有界域上含線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程解的拉回漸近性

王小霞，高 聰，任 交，李 哲

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

自從 2005年Roh J發表了《Dynamics of th g-Navier-Stokes equations》后，十多年來，有關g-Navier-Stokes方程的研究成果越來越多(文[1-6])。如Kewk M和Kwean H等研究了二維g-Navier-Stokes方程的吸引子維數；Jiang 和Hou等人研究了全空間上二維g-Navier-Stokes方程的整體吸引子存在性；Delin Wu等研究了二維g-Navier-Stokes方程指數吸引子的存在性問題。本文在此基礎上，研究了含線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程的解的拉回漸近性問題。

含線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程的一般形式如下：

在Ω×(0,)；

(1)

u(x,t)=0,在?Ω；

u(x,0)=u0(x)，在?Ω。

這里u(x,t)∈R2和p(x,t)∈R表示速度和壓力，f(x,t)是和時間有關的外力項，α代表線性阻尼，αu是與速度場平行的阻尼項，0

方程(1)等價于下面方程

(2)

u(0)=0,這里Ag:Vg→Vg是g-Stokes算子。

1 相關定義

定義1[7]設X是一個度量空間，若X中的集族{U(t,τ):X→X}(-<τ≤t<+)滿足下列條件：

(1)U(τ,τ)x=x，τ∈R,?x∈X;

(2)U(t,τ)=U(t,s)U(s,τ),?τ≤s≤t,τ∈R。

則稱集族{U(t,τ)}是X中的一個過程。

(1)P(∪τ<τ0U(t,τ)D(τ))在X中有界；

(2)‖(I-P)(∪τ<τ0U(t,τ)D(τ))‖<ε，這里P:X→X1是一個有界投影。

2 主要結果

定理1[7]設X是一個巴拿赫空間，U(t,τ)是X上的一個強弱連續過程，如果滿足下列條件：

(2)U(t,τ)滿足拉回條件(C)。

另設u(x,t)∈L

C(R+,Hg),(?t>0)是方程的弱解，則

?t∈T,設σ=υλ1,有

證明設方程的解是u(x,t)，因為

〈f-vAgu-αu-Bu-vRu,u〉=

〈f,u〉-v‖u‖2-α|u|2-

令σ=vλ1，由Gronwall引理

|u(t)|2≤|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

若方程的強解為：

u(x,t)∈L

則?t≥τ，可得下列結論成立：

‖u(t)‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

證明首先用-Δu(t)乘以方程兩邊可得：

α(u,-Δu)-(Bu,-Δu)-v(Ru,-Δu)。

根據Young′s不等式知：

2〈f,-Δu〉-2α(u,-Δu)-2(Bu,-Δu)-

2v(Ru,-Δu) ≤|f|2+|Δu|2+α|u|2+

α|Δu|2+2|(Bu,-Δu)|+

2v|(Ru,-Δu)|≤|f|2+|Δu|2+

2v|Ru‖Δu|。

由Poincare不等式得：

|f|2。

由Gronwall′s引理可得：

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

引理3[4]設Hg是Hilbert空間，其一組正交基為{Wi}i∈N。

其中Pm:Hg→span(w1,…,wn)為正交投影。

證明因為-Δ-1是Hg中的連續的緊算子，由譜算子定理，必存在一個序列{λj}j=1,0≤λ1≤λ2≤…≤λi≤…≤λj→0,當j→。

設Vm=span{w1,w2,…,wn}?Vg，

正交投影Pm：Vg-Vm，

?u∈D(-Δ),令

u=Pmu+(1-Pm)u=u1+u2。

在Hg中取-Δu2，與方程(2)兩邊做內積

(B(u),-Δu2)+v(Ru,-Δu2)=(f,-Δu2)。

利用Young′s不等式

|B(u),-Δu2|≤|(B(u1,u1+u2),-Δu2)|

+|(B(u2,u1+u2),-Δu2)|≤

其中

|(Ru-Δu2)| ≤|Ru|·|Δu2|≤

2(B(u),-Δu2)-2v(Ru,-Δu2)-

利用Gronwall引理，可得：

‖u2‖2≤‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))+

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))+

由引理3，?ε>0,當取m+1充分大時，

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))≤

故有‖u2(t)‖2≤ε，?t≥t2。

則Vg中的過程族{U(t,τ)}滿足拉回條件(C)，故定理2成立。