提煉解題模型，突破函數綜合

王玉荷

[摘? 要] 以拋物線為載體的函數綜合題是中考的常考題型，該類問題具有曲線繁多、形式多樣、綜合性強的特點，求解時需要借助一定的數學模型及方法. 文章以一道中考題為例進行分步探究，并開展解后反思，提出相應的教學建議，與讀者交流學習.

[關鍵詞] 幾何問題;函數綜合;解題教學;解題策略

第三步，化動為靜多解模型構建，公式巧用函數值域分析

最后一步是分析一般情形下的面積最值，P，D，Q三點均為動點，坐標不確定，僅已知三者之間的坐標關系，研究△DPQ面積的最大值，可以從三者之間的坐標關系入手. 具體求解有以下兩種方法：

2. 于涵定理，三角模型求解

S的形狀會隨著三動點的變化而變化，由于直尺的寬度關系，使得點之間的橫坐標又存在一定的聯系，因此可以利用于涵定理構建關于三點之間的面積，設x-x=a，x-x=b，則a+b=x- x=4，而S=2ab=[（a+b）2-（a-b）2]=8-（a-b）2≤8，當且僅當a=b時，S取得最大值8.

解后反思

1. 求解的關鍵點

第（2）（3）問的求解相對較為復雜，但兩者之間存在一定的聯系，基本都是基于動態三角形構建的面積模型. 第二步研究特定情形下的面積最值，解題的關鍵有兩點：一是如何構建一般三角形的面積模型，二是如何引入動點參數，建立關于幾何面積的函數關系. 上述第二步的求解采用的是面積割補法，利用特殊三角形的組合來構建，然后利用面積公式建立起動點參數與幾何線段之間的聯系，從而將幾何問題轉化為較為直接的函數問題，利用函數的取值模型來完成面積的最值分析. 第三步則是研究一般情形下的最值問題，除了需要構建面積模型，聯系動點參數外，最為關鍵的一點是如何將動態三角形量化. 上述解題過程采用了兩種解法，一種是直接設定動態參數，分析兩變量之間的關系;另一種是利用于涵定理關于動態三角形的面積模型，借助動態坐標參數來完成.

2. 問題的研究模型

本題目的第（2）（3）問為根據拋物線的表達式求解幾何面積的最值問題，解題過程中使用到了最為常用的數學模型，即將一般三角形分割為具有公共底的特殊三角形，然后結合數學的模型思想，利用幾何面積公式、頂點坐標建立起三角形面積關于坐標參數的函數，然后通過研究函數的值域來求解，這是函數面積求解的常用模型. 巧解面積模型，構造參數方程，是求解該類問題十分有效的策略.

3. 關于問題的變式

含參綜合題是初中數學較為典型的問題，問題類型也都大同小異，具有較為通用的解題思路，對問題進行合理的變式，可以探究問題的通性通法.

變式1：當P的橫坐標為-，且△DPQ是以頂點P為直角的直角三角形時，試求△DPQ的面積.

解題思路：求解過程必須強化對∠P=90°的理解，其指向除了DP⊥PQ，在函數方面的體現為DP所在直線與PQ所在直線斜率的乘積為-1，即k·k= -1，求解可先設出點D的坐標，然后分別求出兩條直線的斜率，進而確定點D的坐標，然后利用上述提煉的三角形面積模型，即可完成求解.

變式2：P的橫坐標為-，試求當△DPQ面積取得最大值時，的值.

解題思路：該問題實際上就是求△DPQ面積最大時點D的坐標，問題本質與第二步相同，同樣需要構建關于動點參數的面積模型. 通過研究函數方程來確定參數的取值，即點D的坐標，最后再利用兩點之間的距離公式來求解.

教學建議

1. 注重引導學習，挖掘問題本質

對于解題教學，最為關鍵的一點是引導學生發掘問題的隱含信息，把握問題的本質內容. 如上述考題給出的直尺的寬度，其隱含信息是兩點之間的橫坐標差值，而點位于曲線上，表達的含義是點的坐標滿足曲線的方程，即可以用一個坐標參數來表示點的位置. 對于問題所涉及的內容，要逐步引導學生建立問題與條件之間的聯系. 對于函數綜合題，需要引導學生認識到幾何問題與點坐標之間的聯系，如求幾何線段、面積，實際上就是求點的坐標，需建立線段與點坐標參數的關系. 在引導的過程中可以適時展開追問，引導學生進行深層思考，把握解題關鍵點，做到“解題明理”.

2. 充分參與思考，促成方法形成

有效的解題訓練應該確保學生充分參與，進行思想的交流與碰撞，在思考求解的過程中促成解題方法的形成. 需要注意的是方法的形成并不完全是教師所指導的解法，而是學生自我內化吸收所形成的適合自己的技巧方法. 這個過程中需要教師充分調動學生的積極性，讓其充分思考問題，各抒己見. 交流的過程中教師也可以準確把握學生理解的誤區，考慮到學生學習的難點，從而做出針對性的調整. 同時在交流中學生也可以汲取他人思維上的閃光點，加入自己的理解，形成自己的觀點，自然而然地完成自我解題體系的構建.

3. 強化變式學習，明一理通類題

解題教學最為重要的一環是基于問題特點、解法開展的變式教學，該環節是由解題向明理過渡的重要過程. 對考題的變式探究，不僅僅是表面上對問題形式的改變，而是基于問題的研究模型、解題的思想方法、思路的構建策略來完成的深度探究. 該環節需要教師合理把握變式尺度，既不能超綱偏向，也不能變式過微失去教學意義，而應是基于學生已有知識經驗和解題能力的階段性拓展. 以一些常見的考題類型為參考來開展的變式，在變式環節需要向學生闡明變式的意圖，以及破題的基本思路，使學生在基本的思維框架下完成開放問題的解答，這樣的解題教學才能充分利用考題的價值，拓寬學生的解題思維.

結束語

數學的諸多問題具有一定的關聯性，問題的研究模型、解題的基本思路存在一定的共性，充分利用這些通性通法，形成合理的解題策略，往往可以取得較好的解題效果. 在解題教學中，教師需要適時引導、合理變式，使學生認識問題的本質，充分思考內涵，掌握基本方法，形成解題策略，實現“通一題，通類題;明一例，明數理”的解題目標.