較差，ML和WSF算法思想簡(jiǎn)單且估計(jì)性能優(yōu)越，但它們?cè)谇蠼膺^程中涉及到全局多維優(yōu)化問題，計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜。

本文針對(duì)反輻射導(dǎo)彈的典型應(yīng)用場(chǎng)景，對(duì)經(jīng)典MUSIC算法的陣列接收數(shù)據(jù)模型進(jìn)行了修正，提出一種改進(jìn)的空間譜估計(jì)算法——MUSIC-TM。在相干信源情況下，MUSIC-TM算法破壞了經(jīng)典MUSIC算法接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣各列之間的相關(guān)性，使其恢復(fù)為滿秩，因而具有在反輻射導(dǎo)彈典型應(yīng)用場(chǎng)景下解相干信源的能力，且計(jì)算復(fù)雜度無明顯增加。使用Matlab軟件對(duì)MUSIC-TM算法進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了該算法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性。

1 系統(tǒng)模型及經(jīng)典MUSIC算法

基于MUSIC-TM算法的測(cè)向系統(tǒng)組成框圖如圖1所示。系統(tǒng)由接收天線陣列、多通道接收機(jī)、模數(shù)變換模塊和內(nèi)置了MUSIC-TM測(cè)向算法的數(shù)字信號(hào)處理器組成。接收天線陣列接收到多個(gè)信源來波信號(hào)，將其送入多通道接收機(jī)。信號(hào)在接收機(jī)中經(jīng)過變頻、放大，再經(jīng)過模數(shù)變換模塊得到數(shù)字信號(hào)，送入數(shù)字信號(hào)處理器，經(jīng)過MUSIC-TM測(cè)向算法處理后，最終得到對(duì)來波方向(DOA)的估計(jì)。

圖1 系統(tǒng)組成框圖

1.1 相干信源模型

對(duì)于2個(gè)平穩(wěn)信號(hào)si(t)和sk(t)，定義它們的相關(guān)系數(shù)為：

(1)

由Schwartz不等式可知|ρik|≤1，因此，2個(gè)信號(hào)之間的相關(guān)性定義為：

1)當(dāng)ρik=0時(shí)，si(t)和sk(t)相互獨(dú)立；

2)當(dāng)0<|ρik|<1時(shí)，si(t)和sk(t)相關(guān)；

3)當(dāng)|ρik|=1時(shí)，si(t)和sk(t)相干。

因此，根據(jù)上面的定義可以得到，當(dāng)2個(gè)信號(hào)是相干信號(hào)時(shí)，它們滿足式(2)：

si(t)=wisk(t)

(2)

式中，wi為一個(gè)復(fù)常數(shù)。

1.2 陣列信號(hào)模型

大部分研究者對(duì)MUSIC算法的研究多以一維均勻線陣為模型，但在反輻射導(dǎo)彈實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，接收天線陣列安裝方式一般為平面陣而非線陣，同時(shí)，目標(biāo)信源可能的來波方向也分布在二維空間。因此，本文采用均勻環(huán)形陣列布局方式建立接收天線陣列模型，該陣列形式在國(guó)外反輻射導(dǎo)彈上較為常見。

考慮N個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)的窄帶相干信號(hào)入射到由M個(gè)陣元組成的某空間環(huán)形陣列上(假設(shè)陣元數(shù)等于通道數(shù))，其中各個(gè)信源來波方向分別為(φ1,θ1),(φ2,θ2),…,(φN,θN)，波長(zhǎng)為λ，φ為方位角，θ為俯仰角。

信號(hào)源是窄帶信號(hào)，因此信號(hào)可用如下形式表示：

(3)

式中，ui(t)是接收信號(hào)的幅度，ω0=2πf=2πc/λ是來波信號(hào)角頻率，φ0是來波信號(hào)的初相。

因?yàn)檎瓗盘?hào)源是遠(yuǎn)場(chǎng)的，且信號(hào)源與接收天線陣列間相對(duì)位置關(guān)系不隨時(shí)間變化，則有：

ui(t-τ)≈ui(t)

(4)

所以有式(5)成立：

si(t-τ)≈si(t)e-jω0τ,i=1,2,…,N

(5)

則可以得到第l個(gè)陣元的接收信號(hào)為：

(6)

式中，gli為第l個(gè)陣元對(duì)第i個(gè)信號(hào)的增益，τli為第i個(gè)信號(hào)到達(dá)第l個(gè)陣元時(shí)相對(duì)參考陣元的時(shí)延，nl(t)為第l個(gè)陣元在時(shí)刻t的噪聲。理想條件下，不考慮陣列中各陣元的各向異性、通道不一致、互耦等因素的影響，可以認(rèn)為式(6)中的增益gli相等，這里將gli歸一化為1。

將M個(gè)陣元在時(shí)刻t接收到的信號(hào)寫成一個(gè)列矢量，即：

(7)

τli僅與(φi,θi)有關(guān)，故式(7)可簡(jiǎn)寫為：

X(t)=A(φ,θ)S(t)+N(t)

(8)

又由于s1(t),s2(t),…,sN(t)為相干信號(hào)，故式(8)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如下的矢量形式：

X(t)=A(φ,θ)Ws1(t)+N(t)

(9)

式中，X(t)為M×1維的陣列數(shù)據(jù)矢量，N(t)為M×1維的陣列噪聲數(shù)據(jù)矢量，W為N×1維的復(fù)常數(shù)矢量，A(φ,θ)為M×N維的陣列流型矩陣(導(dǎo)向矢量矩陣)，即：

A(φ,θ)=[a1(φ,θ),a2(φ,θ),…,aN(φ,θ)]

(10)

式中，導(dǎo)向矢量ai(φ,θ)=[e-jω0τ1i,e-jω0τ2i,…,e-jω0τMi]H，i=1,2,…,N。

1.3 經(jīng)典MUSIC算法

經(jīng)典MUSIC算法的基本思想是將任意陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，從而得到與信號(hào)分量相對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間和與信號(hào)分量相正交的噪聲子空間，然后利用信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性來估計(jì)信號(hào)來波方向等參數(shù)。該算法基于子空間分解思想，算法的基礎(chǔ)是陣列采樣協(xié)方差矩陣的特征值分解，算法的目標(biāo)是計(jì)算空間角度譜。

陣列信號(hào)模型如式(7)所示，則陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣[1]為：

R=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]=

ARSAH+RN

(11)

式中，RS=E[SSH]為信號(hào)協(xié)方差矩陣，RN=E[NNH]為噪聲協(xié)方差矩陣。

對(duì)R進(jìn)行特征分解：

(12)

式中，US為大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量矩陣，稱為信號(hào)子空間；UN為小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量矩陣，稱為噪聲子空間。

理想條件下，信號(hào)子空間與噪聲子空間是正交的，那么信號(hào)子空間的導(dǎo)向矢量也與噪聲子空間正交，即：

aH(φ,θ)UN=0

(13)

經(jīng)典的MUSIC算法正是根據(jù)式(13)這個(gè)性質(zhì)提出的。但在具體應(yīng)用中，考慮到實(shí)際接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長(zhǎng)的，只能得到采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，即協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)：

(14)

(15)

所以，MUSIC算法的DOA估計(jì)公式為：

(16)

根據(jù)信號(hào)參數(shù)范圍進(jìn)行譜峰搜索，找出極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度就是信號(hào)入射方向，這就是理想情況下的經(jīng)典MUSIC算法。經(jīng)典MUSIC算法一般只適用于理想條件下，而對(duì)于相干多源信號(hào)，經(jīng)典MUSIC算法的理論基礎(chǔ)不再成立。

2 MUSIC-TM算法

但是，1.2小節(jié)在推導(dǎo)公式(8)時(shí)，無形中假設(shè)了在陣列數(shù)據(jù)采樣過程中，多個(gè)相干信源與接收天線陣列間相對(duì)位置關(guān)系不隨時(shí)間變化這一前提。然而，考慮到反輻射導(dǎo)彈的典型應(yīng)用場(chǎng)景，導(dǎo)彈在飛行過程中，每個(gè)信源到反輻射導(dǎo)彈接收天線陣列間的距離Li(i=1,2,…,N)都在時(shí)刻變化，且由于每個(gè)信源實(shí)際分布在空間不同位置上，故每個(gè)Li隨時(shí)間的變化率不完全同步。此時(shí)，公式(7)中的τli不再僅與(φi,θi)有關(guān)，還同時(shí)與時(shí)間t有關(guān)，據(jù)此公式(9)修正為：

X(t)=A(φ,θ,t)Ws1(t)+N(t)

(17)

式中，A(φ,θ,t)為修正后的陣列流型矩陣(導(dǎo)向矢量矩陣)，即：

A(φ,θ,t)=[a1(φ,θ,t),a2(φ,θ,t),…,aN(φ,θ,t)]

(18)

這種對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)模型進(jìn)行修正后的MUSIC算法即為MUSIC-TM算法。

需要注意的是，MUSIC-TM算法中T的取值不能過大，否則在一次快拍采樣過程中各個(gè)信源的來波方向?qū)l(fā)生明顯偏移，影響最終DOA估計(jì)的準(zhǔn)確性。

3 性能仿真分析

為了驗(yàn)證MUSIC-TM算法的有效性，采用Matlab進(jìn)行建模仿真。仿真場(chǎng)景中，假設(shè)反輻射導(dǎo)彈沿某一彈道向待打擊的目標(biāo)飛去，4個(gè)目標(biāo)信源分布在反輻射導(dǎo)彈飛行方向前下方的地面上，并呈近似菱形分布，示意圖如圖2所示。

圖2 仿真場(chǎng)景示意圖

3.1 經(jīng)典MUSIC算法仿真結(jié)果

在仿真中，令陣元數(shù)M=8，均勻環(huán)形陣列的直徑為d=λ，目標(biāo)信號(hào)源數(shù)N=4，C波段，噪聲為均值為0、方差為1的高斯白噪聲，信噪比20 dB，快拍數(shù)K=1000，采樣快拍持續(xù)時(shí)間T=5 ms。經(jīng)典MUSIC算法的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 經(jīng)典MUSIC算法譜峰搜索結(jié)果

圖3(a)為非相干信源下的譜峰搜索結(jié)果，圖3(b)為相干信源下的譜峰搜索結(jié)果。由圖3(a)可知，4個(gè)信源方向均呈現(xiàn)出較尖銳譜峰，說明經(jīng)典MUSIC算法對(duì)非相干多源有較好的DOA估計(jì)能力。由圖3(b)可知，當(dāng)4個(gè)信源是相干信源時(shí)，譜峰搜索結(jié)果未在4個(gè)目標(biāo)信源方向呈現(xiàn)出明顯譜峰，譜峰搜索結(jié)果失敗，說明經(jīng)典MUSIC算法對(duì)相干多源沒有DOA估計(jì)能力，這一結(jié)果與理論分析一致。

3.2 MUSIC-TM算法仿真結(jié)果

仿真參數(shù)設(shè)置與3.1小節(jié)中經(jīng)典MUSIC算法相同，MUSIC-TM算法的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 MUSIC-TM算法譜峰搜索結(jié)果

圖4(a)為非相干信源下的譜峰搜索結(jié)果，圖4(b)為相干信源下的譜峰搜索結(jié)果。與圖3(b)不同，當(dāng)4個(gè)目標(biāo)信源是相干信源時(shí)，在圖4(b)中MUSIC-TM算法的譜峰搜索結(jié)果仍然呈現(xiàn)出4個(gè)較尖銳的譜峰，說明MUSIC-TM算法在相干信源DOA估計(jì)方面的性能遠(yuǎn)優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法。

由圖4(a)可知，MUSIC-TM算法也同樣可以對(duì)非相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)，其性能與經(jīng)典MUSIC基本相同，符合理論分析的預(yù)期。

綜上所述，MUSIC-TM算法具備一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)束語

本文對(duì)經(jīng)典MUSIC算法的陣列接收數(shù)據(jù)模型進(jìn)行了修正，提出一種改進(jìn)的空間譜估計(jì)算法MUSIC-TM，并通過Matlab仿真對(duì)MUSIC-TM算法的解相干信源能力進(jìn)行了測(cè)試。仿真結(jié)果表明，在反輻射導(dǎo)彈典型應(yīng)用場(chǎng)景下，MUSIC-TM能夠克服經(jīng)典MUSIC算法無法對(duì)相干信源進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)向的缺陷，對(duì)相干信源具有較好的DOA估計(jì)能力，為反輻射導(dǎo)彈抗多徑干擾和相干有源干擾提供了一種有價(jià)值的方案。■