基于Matlab電磁聚焦的動力學仿真

程 琳，翟立朋

(1.西安工程大學 理學院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學 理學院，陜西 西安 710049)

在大學物理實驗中磁聚焦法常常被用來測量電子的比荷[1]. 電子的比荷是電子最基本的屬性，也是重要的物理學常量，其測量在近代物理學的發展歷史中具有重大意義，電子的比荷非常小，到目前為止還沒有直接測量的方法，所以常常需要借助電子在電磁場中的運動來進行測量，如磁聚焦法、湯姆遜法、濾速器法和磁控法等. 同時，磁聚焦方法除了被用于測量電子的比荷，也可以用來測量地球磁場[2],在工程上也有廣泛的應用. 電子束的磁聚焦，一般是將陰極發射的熱電子，先經過加速電場后再經過磁場和交變電場偏轉，最后達到聚焦的目的. 單個電子的運動非常容易理解，但是一系列電子的行為往往不太容易理解聚焦具體是如何形成的[3]，并且大部分文獻中關于磁聚焦原理的闡述都關注于電子在磁場中的運動[4-6]，雖然給出過可視化的磁聚焦模型[7]，但對電子在偏轉電場中的運動闡述較少. 本文通過數值方法，基于電子在電磁場中的動力學模型，最終計算出電子位置隨時間的變化關系，直觀地仿真出電子在電磁場中的運動，構建帶電粒子在電場和磁場中的可視化的運動模型，有助于理解帶電粒子在復雜電磁場中的運動.

1 電磁聚焦的基本原理

以電子顯像管為例說明磁聚焦原理，如圖1所示，電子顯像管有直流加速、交流偏轉和直流勵磁3個重要的區域. 圖1中的軌跡描述的是單個電子在顯像管中的運動軌跡.

圖1 顯像管的構造

熱激發產生的電子初速度一般都比較小，在經過直流加速區后，會獲得如圖1所示x軸方向上的速度. 假設加速電壓為U，則經過直流加速區后電子的速度vx滿足

(1)

則電子在達到如圖1所示的A點時，在x軸方向

上產生的速度可以表示為

(2)

電子以vx的速度經過A點后，進入交流偏轉電場，由于上下2個極板之間的正負屬性一直在不間斷地發生變化，所以在y軸方向上電子將會做相間的分段加速、減速運動，從而電子在y軸方向上會產生振蕩，而x軸方向由于沒有力的作用，將會一直做勻速直線運動. 由于電子束中不同的電子進入交流偏轉電場的時刻不同，所以在y軸方向上的偏轉方向和角度就會產生差別，此時電子束會被發散，使得不同的電子在y軸方向上產生的分速度vy也不同，但是由于水平方向上所有電子的運動是一致的，都是勻速直線運動，所以最終會在1個周期之后，聚焦到點B處. 所以電場也有電子聚焦的功能和效應，偏轉電場的目標就是把電子聚焦到B處，使B處具有不同方向不同角度射出的電子.

如果將電子在B點的速度分解為水平方向上的vx和豎直方向上的vy，則電子在通過A點后，vx一直保持不變，而vy則隨著交變電場的變化而一直不間斷在做周期性變化，直到B點，vy大小取決于偏轉電壓的大小和周期，但是對后續磁聚焦并沒有定量影響，所以不做定量討論. 電子在經過B點之后，由于具有x軸方向的磁感應強度B和y軸方向上的速度，所以在垂直與x軸的yz平面上電子將做勻速率圓周運動，在x軸上依然以vx的速度做勻速直線運動，這樣電子在磁場中就可以做如圖1所示的直流勵磁部分的螺旋運動.

在磁場中洛倫茲力提供電子運動的向心力，所以有

(3)

由(3)式可得到電子做圓周運動的半徑和周期為

(4)

(5)

電子通過B點后經過1個周期T到達B1點，此時和B點相比因為圓周運動經過了1個周期回到原處，而水平方向沿x軸平移h距離，即

(6)

將(2)式代入(6)式，可以得到

(7)

由(7)式可以看出，電子每經過1個周期就會沿著x軸平移h，距離h為螺旋運動的螺距. 通過(7)式可以看出電子的螺距與電子的質量m、電荷e、加速電場U、磁感應強度B有關，所以在實際實驗測試中，只要測試設備的參量給定，螺距就是常量，同時在yz平面內電子的圓周運動半徑R只與vy有關. 所以對于1束電子束而言，所有電子的h相同但R不同，所以電子束在經過B時會由于R不同而發散開，到B1點時又由于h相同而聚焦，這樣就形成了磁聚焦的效果. 在實驗中如果能測得螺距h，則可以根據(7)式計算電子的比荷，即

(8)

其中B為載流長直螺線管產生的磁感應強度，螺線管中軸線上產生的磁感應強度可表示為

(9)

其中Is為螺線管中的勵磁電流，N為螺線管的線圈匝數，L為螺線管的長度，P為螺線管的直徑. 將(9)式代入(8)式可以得到電子的比荷為

(10)

這樣即可得到電子的比荷.

2 電磁聚焦的動力學仿真模型

為了更清楚地描繪電子在電磁場聚焦中的具體運動情況，本文基于Matlab將電子運動的動力學方程在時間維度離散迭代，將電子運動的軌跡可視化，這樣更有利于理解磁聚焦的模型.

從t=0時刻開始，在時間維度以間隔Δt對時間進行等分，如果時間間隔Δt足夠小，則任意時刻都可以表示為

t=NΔt.

(11)

其中N為任意1個整數，所以，只要能表示出任何時刻電子所受的作用力F(t)，由牛頓運動定律就可以表示出電子運動的加速度，即

(12)

因為前面假設了時間間隔Δt足夠小，所以電子在t到t+Δt之間的運動看作是勻變速直線運動，加速度a(t)可以從(12)式得到，如果已知t時刻電子的運動速度為v(t)，則t+Δt時刻電子的速度就可以表示為

v(t+Δt)=v(t)+a(t)Δt.

(13)

同理，如果已知t時刻電子所處的位置為r(t)，那么在t+Δt時刻電子的位置就可以表示為

(14)

從t到t+Δt時間也可以用勻速直線運動公式計算，只要是時間間隔Δt足夠小，結果就可以保證足夠精確. 同時，如果期望描述電子在三維空間的運動，直接將(13)式和(14)式分別寫成x,y,z方向上的速度和位移即可. 所以，只要知道某一時刻電子所處的初始速度和初始位移，時間以Δt為間隔進行迭代，就可以求得后續任意時刻電子運動的速度和位移. 原則上，只要Δt足夠小，迭代結果也將足夠精確.

根據以上離散的動力學模型，在Matlab中按照如圖2所示的具體流程進行仿真計算.

圖2 動力學仿真模型

先從變量初始化開始，動力學計算過程中，需要的變量有作用力F、加速度a、速度v和位移r，變量設好以后，給定電子運動的初始條件為

r(0)=0,

v(0)=0,

進入循環之后因為偏轉電壓隨時間改變，導致加速度a、速度v和位移r都會隨著時間的迭代而產生改變. 這樣，隨著時間的迭代，就可以描述出電子運動的位移和速度等物理量.

從圖2的迭代模型可以看出，該動力學模型本質上不局限于電磁聚焦問題，而是可以拓展. 只要能夠表示出物體所受的力F，并且該物體的運動符合牛頓運動定律，就可以對物體運動進行動力學仿真，所以這種離散的動力學仿真方法可以被廣泛應用到物體運動中.

3 電磁聚焦的結果與討論

根據上述離散的動力學模型，先計算帶電粒子在偏轉電場中的情況. 在此假設交變電場以U=U0cos (2πft)的形式變化，圖3所示為8個電子在交變偏轉電場中的運動軌跡，不同顏色的軌跡代表不同的電子. 從圖3中可以看出：1)每個粒子的運動軌跡都是正弦(或余弦)軌跡，但由于每個電子進入交變電場中的時間都不一致，有的電子剛入電場就開始向上偏轉，而有的電子剛入電場則向下偏轉，所以導致電子軌跡在剛進入電場的A點開始發散,反映到軌跡的函數表達式上，這體現在軌跡函數表達式的初相位不同；2)不管電子如何發散，運動軌跡每過1個周期都會聚焦1次，如圖3所示，電子運動的軌跡分別聚焦在B，C，D，E點處；3)聚焦點的連線與x軸有一定的夾角，這是因為電子進入交變電場中的時間并不是恰好在交變電場相位為零時進入電場. 所以，只需要在電子經過任意一聚焦點之后進入磁場即可確保進入磁場的電子是從同一位置發出的，并且在y軸方向具有不同的入射速度vy，從而滿足磁聚焦需要的條件. 所以，通過仿真可以清楚地看到，原本經過加速電場后的電子只具有x軸方向的初速度，而交變電場的目標就是為了使電子在進入磁場之前具有y軸方向的速度.

圖3 電子在電場中的聚焦

電子在通過圖1所示的B點后，就進入方向沿著x軸的勻強磁場(本文沒有考慮螺線管軸線上的磁場變化). 之后電子因為受洛倫茲力的作用在yz平面做圓周運動，因為經過電場偏轉以后，不同粒子在y方向的速度vy不同導致圓周運動的半徑不同，但所有的螺旋運動都會聚焦到點B1,B2,B3,B4. 圖4所示為8個電子在磁場中的運動軌跡，清晰地描述了電子在磁場中的聚焦. 與電場聚焦不同的是，磁場中聚焦的連線是平行于x軸分布.

圖4 電子在磁場中的聚焦

實際電磁聚焦過程中，熱電子是可以連續不間斷地進入磁場，所以電子的運動軌跡遠遠大于圖4所模擬的8條. 如果增加電子個數，就會形成如圖5所示的一系列電子連續不斷進入磁場中進行聚焦的行為軌跡，即一系列半徑不同的螺旋軌跡. 如果逆著x軸方向觀察，在聚焦點的位置，熒光屏上觀察到的是1個點，這就是大學物理實驗中觀察到的最直觀的磁聚焦現象.

圖5 電子束在磁場中的聚焦

如果熒光屏位于除聚焦點之外的其他位置上，相當于電子束沒有聚焦，這時如果逆著x軸方向觀察，則會看到1條線段，熒光屏所處位置不同，線段的長度和方向也不相同. 圖6所示為熒光屏位置x處于0～h之間的不同位置處，所觀察到的電子束的情況. 位置從0增大到螺距h的過程中，電子束在熒光屏上逐漸從1個點擴展為線段，并且線段的長度先增大后減小，線段的方位角也一直不停地變化，方位角是順時針變化還是逆時針變化取決于螺線管中磁感應強度的方向，當x=h時線段縮短為1個點， 與x=0的狀態重合，即經過了1個周期. 有關線段長短的定量分析在文獻[8]中有詳細的論述. 圖6所示的現象也是在磁聚焦法測電子比荷實驗中調節聚焦點時直觀觀察到的現象.

圖6 位于x軸方向不同位置處觀察到yz平面內電子束

4 結束語

電磁聚焦是常用的測量電子比荷的方法，本文基于Matlab對電子在電磁場中的聚焦行為進行動力學仿真分析，形象直觀地闡述了電磁聚焦的行為過程. 可視化的仿真分析，可以讓學生更好地理解電磁聚焦的過程，并且將動力學仿真的方法拓展到所有符合牛頓運動定律的運動研究.