對(duì)基于激光單縫衍射測(cè)量實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化

李 俊,莫緒濤,黃仙山

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032； 2.同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092)

自1960年梅曼發(fā)明激光器以來(lái)，激光的應(yīng)用日益廣泛. 由于激光具有單色性好和亮度高等優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)常被用作干涉和衍射實(shí)驗(yàn)的光源. 在直接使用高斯光束作為夫瑯禾費(fèi)衍射光源時(shí)，理論分析表明其衍射光斑分布與均勻光的夫瑯禾費(fèi)衍射光斑分布存在一定偏離[1-3]. 其原因在于高斯光束的光強(qiáng)分布不均勻，即在衍射平面上的光強(qiáng)中間強(qiáng)兩側(cè)弱. 單模激光除了具有與高斯光束相類似的光強(qiáng)分布外，在衍射平面上的相位也不相等. 當(dāng)以均勻光作為夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光的光源時(shí)，可以根據(jù)衍射反比關(guān)系即可反推縫寬大小. 目前，利用單縫衍射對(duì)狹縫尺寸進(jìn)行測(cè)量在實(shí)驗(yàn)和工業(yè)中都有著普遍的應(yīng)用[4-6]. 如果以基模激光作為衍射光源對(duì)狹縫進(jìn)行測(cè)量，則需要在實(shí)驗(yàn)和算法等方面做相應(yīng)改進(jìn). 文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)提出精確測(cè)算激光單縫衍射實(shí)驗(yàn)中縫寬大小的計(jì)算機(jī)算法. 本文依據(jù)基爾霍夫衍射理論，從理論上分析了誤差產(chǎn)生的主要原因，結(jié)合實(shí)驗(yàn)改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)亞毫米尺寸的精確測(cè)量.

1 理 論

基模激光復(fù)振幅的空間分布關(guān)系為[8]

(1)

式中

(2)

(3)

其中，ω0為激光束腰斑半徑，z0為距束腰斑的距離，λ為激光的波長(zhǎng).ω0和z0可以利用文獻(xiàn)[9]的方法測(cè)得. 由(2)式可以看出ω和z0滿足雙曲函數(shù)關(guān)系，即激光半徑沿激光傳播方向是雙曲線分布.

設(shè)狹縫寬度為2a，縫與接收屏的距離為D，基模激光束垂直于狹縫平面入射且其光束中心通過(guò)單縫中心，則當(dāng)系統(tǒng)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件D?(2a)2/λ時(shí)，僅考慮一維情況，可由菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式給出接收屏上任一點(diǎn)的復(fù)振幅為[10]

(4)

則光強(qiáng)大小分布為

I(x′)=|U(x′)|2.

(5)

由于(4)式的積分比較復(fù)雜，無(wú)法直接求出解析解，為此通過(guò)數(shù)值方法處理上述積分計(jì)算.

以上分析可以看出基模激光與均勻光的區(qū)別主要在于激光光束的光強(qiáng)和相位的不均勻性，而相位的不均勻性主要取決于激光器的束腰半徑大小和衍射屏與激光器束腰之間的間距. 為了區(qū)分光強(qiáng)和相位對(duì)單縫衍射的影響，首先計(jì)算了等相位的高斯光束的衍射光強(qiáng)分布，如圖1所示. 從圖1可以看出高斯光束的衍射光強(qiáng)分布相對(duì)于均勻光存在著向兩側(cè)的偏移，且隨著縫寬和激光光斑直徑比值(a：ω，簡(jiǎn)稱比值)不斷增大，1級(jí)暗紋和1級(jí)亮紋位置的偏移量隨之逐漸增大，1級(jí)光的光強(qiáng)與0級(jí)光的比值明顯降低.

圖1 均勻光與不同比值的高斯光束單縫衍射分布圖

表1 均勻光與不同比值的高斯光單縫衍射參數(shù)對(duì)比

圖2是考慮了振幅和相位的不均勻性即實(shí)際基模激光與均勻光單縫衍射光強(qiáng)分布對(duì)比圖. 設(shè)定激光器的束腰半徑為0.1 mm，衍射屏距激光束腰的距離為80 mm. 與圖1相比，其偏移程度隨比值的增大明顯增加，且1級(jí)暗紋光強(qiáng)并不為0，存在一定的亮度. 當(dāng)比值大到一定程度1級(jí)暗紋消失，0級(jí)亮紋與1級(jí)光重合. 此時(shí)，無(wú)法利用激光單縫衍射的方法測(cè)量相對(duì)較寬的狹縫.

圖2 均勻光與不同比值的基模激光單縫衍射分布圖

a∶ωx1暗′I1暗I1明Δx1暗′x均′I0∶I1均勻光10.001 10.047 80%20.920.21.0630.000 90.045 26.3%22.120.41.0920.009 00.042 69.2%23.470.61.1580.037 40.049 015.8%20.40

在激光實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常需要使用透鏡將激光按照要求匹配進(jìn)入到激光處理器件中. 激光在經(jīng)過(guò)透鏡時(shí)，存在以下規(guī)律[8]：

(6)

(6)式中，F(xiàn)為透鏡焦距，ω0為激光的束腰斑半徑，l為激光束腰斑到透鏡焦平面的距離，則ω0′為激光經(jīng)過(guò)透鏡后的束腰斑半徑，l′為激光經(jīng)過(guò)透鏡后束腰斑到透鏡焦平面的距離.

根據(jù)以上規(guī)律，設(shè)計(jì)了圖3所示的雙透鏡結(jié)構(gòu)來(lái)降低因高斯光束光強(qiáng)和相位分布的不均對(duì)單縫衍射造成的誤差.

如圖3所示，激光從左邊入射，經(jīng)過(guò)第1個(gè)透鏡后，會(huì)產(chǎn)生新的雙曲線分布，適當(dāng)調(diào)節(jié)第1個(gè)透鏡的焦距和與激光器束腰的距離，可以實(shí)現(xiàn)擴(kuò)束效果. 再經(jīng)過(guò)第2個(gè)透鏡又會(huì)產(chǎn)生新的雙曲線分布. 現(xiàn)將狹縫置于第2個(gè)透鏡的左邊附近，即讓激光經(jīng)過(guò)第1個(gè)透鏡擴(kuò)束后再通過(guò)狹縫，以降低比值大小，從而減小激光分布不均勻帶來(lái)的影響. 再將接收光屏置于第2個(gè)透鏡的右方束腰位置處，即等相位面位置，以排除相位分布不均勻的影響. 因此，通過(guò)以上透鏡系統(tǒng)，即可很好地從實(shí)驗(yàn)上解決因光強(qiáng)和相位的不均勻而帶來(lái)的影響.

圖3 基模激光光束經(jīng)過(guò)透鏡變換示意圖

為了從理論上驗(yàn)證擴(kuò)束后的光束對(duì)于衍射光斑平移量的改進(jìn)，取ω=10a的情況進(jìn)行計(jì)算比較，得出1級(jí)暗紋歸一化的位置為1.002，相對(duì)于均勻光的偏移比僅為0.2%. 由此可以看出，通過(guò)增加縫寬和激光光斑半徑的比值，可以明顯降低因激光能量分布不均勻帶來(lái)的誤差.

2 實(shí) 驗(yàn)

圖4 激光單縫衍射測(cè)量狹縫寬度實(shí)驗(yàn)示意圖

通過(guò)以上理論分析，設(shè)計(jì)出激光單縫衍射測(cè)量狹縫寬度實(shí)驗(yàn)示意圖如圖4所示. 其中，激光器采用532 nm的普通半導(dǎo)體激光器，狹縫采用螺旋式寬度可變的刀口，根據(jù)(6)式和(2)式可知，為了在狹縫處獲得較大光斑(較小的束腰半徑)，第1個(gè)透鏡應(yīng)盡量取短焦距. 為了具有較大的衍射間距，第2個(gè)透鏡應(yīng)取較長(zhǎng)焦距，故采用2個(gè)焦距分別為15 mm和250 mm的正透鏡，CCD相機(jī)是型號(hào)為MER-500-7UM的大恒黑白相機(jī).

首先測(cè)定激光器的束腰大小和位置，根據(jù)(6)式計(jì)算并設(shè)定2個(gè)透鏡和光屏的位置,設(shè)定衍射屏到光屏的為2 000 mm，螺旋刀口設(shè)定的狹縫寬度為0.42 mm. 根據(jù)相應(yīng)的參數(shù)按圖4搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，用CCD相機(jī)拍攝光屏上的光斑分布如圖5所示. 再保持各器件在原來(lái)位置，拿走2個(gè)透鏡并適當(dāng)調(diào)節(jié)光圈大小后拍攝的光斑分布如圖6所示. 由于衍射光斑中間強(qiáng)兩邊弱，故在光屏上將0級(jí)光處涂成黑色以吸收部分光，降低其與其他級(jí)衍射光斑的對(duì)比度，防止中間光斑光強(qiáng)過(guò)強(qiáng)CCD拍攝無(wú)法分清. 圖5下部分是普通直尺，用于標(biāo)定CCD相機(jī)拍攝圖片尺寸的放大率. 將圖5和圖6進(jìn)行對(duì)比，可以清晰地看出，在衍射光路中拿走雙透鏡系統(tǒng)后，0級(jí)與其他級(jí)次地光強(qiáng)對(duì)比度明顯提高，且中心明紋變寬，即1級(jí)暗紋位置向兩邊平移，這些與前的理論計(jì)算結(jié)果是一致的.

圖5 CCD相機(jī)拍攝的衍射光斑分布圖

圖6 移除透鏡時(shí)CCD相機(jī)拍攝的衍射光斑分布圖

(a)較大閾值下的二值化后衍射光斑分布圖

(b)較小閾值下的二值化后直尺刻度分布圖圖7 不同閾值的二值化后的分布圖

對(duì)圖5進(jìn)行2次二值化處理如圖7所示. 圖7(a)為較大閾值下的衍射光斑分布圖，圖中只有黑色背景和白色光斑，可以很好地算出光斑分布情況. 圖7(b)是較小閾值下的二值化處理后的圖像，圖中直尺刻度清晰，可以利用程序計(jì)算出刻度間的像素?cái)?shù)，進(jìn)而求出CCD相機(jī)的放大率.

根據(jù)相關(guān)測(cè)量參量的不確定度及運(yùn)用單縫衍射反比關(guān)系，計(jì)算出縫寬為0.421 mm，與所設(shè)定的狹縫寬度接近，且根據(jù)參量的不確定度[11]進(jìn)行誤差分析，理論上精度可達(dá)μm量級(jí). 由此可見(jiàn)，使用這種方法進(jìn)行的亞毫米級(jí)尺寸測(cè)量是可行的.

3 結(jié)束語(yǔ)

在光路中使用2個(gè)透鏡后，可以很好地降低因單模激光在衍射屏上光強(qiáng)和相位的不均性而引起的衍射光斑平移，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)與均勻光近似相同的衍射分布. 因此，可以利用衍射反比關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)亞毫米級(jí)狹縫寬度或細(xì)絲直徑等物體尺寸的非接觸式光學(xué)精確測(cè)量.