探索根源之道 滋潤理性之思
——以 “分數乘法”為例談算理與算法處理

王國宏

（浙江省杭州市蕭山區江寺小學，浙江 杭州 311201）

新課程標準指出：教學時，應通過解決實際問題進一步培養學生的數感，增進對運算意義的理解。計算教學的目的并不是讓學生操練某些習題得到正確的答案，形成某些運算技能，而是讓學生在遇到一些數學實際問題，能提出解決問題的方案，當需要計算時，因為對運算意義的充分理解，才能選擇合適的算法，并能在算理和算法的提煉歸納中，發展學生的認知能力和思維能力，感悟數學思想方法。

算理是指“為什么要這樣計算”的道理，算法就是“怎樣來計算”的方法和程序。算理與算法是相輔相成的。然而有很多情況下，學生只知算法而不明算理，甚至有很多情況下，學生通過培訓班或者提前學習后，已經懂得算法，并能簡單計算，卻不太清楚算理。以《分數乘法的教學》為例，筆者在教學之前抽取本校六年級六（1）和六（2）班78人做了前測，前測共3道題，①計算②寫法則③說說為什么這么算，并對數據進行了整理和分析。

表一：《分數乘法計算法則》前測

表中的數據，關于計算，因為比較簡單，因為教材早已下發的原因，學生稍微看書預習一下，也能寫出答案，所以新課還沒學，很多學生已經會計算了，而且相當一部分學生能寫出分數乘法法則的基本內容，而第三個問題“你為什么這么算的依據”，有65%的學生答了“因為簡單、方便”，有30%的學生答“規定要這么算的”“規定要這么算的”，只有3位學生用圖示畫了自己這樣做的根據。

基于前測，我們發現，孩子們已經對算法大致了解，但對算理極其不清，而且學生自我感覺，能對算法法則進行簡單模仿，機械套用就自認為已經學會了。

一、教學前，對算理分析思考

（一）思考一，為什么學生不重視算理？

對學生而言，初學某個領域的計算，最想知道的是“怎么算”，因為“會算”就意味著就能做對習題、熟練了就能應對考試。因為考試基本上不會考算理，“算理”是個什么東西？平時用不上，所以不重視。同時就成年人而言，某一個領域的計算，當他已經會算了，形成技能了，他還會、還有必要記得“為什么這么算”的算理嗎？無需。生活中，常用的是技能而不是算理。所以很多學生學習算法知識技能層面較多，而對思維的方式的正確性，計算中的推導等能力不太重視。

（二）思考二：學生會算了“還要去明晰算理嗎”

基于前測，當93%的學生能算出得數，我們“還要去明晰算理嗎”？我們思考，學生“會”了什么？如果僅是會算就是“會”了，那么現代社會“計算器”“計算機”又快又熟練，何苦為難孩子？很顯然，我們并不要把孩子操練成“計算器”。很顯然，計算教學是一個載體，通過計算教學，讓學生經歷“為什么是這樣算”的發現過程，理解“計算方法”源自哪里？這期間所需要的觀察、比較、推理、判斷、概括、歸納等能力的培養是不言而喻的，所積累的數學活動經驗和數學思想方法對孩子發現問題解決問題的能力提升，有了厚積薄發的過程。簡單記憶“分數乘分數”計算法則進行操練，與建構在“理解算理基礎上的計算方法歸納”，其潛能和思考能力發展是兩個完全不同的層次，探索根源之道，才能滋養理性之思。

二、如何引導學生探究“算法”背后的“算理”？

（一）任務驅動，證明猜測，激勵學生探求算法依據

當接觸一種新的計算法則時，學生已經能簡單計算，就要驅動學生思考，利用原有知識儲備，思考為什么可以這樣算。所以課伊始，安排分數單位相乘的計算。

基于前測，站在學生的學習起點上，當學生得出計算結果時，教師并不作對錯判斷，而是讓孩子想辦法證明自己的想法是對的，重心已經從算法轉移到算理。

孩子們其實不習慣于表達算理，回答“為什么這樣算”是對的，有學生就說“我們培訓班老師說過”，有學生說“書上就是這么寫的，我看到過的”來回答。老師告知學生“培訓班老師說的”，“書上說寫的”，都說明古人通過很多次探究在積累，難道我們不會探究嗎？說明自己的想法，有根有據地讓別人認同你的想法是非常了不起的能力。不唯書、不唯師，是獨立思考能力和科學精神的重要表征。

“證明”這一任務的驅動，逼使孩子們由單純追求計算結果，轉移到證明“為什么這么算”，由算法到算理，實際是一個理性思考，需要孩子們去追本溯源，去思考各表示什么意義，小組分享與交流，又利于引發學生多角度發現，算理可以用圖、文字、算式等不同的方式進行表述，把思維過程外顯，其實是理性思維培養的樣式。在思考活動后，學生需把智慧外顯，用圖、文、算式等不同的方式表達出來。用“證明自己的想法與算法，并向他人分享”這樣的核心問題驅動課堂，既促進學生開展深入的思考，又提升學生有理有據地進行表達的能力，同時也能讓算理在獨立思考的基礎上更多樣化的表征。

（二）辨析溝通，多樣化表征，讓學生明確算法依托

研究證明，單純的行為參與方式并不能促進學生高層次能力的發展，只有以積極的情感體驗和深層次的思考為核心的學習方式，才能促進學生的主體發展。學生探究并解釋的過程，首先是獨立思考，由于有了積極的情感體驗和深層次的思考，在小組交流時，學生已經不滿足與簡單的參與，而是重點在“讓同學明白我這樣的算法是有根據的”，“教懂別人”，已經是更高層次的學習方式了。所以經過小組交流“求同存異”形成觀點，在班級匯報的受一共出現好多方法：

1.意義入手，數形結合，圖式化詮釋算理

已有認知基礎是現實起點，當遇到分數乘分數的算法根據時，學生不知道，自然而然地用“分數的意義”來解釋，這說明學生能根據已有的知識經驗來解決新的問題，這是認識世界的重要手段，而分數的意義，學生是能夠用圖來表征的，但是當學生能把自己的思考過程用圖畫“外顯”，這是極好的一種方法。

下面圖1，2，3，4是教學實踐中，學生對乘法結果的解釋與證明：

圖：1用線段圖表示

圖2：用長方形圖表示

圖3：用5個圓為整體1表示

圖4：用面積圖表示

上圖所示的這四種表示方法，孩子們是這么表述的

生甲：我們小組中有同學把一條線段看做單位1，平均分成5段，每一段就是，再×，就是再一半，這時候，這個小段，相當于原來的線段的我們認為是對的。

生乙：圖2中的實線是把長方形平均分成了5個長條，虛線是把每個長條又平均分成了2份，這樣一共分成了10個小長條，1個長條就是我們認為也是對的。

生?。何覀兊淖龇ㄆ鋵嵏鷪D2的道理是一致的，都是把長方形先豎著分成5份，找到，再橫著分成2份，找到涂上顏色，這涂上顏色的部分就是

以上4種作圖，通過表述和交流，學生們突然發現，都是先畫個圖表示單位1，再分一分，找到再分一分，找到，最后都是把單位“1”平均分成10份，產生了新的分數單位，而新分數單位的個數都是1。這幾種方法本質是一樣的，只是單位“1”樣式不同而已。

這些圖形表征，這些語言表述，讓學生在頭腦中對分數單位乘法進行了豐富的表象，讓算法有了算理的支撐，在求同存異的交流中，更懂得怎么去探求新知識的方法。

建構主義理論家皮亞杰說過：兒童的思維是從動作開始。因而，要促使學生思維發展，不能切斷動作與思維聯系。 “畫一畫、涂一涂、量一量、實物演示”等動手實踐方式，能讓學生獲得最直接的體驗，建構豐富的感性認識，從而理解算理，形成算法。

2.多元互化，融會貫通，讓算法有更多支撐

當到達小學六年級學習分數的計算時，學生已經積累了整數乘法、小數乘法、分數意義等知識和學習經驗，分數乘法的算理可以在分數與除法的關系中推理所得，也可以根據分數小數互化推理，得到解釋和證明，從而使分數乘法的算理建構融會貫通。如下圖所示：

以上兩類推理方法均運用了“轉化”的思想方法，當學生發現，要證明分數乘法的推理是有根據的，還能通過原來學過的小數乘法、分數與除法的關系進行“轉化”，其實是打開了一片的新的思維天地，方法①和②，都可以看做分數的意義的算式表述過程，而方法③把分數轉化成小數再計算，當然可以證明自己的思考的正確性。

通過多元互化，融會貫通，在辨析與溝通中，學生在“同”與“不同”中越來越明晰、理解算理。

3.抽象概括，歸納梳理，從算理中提煉出算法

史寧中教授說：“數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”。知道為什么要這么算的算理后，我們要把讓學生經歷從算理到算法的歸納過程，通過學生觀察、概括和推理，抽象出算法，就是一個建構模型的過程，因而從算理到算法，是發展學生數學思維極佳的機會，從理解算理到形成算法，是計算教學的必經之路。

師：是啊，通過多種解釋，我們依然可以發現，單位分數相乘產生了新的分數單位，分數單位的數量仍然是1。為了便于記憶，我們在計算單位分數相乘時，習慣上將算法口訣化：單位分數相乘，分母相乘的積作為積的分母，分子是1。

史寧中教授說，數學技巧并不是非常重要，最關鍵要教孩子“怎么想”和“怎么去想”，“會不會”不是老師教出來，應該是“學生悟出來的”，重視算法提煉的過程，其實是對知識的“悟”的過程，它必須建構與對算理的理解，分數乘法算理的理解雖然有點難，但是因為有讓學生動手實踐、自己推理思考、感悟提煉的過程，“計算法則”不再是“習得知識”，而是“悟道”與“智慧”，因而不但使算法逐漸清晰，更使思考有隨時的圖像再現可能。

4.自主探究，從特殊到一般,算理隨時隱現

當學生多元學習單位分數相乘的算理和算法后，引導學生自主探究“單位分數乘一般的分數”，從簡單到復雜，從扶到放，學、思、用結合，引導學生理解 “為什么”,從而自主得到算法，也算是掌握思考的方法和學習的策略。

【教學片段】

學生交流中發現有如下類別：

（1）遷移——畫圖表示分數乘法意義中得到算法

如右圖：把大長方形當作單位“1”，先豎著把單位“1”平均分成5份，取1份得到，再把橫著平均分成3份，取2份，這相當于把原來的大長方形平均分成了15份，每份是，取2份，即。

（2）拆數轉化——一般分數拆成基本分數單位

而化成小數乘法來解釋，或者分數與除法的關系來解釋的，基本沒有，說明孩子們已經從方式多樣化自然而然地進行了方法的優化，而且這兩種方法的思考與解釋，都各有亮點，方法（1）完全理解了分數乘法的“運算的意義”，所以算理順手就來，方法（2），學生知識現學現用，拆開分數，使他轉化為我們剛剛已經學過的知識，其實學習品質已經是極高了。

5.拓展延伸，從算理到算法，形成完整建構

新課教學時，特別重視算理，當每一道題能演算出結果，算法都能隱現，就達到了算理與算法的緊密結合，使思維可以外顯。當學生學完單位分數相乘、單位分數乘一般分數后，我們出示最普通的分數，讓學生自主建構問題解決的模型。

學生很顯然把分數乘法的算理進行了優化，喜歡把畫長方形當作單位“1”，然后豎著平均分，涂色得到第一個分數，再橫著平均分，涂色得到第二個分數，交叉涂色的部分就是所得的分數的結果。并且得到結論，總共是分成了5×3=15份，所以分母是15，而雙重涂色的是2×4=8份，所以

學數學不做題不行，但是大量重復操練肯定不行，數學家很多時間都在做題，但更多的時候是找模型，建構模型后的做題才是做題，所以我們小學數學的教學，也要讓孩子多些思考和悟的過程，而不是把知識嚼碎了，喂進孩子嘴里，再重復操練，這將扼殺學生發現問題、思考問題，探索模型、解決問題的樂趣，更將孩子直觀思維和創新能力進行扼制。計算教學，以算理探索與理解，由此摸索提煉算法，這樣的過程，才是有意義的數學學習過程。這毫無意義，運算能力的培養與發展，必須結合算理來進行，無論怎樣的數學教學，

綜上所述，計算教學，必須讓學生理解算理的基礎上來掌握算法，如果用畫圖、直觀理解等表達和解釋算理——“為什么這么算”，再從算理的充分理解下，觀察歸納推理計算方法，用多元建構、融會貫通，不但能讓算法有了豐富的算理表象支撐，更能讓數學知識的習得有一個“悟”的過程、“思考”的過程，由知道“是什么”到思考“為什么”，由“吞咽知識”到“了悟智慧”，能使學生的數學活動經驗逐漸豐富，認知廣度和深度擴張，思考漸成習慣，這才是我們數學計算教學要達到的目標，也是數學課應該達到的目標。