一個包含勾股數(shù)的三元變系數(shù)Euler函數(shù)方程的可解性

申江紅，高 麗，惠佳豪

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

對于任意的正整數(shù)n，Euler函數(shù)φ(n)定義為在序列1，2…n-1中與n互素的整數(shù)的個數(shù)[1]。Euler函數(shù)是數(shù)論中的一個重要的函數(shù)，Euler函數(shù)方程的可解性也是數(shù)論方向的重要研究領(lǐng)域之一，近期文獻[2-10]討論了k的不同取值下二元歐拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性的問題；文獻[11-13]分別討論了當k=3，4，5時，三元歐拉方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數(shù)解；對于文獻[14]，張四保討論了方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)的可解性。本文基于楊張媛[15]討論的三元變系數(shù)歐拉方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)

+3φ(c)的全部正整數(shù)解，討論了一個包含勾股數(shù)及完全數(shù)的三元變系數(shù)Euler函數(shù)方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14

(1)

的可解性，并給出了該方程的19組正整數(shù)解。

1 相關(guān)引理

引理1[8]若正整數(shù)n=p1r1,p2rk，其中p1,p2，…pk為素數(shù)，則歐拉函數(shù)

引理2[8]對于任意的正整數(shù)m與n，有

顯然，若(m,n)=1，則有

φ(mn)=φ(m)+φ(n)。

引理3[8]當n≥2時，有φ(n)

引理4 在Euler函數(shù)方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若φ(ab)≥k+l+1，則該方程無正整數(shù)解。

2 定理及其證明

定理方程(1)有解：(a，b，c)=(9，1，3)，(9，2，3)，(7，1，15)，(7，1，20)，(7，1，24)，(9，1，20)，(7，1，30)，(15，1，3)，(24，1，3)，(15，1，6)，(30，1，3)，(15，2，3)，(11，1，5)，(11，1，8)，(11，1，10)，(11，1，12)，(12，1，3)，(5，3，4)，(5，4，3)。

證明對于歐拉函數(shù)方程

由引理3，所以φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+

5φ(c)-14≥φ(a)φ(b)φ(c)，

(2)

即：φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)-14≥

(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥φ(a)φ(b)-5，

故有 (φ(a)-4)(φ(b)-3)≤3。

(3)

下面根據(jù)φ(a),φ(b)的不同的取值分4種情況進行討論。

情形一：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0時，則有φ(a)≥6,φ(b)=1,2或者φ(a)=1,2,φ(b)≥4。

1 當φ(a)≥6,φ(b)=1時，此時

φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-10≥φ(a)φ(b)，即：(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤5。

(4)

1.1 當φ(a)=6,φ(b)=1時，帶入(4)式得

φ(c)≤8，即φ(c)=1，2，4，6，8。

當φ(c)=1時，φ(abc)=13為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=18，abc=19，27，38，54。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=3，4，6，此時(1)式有解(a，b，c)=(9，1，3)，(9，2，3)。

當φ(c)=4時，φ(abc)=28，abc=29，58。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=5，8，10，12，此時(1)式無解。

當φ(c)=6時，φ(abc)=38(不存在)，此時(1)式無解。

當φ(c)=8時，φ(abc)=48，abc=104，105，112，130，140，144，156，168，180，210。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=15，16，20，24，30，經(jīng)檢驗此時(1)式有解：

(a，b，c)=(7，1，15)(7，1，20)，(7，1，24)，

(9，1，20)，(7，1，30)。

1.2 當φ(a)=8，φ(b)=1時，帶入(4)式得

φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

當φ(c)=1時，φ(abc)=19為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=24，abc=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，

由于a=15，16，20，24，30；b=1，2；c=3，4，6，此時(1)式有解(a，b，c)=(15，1，3)，(24，1，3)，(15，1，6)，(30，1，3)，(15，2，3)。

當φ(c)=4時，φ(abc)=34(不存在)，此時(1)式無解。

1.3 當φ(a)=10,φ(b)=1時，帶入(4)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1，2，4。

當φ(c)=1時，φ(abc)=25為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=30,abc=31，62，

由于a=11，22；b=1，2；c=3，5，6，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=4時，φ(abc)=40，abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，

由于a=11，22；b=1，2；c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時(1)式有解(a，b，c)=(11，1，5)，(11，1，8)，(11，1，10)，(11，1，12)。

1.4 當φ(a)≥12,φ(b)=1時，帶入(4)式得φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

當φ(c)=1時，φ(abc)=3φ(a)-5為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=3φ(a)≥2φ(a)，得

φ(a)≥0，與φ(a)≥12矛盾，此時(1)式無解。

2 當φ(a)≥6,φ(b)=2時，此時：

φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-6≥φ(a)φ(b)

(5)

2.1 當φ(a)=6,φ(b)=2時，帶入(5)式得

φ(c)≤12，即φ(c)=1，2，4，6，8，10，12。

當φ(c)=1時，φ(abc)=17為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=22，abc=23,46。

由于此時a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=4時，φ(abc)=32，abc=51，64，68，80，96，102，120。

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=6時，φ(abc)=42，abc=43，49，86，98。

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=7，9，1，4，18，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=8時，φ(abc)=52，abc=53，

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=15，16，20，24，30，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=10時，φ(abc)=62(不存在)，此時(1)式無解。

當φ(c)=12時，φ(abc)=72，

abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，

由于a=7,9,14,18；b=3，4，6；c=13，21，26，28，36，42，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

2.2 當φ(a)=8，φ(b)=2時，帶入(5)式得

φ(c)≤6，即φ(c)=1，2，4，6。

當φ(c)=1時，φ(abc)=23為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=28,abc=29,58。

由于a=15，16，20，24，30；b=3，4，6；c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

當φ(c)=4時，φ(abc)=38(不存在)，此時(1)式無解。

當φ(c)=6時，φ(abc)=48，abc=104，105，112，130，140，144，156，168，180，210。

由于a=15，16，20，24，30；b=3，4，6；c=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

2.3 當φ(a)=10,φ(b)=2時，帶入(5)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

當φ(c)=1時，φ(abc)=29為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=34(不存在)，此時(1)式無解。

當φ(c)=4時，φ(abc)=44，abc=69,92,138。

由于a=11，22；b=3，4，6；c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

2.4 當φ(a)=12,φ(b)=2時，帶入(5)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

當φ(c)=1時，φ(abc)=35為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=40，abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，

由于a=13，21，26，28，36，42；b=3，4，6；c=3，4，6，此時(1)式無解。

當φ(c)=4時，φ(abc)=50(不存在)，此時(1)式無解。

2.5 當φ(a)=14(不存在)，φ(b)=2時，此時(1)式無解。

2.6 當φ(a)≥16,φ(b)=2時，帶入(5)式得φ(c)≤2，即φ(c)=1，2。

當φ(c)=1時，φ(abc)=3φ(a)-1為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=3φ(a)+4≥4φ(a)，得φ(a)≤4與φ(a)≥16矛盾，此時(1)式無解。

3 當φ(a)=1,φ(b)≥4時，φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-11即φ(abc)為奇數(shù)，此時(1)式無解。

4 當φ(a)=2,φ(b)≥4時，此時φ(abc)=

3φ(a)+5φ(c)-8≥2φ(a)φ(b)

(6)

4.1 當φ(a)=2,φ(b)=4時，帶入(6)式得

φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

當φ(c)=1時，φ(abc)=13為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=18,abc=19，27，38，54。

由于a=3，4，6；b=5，8，10，12；c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時(1)式無解。

4.2 現(xiàn)令φ(b)=2n(n=3，4，5…)，有(4n-5)φ(c)≥8n-8，即：φ(c)≤2，得φ(c)=1,2。

此時：當φ(c)=1時，φ(abc)=4φ(b)-3為奇數(shù)，此時(1)式不成立。

當φ(c)=2時，φ(abc)=4φ(b)+2≥4φ(b)，即φ(b)取任意值不等式都成，與前提φ(b)≥4矛盾，故此處對φ(b)≥6的情況不再討論。

情形二：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0時，則有φ(a)任意取值，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4,

φ(b)任意取值。

1.當φ(a)=4,φ(b)任意取值，有

φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-14≥4φ(b)φ(c)。

1.1 當φ(c)=1時，φ(abc)=4φ(b)+3為奇數(shù)，此時(1)式無解。

1.2 當φ(c)=2時，φ(abc)=4φ(b)+8≥

8φ(b)，即：φ(b)≤2，得φ(b)=1,2，當φ(b)=1時，φ(abc)=12，abc=12，21，26，28，36，42，

由于a=5,8,10,12；b=1,2;c=3,4,6,此時(1)式有解(a，b，c)=(12，1，3)。

當φ(b)=2時，φ(abc)=16，abc=17，32，34，40，48，60，

由于a=5，8，10，12；b=3，4，6；c=3，4，6，此時(1)式有解：(a，b，c)=(5，3，4)，(5，4，3)。

1.3 現(xiàn)令φ(c)=2n(n=2，3，4…)，有

(4n-1)φ(c)≥5n-1，即：φ(c)<1(不存在)，

故此處對φ(c)≥4的情況不再討論。

情形三：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1時，則有φ(a)=5(不存在)，φ(b)=4，此時(1)式無解。

情形四：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2時，對2的所有因子進行討論：

1 當φ(a)-4=1，φ(b)-3=2，得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此時(1)式無解。

2 當φ(a)-4=2，φ(b)-3=1，得：φ(a)=6，φ(b)=4。

此時φ(abc)=20+5φ(c)≥24φ(c)，得φ(c)=1，則φ(abc)=25(不存在)，此時(1)式無解。

3 結(jié)論

Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一類極其重要的函數(shù)，有關(guān)此類方程的解的研究也是數(shù)論方向的活躍課題之一。本文給出了一個含勾股數(shù)及完全數(shù)的三元變系數(shù)Euler函數(shù)方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14的所有解。