兩個含Smarandache LCM函數的復合數論函數方程的可解性

張明麗，高 麗，申江紅

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

上世紀90年代，美國著名的數學家F.Smarandache[1]提出了許多新的數論問題，并定義了若干新的數論函數，對現代數論的發展產生了較大的影響。其中以F.Smarandache本人命名的Smarandache函數S(n)，以及在其基礎上衍生出的若干數論函數，如Smarandache LCM函數SL(n)，近年來受到國內外諸多學者的廣泛關注和深入研究。對于任意的正整數n，Euler函數φ(n)定義為在序列1，2，…，n-1中與n互素的整數的個數，Euler函數是數論中一個重要的積性函數。Smarandache函數S(n)表示為，對于任意的正整數n，S(n)=min{m∈Z:n|m!}。Smarandache LCM函數SL(n)表示為，對于任意的正整數n，若n=p1r1p2r2…pkrk，其中所列的p1，p2，…，pk均為素數且順序排列，則Smarandache LCM函數SL(n)=max{p1r1，p2r2，…，pkrk}。近年來，關于上述數論函數方程相互結合求解及性質的研究備受關注。張天平[2]研究了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2Ω(n)的奇數解；田呈亮[3]研究了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2Ω(n)的正整數解；多布杰[4]研究了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2t的可解性問題。

近期，王洋、張四保[5]研究了復合歐拉函數方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2的可解性問題，但求解過程較為繁瑣，故袁合才、王波等[6]對其求解方法加以簡化，研究了復合歐拉函數方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=4，6的可解性問題。張利霞、趙西卿等在文獻[7-8]中分別研究了數論方程S(SL(n))=φ(n)，

S(SL(n))=φ2(n)的可解性，郭夢媛、高麗等在文獻[9]研究了S(SL(n2))=φ2(n)的可解性。本文基于此，探究了含Smarandache LCM函數的復合數論函數方程φ(φ(n-S(SL(n))))=8，10的可解性問題。

1 相關引理

引理2[7]當n≥2時，有φ(n)

引理3[7]對于整數k和素數p，有S(Pk)≤kp；當且僅當k

證明由引理1—引理3易知，當滿足條件時，

l=n-S(SL(n))≥n-kp≥

則有l+1≤n≤2l,證畢。

2 主要結論及其證明

定理1 含Smarandache LCM函數的復合數論函數方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=8

(1)

的正整數解為n=34，51，50，30，44，55，72，77，42，49，45，52，54，56，65，64，81，91，90，98，100，62，93。

證明因為φ(φ(n-S(SL(n))))=8，所以

φ(n-S(SL(n)))=15，16，20，24，30。下面分5種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=15，由引理2可知式(1)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=16，則

n-S(SL(n))=17，32，34，40，48，60。

當n-S(SL(n))=17時，由引理4，此時18≤n≤34，將其逐一代入驗證，只有n=34滿足

n-S(SL(n))=17，即n=34為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=32時，由引理4，此時33≤n≤64，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

當n-S(SL(n))=34時，由引理4，此時35≤n≤68，將其逐一代入驗證，只有n=51滿足

n-S(SL(n))=34，即n=51為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=40時，由引理4，此時41≤n≤80，將其逐一代入驗證，只有n=50滿足

n-S(SL(n))=40，即n=50為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=48時，由引理4，此時49≤n≤96，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

當n-S(SL(n))=60時，由引理4，此時61≤n≤120，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

情形三：若φ(n-S(SL(n)))=20，則

n-S(SL(n))=25，33，44，50，66。

當n-S(SL(n))=25時，由引理4，此時26≤n≤50，將其逐一代入驗證，只有n=30滿足

n-S(SL(n))=25，即n=30為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=33時，由引理4，此時34≤n≤66，將其逐一代入驗證，只有n=44滿足

n-S(SL(n))=33，即n=44為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=44時，由引理4，此時45≤n≤88，將其逐一代入驗證，只有n=55滿足

n-S(SL(n))=44，即n=55為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=50時，由引理4，此時51≤n≤100，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

當n-S(SL(n))=66時，由引理4，此時67≤n≤132，將其逐一代入驗證，只有n=72，77滿足

n-S(SL(n))=66，即n=72，77為式(1)的解。

情形四：若φ(n-S(SL(n)))=24，則

n-S(SL(n))=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90。

當n-S(SL(n))=35時，由引理4，此時36≤n≤70，將其逐一代入驗證，只有n=42，49滿足

n-S(SL(n))=35，即n=42，49為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=39時，由引理4，此時40≤n≤78，將其逐一代入驗證，只有n=45，52滿足

n-S(SL(n))=39，即n=45，52為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=45時，由引理4，此時46≤n≤90，將其逐一代入驗證，只有n=54滿足

n-S(SL(n))=45，即n=54為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=52時，由引理4，此時53≤n≤104，將其逐一代入驗證，只有n=56，65滿足n-S(SL(n))=52，即n=56，65為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=56時，由引理4，此時57≤n≤112，將其逐一代入驗證，只有n=64滿足

n-S(SL(n))=56，即n=64為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=70時，由引理4，此時71≤n≤140，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

當n-S(SL(n))=72時，由引理4，此時73≤n≤144，將其逐一代入驗證，只有n=81滿足

n-S(SL(n))=72，即n=81為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=78時，由引理4，此時79≤n≤156，將其逐一代入驗證，只有n=91滿足

n-S(SL(n))=78，即n=91為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=84時，由引理4，此時85≤n≤168，將其逐一代入驗證，只有n=90，98滿足

n-S(SL(n))=84，即n=90，98為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=90時，由引理4，此時91≤n≤180，將其逐一代入驗證，只有n=100滿足

n-S(SL(n))=90，即n=100為式(1)的解。

情形五：若φ(n-S(SL(n)))=30，則

n-S(SL(n))=31，62。

當n-S(SL(n))=31時，由引理4，此時32≤n≤62，將其逐一代入驗證，只有n=62滿足

n-S(SL(n))=31，即n=62為式(1)的解。

當n-S(SL(n))=62時，由引理4，此時63≤n≤124，將其逐一代入驗證，只有n=93滿足

n-S(SL(n))=62，即n=93為式(1)的解。

定理2 含Smarandache LCM函數的復合數論函數方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=10

(2)

的正整數解為n=46，69。

證明因為φ(φ(n-S(SL(n))))=10，所以

φ(n-S(SL(n)))=11，22。下面分2種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=11，由引理2可知式(2)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=22，則

n-S(SL(n))=23，46。

當n-S(SL(n))=23時，由引理4，此時24≤n≤46，將其逐一代入驗證，只有n=46滿足

n-S(SL(n))=23，即n=46為式(2)的解。

當n-S(SL(n))=46時，由引理4，此時47≤n≤92，將其逐一代入驗證，只有n=69滿足

n-S(SL(n))=46，即n=69為式(2)的解。