超聲無損檢測中聲波散射衰減的分數(shù)階導數(shù)建模研究

方 俊

（1.南京理工大學紫金學院機械工程學院，江蘇 南京 210046；2.河海大學力學與材料學院，江蘇 南京 211100）

超聲波無損檢測技術的基本原理是用人工的方法在被測材料或結構中激發(fā)出一定頻率的彈性波，以各種不同的頻率在材料或結構內(nèi)部傳播并通過儀器接收，通過分析研究所接收的信號，就可以了解材料與結構的力學特性和缺陷分布情況。這些彈性波就是聲波，它們在復雜介質內(nèi)的傳播一般都會隨距離發(fā)生一定的衰減，其中與介質特性有關的兩種衰減形式是吸收和散射。由介質分子之間的粘性引起的稱為吸收衰減；因碰到另外一種介質組成的障礙物而向不同方向產(chǎn)生發(fā)散的現(xiàn)象稱為散射衰減，它主要是由介質的非均質性引起的。由于混凝土、巖石等材料內(nèi)部含有大量的雜質和缺陷，具有高度非均質性，因此實驗結果和實地觀測表明，在此類介質中聲波的散射衰減起主導作用。

研究超聲波在混凝土等非均質材料中傳播的散射衰減機理和一般規(guī)律，對無損檢測中分析材料的各項特性有重要的意義。但是聲波在非均質材料中的傳播過程是非常復雜的，材料內(nèi)部的缺陷、雜質與孔隙等構成聲學界面的數(shù)量和空間分布也是隨機和多樣的，且存在0~4階之間任意階頻率依賴的衰減現(xiàn)象，現(xiàn)有的以經(jīng)典力學為基礎的整數(shù)階模型只能分析幾種整數(shù)頻率依賴耗散的特殊情況，難以對一般的散射過程進行準確模擬。

文章基于散射衰減規(guī)律的經(jīng)驗公式，導出了聲波的0-4階分數(shù)階導數(shù)散射衰減模型，該模型能夠同時描述任意頻率依賴的衰減和因果關系的頻散，推動了分數(shù)階導數(shù)建模方法在超聲無損檢測領域中的應用。

1 聲波散射建模研究的現(xiàn)狀分析

目前國內(nèi)外對于聲波散射衰減的研究大部分是以實驗測定的方法為主。散射系數(shù)α通常用來表示單位距離內(nèi)由散射引起的損失能量，上世紀90年代Vary和Mavko等人通過大量實驗結果證明該系數(shù)α與聲波頻率ω以及雜質平均尺寸d均存在相關性，并且具體形式取決于聲波波長λ和雜質尺寸d之間的大小關系：

其中DS是通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到的參數(shù)。由該結論可以看出，聲波散射一般存在三種不同的類型：當波長λ遠小于雜質尺寸d時，發(fā)生的是Diffusion散射，大部分散射能量集中在靠近入射波傳播的方向，此時α∝d-1；當波長λ和雜質尺寸d差不多時，發(fā)生的是Mie散射或稱為共振散射，該散射效應最為明顯，是超聲無損檢測中最常見的散射類型，此時α∝dω2；當波長λ遠大于雜質尺寸d時，發(fā)生的是Rayleigh散射，這種散射類型較常見于地震波的觀測中，此時 α∝d3ω4。

根據(jù)以上的觀測結果，可以將散射的不同類型表達式總結為一個以頻率為變量的冪函數(shù)形式：

其中α0是與雜質尺寸d相關的一個參數(shù)。顯然，當s=0，2，4時，就可以得到（1）式中各項表達式。值得注意的是，Aki和Blair等人后來在實際測量中發(fā)現(xiàn)s的值并不總是只能取整數(shù)，某些情況下也有可能是0-4中的任何一個非整數(shù)，這取決于不同介質的材料屬性、雜質尺寸與含量以及波長范圍等因素。對于這種復雜介質的任意階頻率依賴散射現(xiàn)象，傳統(tǒng)的整數(shù)階偏微分方程并不能準確地加以描述，因而需要發(fā)展出新的理論來建立相應的數(shù)學物理模型。

分數(shù)階微積分是一個解決這類物理和力學建模難題的有力的數(shù)學工具，已被廣泛應用于聲波吸收衰減、反常擴散等領域。分數(shù)階導數(shù)建模的優(yōu)勢在于所需物理參數(shù)少，方程形式簡單明確；此外，將其轉化到頻域分析則可以變?yōu)閮绾瘮?shù)形式，因而非常適合描述任意階頻率依賴的聲波衰減現(xiàn)象。一般情況下，描述冪律頻率依賴衰減關系的聲波方程可寫成如下形式：

其中：p代表波的壓力，c0代表波速，C為衰減項的系數(shù)表示a階時間分數(shù)階導數(shù)，（-Δ）b/2為b階分數(shù)階拉普拉斯算子。當a=1，b=0時，（3）式簡化為經(jīng)典阻尼波方程；當a=1，b=2時，（3）式簡化為熱粘性波方程。為了得到任意s階頻率依賴的關系，Caputo令a=s-1，b=2首次得到了時間分數(shù)階聲波耗散模型；Szabo給出了卷積形式的衰減項，而陳文等將之寫成時間分數(shù)階導數(shù)的形式，即a=s+1，b=0。此外，陳文等又引入了空間分數(shù)階導數(shù)的衰減項，即a=1，b=s，并給出了分數(shù)階拉普拉斯的新定義。這些聲波耗散模型在低頻近似的前提下均滿足冪律頻率衰減關系。

然而，以上這些模型并不總能反映聲波在介質中的頻散，即聲速隨頻率變化的現(xiàn)象。為保證模型能反映頻散，Kelly等［16］提出頻率依賴的頻散系數(shù) β（ω），使模型滿足時間因果關系。此外，Treeby等利用頻散方程和低頻假設，得到了含空間分數(shù)階導數(shù)的聲波耗散模型。該模型令方程（3）中a=1，b=s，并在等號左側另外加入頻散項從而同時滿足頻率衰減關系和時間因果關系。

但是，現(xiàn)有文獻的分數(shù)階導數(shù)聲波衰減模型，描述的都是粘性引起的聲吸收衰減，導數(shù)階數(shù)的范圍在0~2之間。而散射衰減由于物理機制不同，從（2）式可以看出，其階數(shù)范圍是0~4，因此分數(shù)階導數(shù)的定義就必然需要擴展；除此之外，聲波方程的各項參數(shù)也將有所變化，比如改成與雜質尺寸d相關的參數(shù)。下面首先給出分數(shù)階微積分算子的定義，并將0~2階的分數(shù)階拉普拉斯算子擴展為0~4階的分數(shù)階雙調和算子。

2 聲波建模的數(shù)學基礎

2.1 定義A：時間分數(shù)階導數(shù)算子

時間分數(shù)階導數(shù)算子現(xiàn)在應用比較廣泛的是Caputo型的定義，其滿足的基本形式如下：

其中s為分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)，n為大于s的最小整數(shù)，Γ為歐拉-伽馬函數(shù)。這里要求φ（t）必須是n階可微的，另外該定義在建模應用及積分變換中需滿足的初始條件是以整數(shù)階微積分的形式給出的，例如當n=1且初始時間為0時，就需要給出φ（0）和φ′（0）作為初始條件。該定義滿足傅里葉變換關系：

其中ω為頻域變量，Φ是函數(shù)φ在頻域內(nèi)對應的函數(shù)。從（5）式可以看出，分數(shù)階導數(shù)算子可以描述時間域和頻域上的冪律依賴現(xiàn)象。

2.2 定義B：分數(shù)階拉普拉斯算子

分數(shù)階拉普拉斯算子是一種空間分數(shù)階微分算子，它是Riesz勢的逆算子，可以用來描述科學和工程問題的空間非局部性和冪律行為。一般來說，分數(shù)階拉普拉斯算子應該滿足傅里葉變換關系

其中（-Δ）s/2為s階分數(shù)階拉普拉斯算子，它也有多種不同類型的定義。其中比較重要的一種是Chen/Holm形式的定義，其基本表達式如下：

其中0

其中Ω是d維歐氏空間的積分域。可以看到，公式（7）利用Riesz勢和拉普拉斯算子的不同結合方式，給出了兩種類型的分數(shù)階拉普拉斯顯式積分表達式。通過格林第二公式可以證明，Caputo型算子與帶邊界條件的Riemann-Liouville算子是等價的，這與時間分數(shù)階導數(shù)中對應的兩類關系是一致的。

2.3 定義C（新定義）：分數(shù)階雙調和算子

將Chen/Holm定義的分數(shù)階拉普拉斯算子（7）式拓展到2~4階，就可以得到分數(shù)階雙調和算子，并給出2種類型的顯式積分表達式：

其中2

接下來以散射經(jīng)驗公式（1）為出發(fā)點，結合分數(shù)階算子的定義以及聲波吸收衰減的建模思路，來建立超聲無損檢測中聲波散射的分數(shù)階導數(shù)模型。

3 聲波的分數(shù)階導數(shù)散射衰減通用模型

考慮到聲波散射模型必須既可以描述冪律頻率依賴的衰減，又可以描述滿足因果關系的頻散，根據(jù)聲波衰減的一般公式（3），給出其包含雙衰減項的基本形式：

其中 C1和 C2都是待定的衰減項系數(shù)，a，b，p，q為分數(shù)階微積分算子的階數(shù)，其算子定義由第二章給出。這種含空間分數(shù)階導數(shù)算子的雙衰減項形式是Treeby等首次提出用于描述滿足頻散關系的聲波吸收衰減的。同樣可以用這種形式來描述聲波的散射衰減。

將（10）式兩邊同時作時間和空間傅里葉變換，可以得到頻域方程：

其中k和ω分別表示復波數(shù)和角頻率。將（11）式中的復波數(shù)拆分成實部與虛部的組合k=β+iα，并將實部和虛部進行分離就可以得到

這里α為散射衰減系數(shù)，β為頻散系數(shù)。方程（12）的第一式是實部滿足的條件，與聲波的頻散相關；第二式是虛部滿足的條件，與冪律頻率依賴的衰減相關。不失一般性，可以假定（10）式衰減項的第一部分只用于描述冪律衰減，而第二部分只用于描述頻散關系。因此，系數(shù)C1不應該出現(xiàn)在（12）式的一式中，即 cos（aπ/2）必定為 0，否則會影響頻散；同理，系數(shù) C2不應該出現(xiàn)在（12）式的二式中，即 sin（pπ/2）必定為0，否則會影響冪律衰減。由此可以得到系數(shù)之間必須滿足的關系：

其中m，n都是整數(shù)。根據(jù)低頻假設下的近似關系式

可以將（12）式的虛部簡化為

要使散射方程滿足（2）式的冪律衰減關系，就必須讓（15）式中的系數(shù)與之對應，這樣就可以得到

接下來將（12）式的實部在低頻假設下簡化，就可以得到頻散系數(shù)β的表達式

由于該等式必須滿足基于因果關系的Kramers-Kronig頻散關系式：

這樣就可以得到能同時滿足冪律衰減關系和頻散關系的聲波散射模型的通用公式：

其中0

該方程與Treeby和Cox提出的雙衰減項聲波耗散模型在形式上是一致的，主要區(qū)別在于空間分數(shù)階導數(shù)算子的定義不同，并且這里s的取值范圍是0-4。此外，該散射模型系數(shù)的物理意義也不一樣，這里的α0是與雜質尺寸d相關的參數(shù)。

4 散射衰減的冪指數(shù)表達式

上述聲波散射衰減模型中，分數(shù)階微積分算子的階數(shù)s，即散射衰減經(jīng)驗公式（1）中冪律指數(shù)s的物理意義。由于聲波在含雜質的非均質介質中傳播時的s取決于聲波波長λ和雜質尺寸d之間的大小關系，根據(jù)（1）式將其總結為：

其中μ=d/λ表示的是雜質平均尺寸與聲波波長之比；b0是當發(fā)生Mie散射或共振散射時（d≈λ），μ的具體值。考慮到μ的值實際上應該是一個連續(xù)的變量（0，+∞），那么從宏觀物理角度來說，s的值也應該是一個連續(xù)的變量，而不是“躍遷式”變量。那么為了滿足（22）式，冪指數(shù)s的一種可能的表達式可以寫成

顯然，該式滿足（1）式的基本關系，但是否有效還需要其他理論或實驗的驗證。為了與現(xiàn)有散射模型作比較，首先需要寫出衰減系數(shù)α的精確表達式。將（23）式代入（2）式中并考慮到 λ=c0/ω，就可以求得此時包含雜質尺寸d和波頻率ω的衰減系數(shù)表達式：

然后將該公式與Blair在上世紀90年代提出的同樣包含參數(shù)d和ω的散射模型作比較。Blair［8］指出衰減系數(shù)α應該滿足表達式：

其中CS和kS均為常系數(shù)，d表示散射體的平均尺寸，ωd表示特征頻率（固定值），僅取決于散射體的固有屬性。表達式（25）主要是基于巖石中的地震波散射衰減實驗數(shù)據(jù)得到的，但也被證實同樣適用于金屬、混凝土或其他非均質材料中的超聲波散射衰減。這個現(xiàn)象表明，雖然一般金屬等材料中的雜質尺寸要明顯小于大多數(shù)巖石中的散射體尺寸，但散射本身是一種與尺度無關的現(xiàn)象，其衰減系數(shù)的大小主要取決于波長與散射體尺寸之間的比值，而這一結論與所提出的散射衰減模型是一致的。

為了比較兩種散射模型中的衰減系數(shù)表達式，并討論雜質尺寸d和頻率ω對衰減系數(shù)α的影響，通過圖形對比了不同波頻率下（分別為5Hz、10Hz、15 Hz和 20 Hz）散射衰減公式（24）和（25）中 α 和 d之間的關系。為了使計算簡化，假設DS=CS=1，c0=1且根據(jù)Blair模型的設定ks=0.23，那么當模型（24）式中的b0=1/4π時，它與模型（25）式是基本一致的，如圖1所示：

圖1 兩種不同模型中散射衰減系數(shù)α在不同頻率下隨雜質尺寸d的變化趨勢

從圖1可以看出，頻率ω的值越大，衰減系數(shù)α的峰值就會隨之增大；當散射體的平均尺寸d與波長λ近似相等時（d≈πλ），一定頻率下的衰減系數(shù)α就能達到其最大值。這說明當介質的散射體尺寸和波長大小近似時，聲波的散射衰減系數(shù)會變得更大，也就是說Mie散射或共振散射是非均勻介質中散射效應最為明顯的類型，這一結論也與經(jīng)驗或實驗觀測結果相一致。以上討論中，對兩個模型參數(shù)的取值是b0=1/4π且ks=0.23；而如果選取b0=1/2π且k s=0.4，兩者描繪的曲線也仍然是一致的。事實上只要在兩個模型中選取適當?shù)膮?shù)，它們的衰減系數(shù)表達式就是等價的。這也從側面驗證了散射衰減的冪指數(shù)表達式（23）的準確性。

5 結 語

文章基于對聲波散射的經(jīng)驗公式，從頻域分析導出了聲波在非均質材料中傳播的0-4階頻率依賴散射衰減模型，并給出了含雙衰減項的通用公式（20），該模型能同時滿足冪律頻率依賴的衰減和因果關系的頻散。當該通用模型取具體的參數(shù)值時，又可以得到與現(xiàn)有聲波吸收衰減模型形式上非常相似的分數(shù)階導數(shù)散射衰減模型。另一方面，文章又進一步給出了冪指數(shù)一種可能的表達式（23），并由此構建了包含雜質參數(shù)d和波頻率ω的散射衰減系數(shù)α的一個新模型（24）。為了驗證這個模型，我們將其與現(xiàn)有的Blair模型進行了比較。通過描繪的曲線可以看出，兩個模型結果是高度一致的。這就明確了上述聲波散射模型通用公式（20）中的分數(shù)階微積分算子階數(shù)s的物理意義，為用模型定量分析超聲無損檢測中的散射規(guī)律提供了一定的理論依據(jù)，而且這些工作可以進一步推廣到涉及聲波衰減的其他領域，例如地震勘探中地震波在多孔巖層中的衰減、醫(yī)學超聲成像、水下沉積物的聲波勘測等。