由湖盆摩阻效應激發的地震涌浪的理論計算

田 林 桃

(西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031)

在強震作用下，湖盆底部和邊壁會產生強烈的震動，使水體產生劇烈的運動從而產生涌浪。目前對地震涌浪的研究，多采用理想化水庫模型，并不考慮庫底由于不平整和植被卵石等因素的存在而具有的糙率，并且將水體也視為理想流體而不考慮粘滯力。佐藤清一[1](1967)在半無窮水體的基礎上忽略水體的粘滯力與底部不平整度建立模型，以長波理論簡化N-S方程建立控制方程并在將地震波簡化為正弦波的基礎上得到了波高的解析解。

但自然界中的寬淺水體，如冰磧堰塞湖[2]等(楊瑞敏，2012)往往具有水深較淺、邊壁不明顯、底部極不平整等特征，因而湖盆底部往往具有較大的糙率。并且大部分水體接觸的是湖盆底部，我們認為地震導致的涌浪能量主要來自于湖盆底部的振動。根據我們已開展的大型振動臺水箱模型實驗，發現在地震作用下糙率會放大涌浪高度，傳統的計算方法無法解釋這一現象。

綜上所述，湖盆底部所存在的糙率對地震涌浪的作用是不可忽略的。本文基于大型振動臺造波模型試驗進行了以下研究，并以冰湖為實際案例進行了涌浪高度計算。

1 振動臺實驗

1.1 實驗模型參數

本文選取川藏鐵路公路沿線冰湖中具代表性的多依弄巴終磧湖[3]，按照幾何相似與弗勞德相似準則確定實驗模型參數，主要物理相似關系見表1。

表1 冰湖原型及實驗模型數據

1.2 實驗方法

本文利用大型振動臺進行造波模擬實驗，實驗裝置如圖1所示，為模擬湖盆底部存在群潛壩時的工況，我們將2 cm×2 cm×1.75 m的木條作為潛壩以壩間距為37.5 cm的形式均布在水箱底部，布置方式可見圖2。實驗共設置7組初始水深，每組水深包括4個不同的地震峰值加速度，實驗使用2008年“5·12”汶川8.0級地震時臥龍站記錄的南北向的地震波作為振動臺輸入信號，水箱安裝在振動臺上，振動臺對水箱的晃動過程相當于地震對水體的作用過程。

實驗先以不同峰值加速度的汶川波作為驅動信號，獲取不同初始水深下水箱底部加糙的實驗數據。同時，為校驗本文理論推導公式的正確性，在水箱底部光滑的情況下重復上述實驗并記錄結果。

2 涌浪公式

2.1 模型假設

在進行公式推導之前，首先結合前文內容對地震涌浪模型提出4個基本假設：

1)由于地震涌浪時程曲線波形與地震波的良好跟隨性以及水體能量來源于水箱底部和邊壁做功，本文假設在地震波作用期間水箱對水體做正功；本文討論由底部摩阻效應引起的地震涌浪，故假設水體能量全部由摩阻切應力做功得到。

2)在實際的狀態中，湖盆底部任意位置的切應力應與該處流速正相關，本文在此假設湖盆底部任意位置摩阻切應力大小相等即等值均布與整個湖盆面，拖曳力大小等于摩阻切應力與湖盆面積的乘積，以此簡化湖盆對水體的作用力計算。

3)在地震作用期間，水體運動滿足水波理論中的長波模型，即水體能量、流速等均可以使用水波動力學中的波動方程求解。

4)在計算摩阻切應力公式中，分子項為兩個截面流速差，本文將摩阻流速取值為地震湖盆運動最大速度(地震動峰值速度)與同向水體最大速度的差值。

2.2 控制方程

水波理論中水體運動的波動形式為：

η=acos?(x-ct)

(1)

μ=bcos?(x-ct)

(2)

其中，μ為水體水平方向速度；η為水體豎直方向位移。

長波理論中的連續性條件為：

μxh=ηt

(3)

將上訴波動形式代入偏微分方程中得到：

-bh?=a?c

(4)

化簡之后得到此時的μ的形式為：

(5)

其中，h為靜水深；c為波速；a為最大波高。

湖盆底部的摩阻切應力可以表示為：

(6)

(7)

其中，n為糙率；h為水深。

根據水波理論單波長的能量可以確定水體總能量為：

(8)

其中，E為水體總能量；a為地震涌浪最大高度；λ為波長；L為湖盆長度。

根據振動臺目標位移波我們可以近似計算振動臺在地震發生到涌浪高度達到最大時的路程。于是由能量守恒定理可以得到能量控制方程為：

(9)

其中，τb為摩阻切應力；A為湖盆面積；S為地震發生至涌浪高度達到最大時湖盆的行進路程。

(10)

(11)

其中,U為摩阻流速;f為地震波主頻;c為波速;G為地震峰值加速度。

將所有參數代入控制方程以后可以得到能量守恒方程為：

(12)

對建立的控制方程進行求解，方程為關于一個未知自變量a的一元二次方程，其解為:

(13)

其中，a為底部摩阻效應引起的地震涌浪；G為地震動峰值加速度；f為地震波主頻；L為湖盆長度；A為湖盆面積；S為地震作用中湖盆活動總路程；c為波速。

對于方程中湖盆活動總路程S的計算方法，我們采用seed有效循環次數法[4]的簡化地震波的方式，取對應地震位移波峰值的65%作為等值幅值，循環次數取20周，于是S計算公式為：

(14)

本文首先通過4個基本假設對底部摩阻效應激發地震涌浪的計算模型進行簡化，將水體能量簡化為湖盆摩阻切應力做正功，水體滿足水波理論而用代入水波理論能量求解公式，兩邊建立等式關系，從而繞過了復雜的N-S方程求解，獲得了地震涌浪最大浪高的理論公式。

2.3 公式驗證

已知地震涌浪控制因素主要為邊壁和底部摩阻效應，為了去除邊壁對地震涌浪的作用，我們事先進行了底部平整即光滑底部的實驗，所得數據可以視為是純邊壁作用下的地震涌浪最大高度hw，而布置潛壩的實驗所得數據可以視為邊壁和底部復合作用下的地震涌浪最大高度hf，于是由于底部摩阻效應產生的地震涌浪高度為：

h=hf-hw

(15)

其中，h為純底部引起的地震最大涌浪高度；hw為純邊壁作用下的地震涌浪最大高度；hf為復合作用下的地震涌浪最大高度。

將對應的實驗數據代入公式后得到純底部引起的地震最大涌浪高度的實驗數據，用實驗數據對公式計算值進行驗證，公式計算值與實驗數據比對結果見圖3～圖6。

3 實例分析

藏東南帕隆藏布的支流米堆溝上游終磧湖光謝錯[5]的潰決臨界水深為Hb=0.84 m,考慮冰湖發生地震時地震波為汶川地震波，冰湖平均水深為10.4 m，平均寬為400 m，湖長為680 m。根據米堆冰湖的地形圖知冰湖有明顯的壩面，所以涌浪高度的計算并不能忽略邊壁效應，邊壁作用的涌浪高度可由佐藤清一的計算公式求得，最終預測涌浪高度為:

hf=hw+h

(16)

其中，hf為復合作用下的地震涌浪高度;hw為佐藤清一公式計算值;h為湖盆摩阻效應單獨作用地震涌浪浪高。

通過利用公式進行計算，我們可以發現當地震波主頻為1.55 Hz，地震峰值加速度為0.5g時復合作用地震涌浪最大浪高剛好超過潰決臨界水深了，而地震涌浪最大浪高大小與地震波主頻、地震峰值加速度成正比，故當地震波主頻大于1.55 Hz的地震波作用下的地震涌浪最大浪高沒有超過潰決臨界水深。

4 結語

1)地震涌浪時程曲線與地震波波形有良好的跟隨性，兩者波形基本保持一致，而地震涌浪所需要的能量來源于地震作用下水箱運動對水體所做的功，靜水深越大，邊壁做功獲得的能量越多，底部面積、糙率越大，湖盆底部做功獲得能量越多。而涌浪時程曲線與地震波一致性可以說明水箱對水體更多做正功。

2)通過對實際案例的分析，地震涌浪的最大涌浪高度與地震波主頻、地震峰值加速度成正比，結合已有的潰決臨界水深的計算方法，可以判別冰湖可能出現潰決的地震波主頻范圍，以及地震波峰值加速度大小，從而為川藏鐵路公路沿線的冰磧堰塞湖災害治理、防護提供計算依據。