壓電式快速反射鏡系統建模與傳遞函數辨識

陸金磊，姜曉明，王 軍

(1.南京理工大學 先進發射協同創新中心，江蘇 南京 210094； 2.上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

壓電式快速反射鏡(PFSM)采用壓電疊堆作為驅動器[1]，具有體積小、響應快、精度高、動態性能好等優點，在自適應光學[2]、圖像穩定系統[3-4]、目標跟蹤系統[5-6]、生物醫學系統[7]等領域具有廣泛的應用前景。本文將PFSM應用在光電精密跟蹤系統中，將其作為復合軸子系統的執行機構，主要用于校正機架主系統的隨機誤差。為穩定跟蹤目標，光電跟瞄系統的精度需要達到微弧度級，這對PFSM的控制精度提出了很高要求。對于控制設計者來說，如何獲得被控對象的精準數學模型極為關鍵。

目前，常用的傳遞函數參數辨識方法主要包括時域階躍響應法和頻域頻率響應法。蔡騫等[8]采用階躍響應法對擺式傾斜儀傳遞函數進行了辨識，該方法測試方便，但只能將系統近似為低階系統，精度較差。在頻率響應辨識法中，常用的有曲線直接辨識和函數擬合辨識。劉金星等[9]結合測量得到的伺服系統開環Bode圖和自動控制原理，通過理論計算直接得出PFSM系統的傳遞函數，該方法較為簡單直觀，但誤差較大。黃海波等[10]采用最小二乘法辨識出復合軸精跟蹤系統的傳遞函數，該方法操作方便，辨識精度較高。

本文根據壓電疊堆材料的特性和反射鏡的運動機理，構建了PFSM系統傳遞函數模型，并結合實測的PFSM系統幅頻和相頻響應特性，使用非線性最小二乘曲線擬合法，選定合適的迭代初值，針對不同頻率特性進行分段擬合，得到了精確的PFSM系統傳遞函數，為控制器設計奠定了基礎。

1 PFSM系統建模

PFSM系統主要由控制器、模數和數模(AD&DA)轉換模塊、功率驅動模塊、PFSM和電阻應變片傳感器構成，如圖1所示。圖中：電阻應變片傳感器檢測到壓電疊堆的位移量電壓信號，依次經過濾波器、傳感器放大模塊和AD轉換模塊輸入到控制器。電阻應變片傳感器模塊的傳遞函數可用一個比例環節描述；功率驅動模塊采用線性功率運放直接驅動，具有很好的線性特性，其傳遞函數也可用一個比例環節描述；在忽略頻率混疊效應后，AD轉換的傳遞函數為1/T，T為采樣周期；DA轉換可被看作一個零階保持器，其傳遞函數為(1-e-Ts)/s。在后續的辨識過程中，可人為去除AD&DA過程對結果的影響。因此，在分析中，可不考慮AD&DA環節。

圖1 PFSM系統控制框圖Fig.1 Block diagram of PFSM system control

以下根據PFSM的運行機理，構建其傳遞函數模型。文中的PFSM采用Physik Instrumente公司的S340偏轉頭，該偏轉頭由四壓電疊堆驅動。當電壓施加在壓電疊堆上時，壓電疊堆產生逆壓電效應，每對壓電疊堆形成推拉運動，驅動鏡面轉動。圖2為四壓電疊堆的反射鏡俯視圖。圖中：A，B，C，D分別為4個壓電疊堆，沿圓周呈90°垂直分布；鏡面中心與致動器和反射鏡接觸點的距離為r；BD軸為俯仰軸；AC軸為方位軸；θa為方位角；θp為俯仰角。設壓電疊堆的傳遞函數為G1(s)，PFSM機械運動的傳遞函數為G2(s)，則PFSM的傳遞函數可表示為

G(s)=G1(s)G2(s)

(1)

圖2 四壓電疊堆的反射鏡Fig.2 Fast steering mirror driven by four piezoelectric stacks

壓電疊堆是將單個晶片做得很薄，然后將數百片疊加起來，從而實現機械上的串聯和電路中的并聯。可以將壓電疊堆等效成一個電容來進行分析，如圖3所示。

圖3 壓電疊堆等效模型Fig.3 Equivalent model of piezoelectric stack

圖中：t為時間；uin(t)為電源電壓；uout(t)為施加在壓電疊堆上的電壓；R為電源的輸出電阻；c為壓電疊堆的等效電容。根據基爾霍夫電壓定律可得

(2)

對式(2)進行拉普拉斯變化，設初始條件為0，可得

Uin(s)=RcsUout(s)+Uout(s)

(3)

令τ=Rc為時間常數，則壓電疊堆的傳遞函數為

(4)

根據壓電疊堆運動特性，建立機構簡化模型，如圖4所示。

圖4 機構簡化模型Fig.4 Simplified model of mechanism

圖中：F為壓電疊堆輸出驅動力；Kf為阻尼系數；Kg為連接剛度；x為壓電疊堆變形量。設反射鏡質量為m，則壓電疊堆機械運動的數學模型可用微分方程描述為

(5)

根據壓電疊堆的變形特性，壓電疊堆輸出驅動力F與壓電疊堆變形量x之間的關系為

F=Kp(auo(t)-x)

(6)

式中：Kp為壓電疊堆等效剛度系數；a為待定系數。

將式(6)代入式(5)，整理得

(7)

對式(7)進行拉普拉斯變換，設初始條件為0，則可得到PFSM機械運動傳遞函數為

(8)

結合式(4)，(8)，可得PFSM傳遞函數為

GPFSM(s)=G1(s)G2(s)=

(9)

由式(9)可見，PFSM的傳遞函數為一個慣性環節和一個二階振蕩環節(也可能是過阻尼的)的串聯，可表示為

(10)

式中：a0，bi(i=0,1,2)即為要辨識的參數。因功率放大環節和電阻應變片傳感器的傳遞函數都可被看作比例環節，故這2個比例環節的系數也可包含在參數a0，bi中。事實上，由于PFSM的機械剛度有限，因此系統的開環特性往往在高頻段附加一個或多個如式(11)所示的雙二階的機械諧振環節[11]，

(11)

式中：bi(i=3,4,5,6)即為要辨識的參數。根據以上分析，PFSM系統的開環傳遞函數可被看作式(10)和一個或多個式(11)的串聯。

2 PFSM系統數學模型辨識

使用動態信號分析儀，產生的線性掃頻信號為

(12)

式中：A為振幅；f0為初始頻率；k為頻率隨時間增加的斜率。用此信號，可以獲得PFSM系統的頻率特性，如圖5所示。

圖5 PFSM系統開環傳遞函數的頻率特性Fig.5 Frequency characteristics of open loop transfer function of PFSM system

由幅頻特性曲線可知，PFSM系統的傳遞函數可能為一個慣性環節、一個二階振蕩環節和一個雙二階環節的串聯，這也符合之前的模型分析。因系統傳遞函數包含的參數較多，故在多維空間進行參數搜索很困難。機械諧振往往出現在高頻段，由于主函數的衰減作用，因此PFSM系統的幅頻特性已在-30 dB水平，轉換為絕對值，約為10-2的量級。若將傳遞函數模型以絕對值表示，則式(11)對幅頻特性曲線的影響極小。因此，在辨識過程中，將PFSM系統的傳遞函數分為式(10)和式(11)兩部分，先以式(10)擬合，得到擬合結果后，從測量得到的頻率特性中提出式(10)，再以式(11)擬合。

由于實測的PFSM系統開環傳遞函數的頻率特性是非線性的，因而使用非線性最小二乘法辨識參數，用幅頻模型進行擬合，以相頻特性輔助進行結果檢驗。Matlab的Curve Fit工具箱提供了豐富的曲線擬合功能。將幅頻特性以絕對值表示，導入工具箱，同時提供函數模型為式(9)的幅頻模型，即

(13)

在Curve Fit里使用非線性最小二乘法進行曲線擬合，同時選擇魯棒性為最小殘差法，置信區間為使系數限制有效。非線性最小二乘法需要提供參數初始值，若初始值選擇不當，則容易使誤差函數陷入局部極小值，不能給出期望的擬合效果。使用Matlab的單輸入單輸出(SISO)工具，根據傳遞函數模型選擇零極點，構造出一個頻率特性與實測的PFSM系統頻率特性相接近的傳遞函數，然后將選擇的零極點作為擬合的初始值，從而有效避開局部極小值的影響。式(13)中，將a0，b0，b1，b2的初始值分別設定為1，1×10-7，1×10-3，1×10-4，并限定各參數最小值為0。擬合出的4個參數的值分別為0.856，2.539×10-6，5.388×10-4，3.788×10-4。

擬合出的主傳遞函數與實測傳遞函數的頻率特性的對比結果如圖6所示。根據上述分析，從圖6中剔除主傳遞函數的頻率特性，以相同方法擬合機械諧振環節的傳遞函數。式(11)中，將b3，b4，b5，b6的初始值分別設定為2×10-7，1×10-7，2×10-7，1×10-4，并限定各參數最小值為0，擬合出的4個參數的值分別為3.610×10-7，1.221×10-4，2.825×10-7，1.081×10-4。機械諧振環節幅頻特性的擬合情況如圖7所示。

圖6 主傳遞函數與實測傳遞函數的頻率特性對比Fig.6 Comparison of frequency characteristics between main transfer function and measured transfer function

圖7 機械諧振環節幅頻特性擬合情況Fig.7 Fitting of amplitude frequency characteristics of mechanical resonance

綜合上述擬合參數，可得出PFSM系統實測頻率特性與擬合得到的傳遞函數頻率特性的對比結果，如圖8所示。由圖可見：經過參數辨識的PFSM系統傳遞函數幅頻和相頻特性曲線與實測曲線吻合度很高。實測頻率特性與辨識頻率特性之間的誤差如圖9所示。由圖可見：在低頻段(小于150 Hz)，幅頻誤差小于0.1 dB，相頻誤差小于1°；在高頻段，幅頻誤差約為0.3 dB，相頻誤差最大為3°。這一方面是由于系統在高頻段對一些小噪聲比較敏感，另一方面是由于在辨識中忽略了高頻段存在的一些小的機械諧振。不過，擬合誤差都在可接受范圍內。

圖8 PFSM系統開環傳遞函數與擬合頻率特性Fig.8 PFSM system’s frequency characteristics of open loop transfer function and fitting transfer function

圖9 PFSM系統開環傳遞函數與擬合頻率特性之間的誤差Fig.9 PFSM system’s frequency characteristic errors between open loop transfer function and fitting transfer function

3 PFSM系統傳遞函數辨識在實際控制系統中的應用

針對以上分析，為檢驗辨識效果，設計補償器為

(14)

則系統開環傳遞函數變為

(15)

式中：GAD(s)=(1-e-Ts)/(Ts)，T為采樣時間；KP，TI分別為需要調節的PI控制器參數。采樣時間T為0.000 2 s，在仿真時將GAD(s)進行Pade線性化。用式(15)補償一個慣性環節，其目的是保證補償器C(s)的分母階數不小于分子階數，使之符合因果性。當系統跟蹤如下正弦信號時，即

x(t)=12.5sin(10πt)

(16)

調節PI參數，令KP=1.411，TI=1/2 073，此時PFSM系統輸出曲線如圖10所示，其誤差曲線如圖11所示。由圖可見：對于振幅為12.5 mrad，頻率為5 Hz的正弦目標，其跟蹤誤差最終穩定在0.25 mrad以內。

圖10 校正后的PFSM系統輸出曲線Fig.10 Output curve of corrected PFSM system

圖11 校正后的PFSM系統輸出誤差曲線Fig.11 Output error curve of corrected PFSM system

對于校正后的PFSM系統，其開環頻率特性如圖12所示。此時，系統的幅值裕度為15.9 dB，相位裕度為61.6°，開環截止頻率為308 Hz。如果未對PFSM系統進行校正，則其開環頻率特性如圖13所示。此時，系統的幅值裕度為4.96 dB，相位裕度為14.4°，開環截止頻率為127 Hz，300 Hz處的機械諧振環節會導致該頻率附近的誤差和噪聲放大，降低系統性能。通過雙二階濾波器和經典PI算法，系統的幅值裕度提高了10.94 dB，相位裕度提高了47.2°，開環截止頻率提高了181 Hz。

圖12 校正后PFSM系統的開環特性Fig.12 Open loop characteristics of corrected PFSM system

圖13 未校正PFSM系統的開環特性Fig.13 Open loop characteristics of uncorrected PFSM system

4 結束語

本文根據壓電疊堆材料的特性和反射鏡的運動機理，構建了PFSM系統傳遞函數模型，并結合實測的PFSM系統幅頻和相頻響應特性，應用非線性最小二乘曲線擬合法，通過Matlab SISO工具箱放置開環零極點，從而選定合適的迭代初值，針對不同頻率特性進行分段擬合，得到了精確的PFSM系統傳遞函數。通過實測傳遞函數與擬合傳遞函數的對比，驗證了PFSM系統傳遞函數模型的合理性。由此設計的雙二階濾波器和經典PI相結合的控制算法有效降低了機械諧振的影響，擴寬了控制系統的閉環帶寬。通過辨識建立的精確的PFSM系統傳遞函數，為高性能的光電跟蹤系統提供了控制器設計依據。