雙參數n階α次積分C半群

趙丹丹，趙華新

(延安大學數學與計算機科學學院,陜西延安716000)

Banach空間中的線性算子半群理論是解決實際問題的重要工具，在泛函分析理論的各方面有著重要應用，許多學者對其做了進一步的研究[1,2]。劉曼、郭玲利[3]引入n次積分C半群的概念并研究其性質推導出一個表示定理；徐敏等[4]、黃翠[5]研究了雙參數C半群及其生成元與單參數C半群生成元的關系；張明翠、宋曉秋等人[6,7]在2014年給出單參數n階α次積分C半群的概念并討論其相關問題。本文在以上文獻研究的基礎上，將單參數n階α次積分C半群推廣到雙參數n階α次積分C半群，得到雙參數n階α次積分C半群的定義，并對其性質進行研究。

1 預備知識

在本文中，X為無限維的復Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數；D(A)為線性算子A的定義域，在全文中規定所有n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+),X)的n次積分，即

T=0當且僅當存在n>0使JnT(t)=0,t≥0。

2 雙參數n階α次積分C半群的定義

定義1 設n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射,{T(t,s)}s,t≥0?B(X)強連續，若存在算子A=(A1，A2)使(1)(2)(3)式成立，

(1)?x∈X,t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A)，

(2)CT(t,s)=T(0,s)T(t,0) ；

(3)?x∈D(A),t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A) ,

當α=0時，{T(t,s)}s,t≥0是雙參數n階C半群。

3 主要結論

定理1 設A=(A1，A2)是雙參數n階α次積分C半群{T(t,s)}s,t≥0的次生成元，則對任意x∈

D(A),有T(u,v)x∈D(A)且

AT(u,v)x=T(u,v)Ax,?u,v≥0。

證明由于{T(t,s)}s,t≥0強連續，故有：

JnT(t,s)AT(u,v)x=

T(u,v)JnT(t,s)y=JnT(u,v)T(t,s)y=

JnT(t,s)T(u,v)y=JnT(t,s)T(u,v)Ax。

又由y∈X的唯一性，有T(u,v)y∈X且唯一，則有T(u,v)x∈D(A)，且

AT(u,v)x=T(u,v)Ax,?u,υ>0。

綜上所述，定理得證。

(1)?x∈X,t≥0,JnT(t,0)∈D(A1)，

(2)?x∈X,s≥0,JnT(0,s)∈D(A2)，

證明由雙參數n階α次積分C半群滿足線性變換，

則有?x∈X,t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A)，

A1JnT(t,0)x+A2JnT(0,s)x。

則取s=0時有：

A1JnT(t,0)x+A2JnT(0,0)x。

又由雙參數n階α次積分C半群的定義

可知A2JnT(0,0)=0。故有

?x∈X,t≥0,JnT(t,0)∈D(A1)。

同理可證當t=0時有：

?x∈X,s≥0,JnT(0,s)∈D(A2)。

綜上所述，定理得證。

定義2[6]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界的，如果存在M≥0，ω∈R使‖T(t)‖≤Meωt,?t≥0成立。

定理3 設{T(t,s)}s,t≥0是雙參數n階α次積分C半群，則存在M≥0，ω≥0使得

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)。

證明由定義2單參數n階α次積分C半群的指數有界性可得：

?M1≥1，ω1≥0,使得‖T(t,0)‖≤M1eω1t。

同理?M2≥1，ω2≥0,使得

‖T(0,s)‖≤M2eω2s。

又由雙參數n階α次積分C半群的定義中的(2)式CT(t,s)=T(0,s)T(t,0)可得

‖CT(s,t)‖=‖T(t,0)T(0,s)‖，

‖T(t,s)‖=‖C-1T(t,0)T(0,s)‖≤

‖C-1‖‖T(t,0)T(0,s)‖≤

‖C-1‖‖T(t,0)‖·‖T(0,s)‖≤

‖C-1‖M1eω1t·M2eω2s。

令ω=max{ω1,ω2}≥0且M=M1·M2≥0，

有‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)。

綜上所述，定理得證。