巖石蠕變效應顆粒流模擬中彈簧與黏壺參數對變形特征的影響

田佳杰，孫金山

(中國地質大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074)

巖石在應力保持不變的情況下，應變隨時間延長而不斷增加，發生永久變形的現象稱為巖石的蠕變。巖石蠕變是巖石的重要力學特性之一，它關系到各類大型工程建設(如地基、邊坡、土石壩等)、地質災害防治(如滑坡、泥石流等)的長期安全，具有極其重要的研究價值。

對巖體流變的研究最早起源于20世紀30年代，早在1939年國外學者Griggs[1]就開展了灰巖、頁巖和砂巖等巖體的蠕變試驗，結果顯示在這些巖體中，當荷載達到破壞荷載的12.5%～80%時，巖體就會產生蠕變現象。而自20世紀50年代以后,隨著我國大型建筑工程的興起,關于巖體流變的研究也隨之引起重視，許多學者分別從室內試驗、理論分析和數值模擬等方面對巖體流變力學特性展開了研究。室內試驗是研究巖石蠕變的重要方法，但是工作量大、成本高。在理論研究方面，運用流變理論可以解決巖體各種黏彈性、黏塑性、黏彈塑性問題，但是如何確定各種巖體流變模型中的參數卻是一個亟待解決的問題[2]。近年來，很多學者通過數值模擬的方法進行了巖石蠕變研究。如由Cundall等[3]提出的顆粒流方法及其PFC是求解非連續介質力學問題的一個重要的數值分析方法，該程序將介質離散為大量的小顆粒單元，并通過顆粒之間的相互作用去描述、研究非連續巖石材料的力學特性；Kang等[4]基于二維顆粒流程序(PFC2D)，采用法向Hertz-Mindlin模型、切向Burgers模型進行了巖石雙軸蠕變試驗的研究；王濤等[5]開發出廣義Kelvin接觸模型，并用于工程計算，結果表明與線彈性接觸模型相比，采用廣義Kelvin接觸模型得到的結果與由Hoek-Brown強度準則得到的結果更為接近；張學朋等[6]基于顆粒流理論，采用顆粒離散元方法對微觀顆粒之間的接觸賦予Burgers模型，進行了二維離散元虛擬巖石單軸蠕變試驗，并采用單因素法分析了顆粒粒徑、摩擦因數、顆粒法向與切向剛度比對巖石流變特性模擬值的影響；孫金山等[7]采用二維顆粒流程序(PFC2D)對巖石的蠕變損傷和斷裂的細觀力學機制進行了數值模擬分析；胡訓健等[8]基于PFC軟件中的人工合成巖體技術，研究了7種不同組合形式下含斷續節理巖質邊坡的破壞形式及其內部微觀接觸力場的演變規律。

巖石蠕變效應顆粒流數值模擬中，巖石蠕變參數的選擇和確定是十分困難和復雜的工作。本文基于顆粒流理論，采用顆粒流程序PFC中的Burgers模型來模擬巖石在單軸壓縮狀態下的蠕變試驗，并采用控制變量法研究了Burgers模型中彈簧的彈性模量(Em、Ek)、黏壺的黏度系數(ηm、ηk)和摩擦因數(f)對巖石蠕變性能的影響。

1 巖石蠕變的顆粒流模擬簡介

1.1 顆粒流方法簡介

顆粒流(particle flow)方法是由Cundall等提出的模擬球形顆粒運動與相互作用的離散單元法[3]。這種小的球形顆粒與巖石中實際的晶體顆粒并沒有什么聯系，只是為了模擬巖體中的力學性質和連接狀態而虛構的一種模型。巖體的力學性質可以通過顆粒間不同接觸連接方式而體現出來。顆粒流方法的主要作用對象為球形顆粒和墻體，顆粒和墻體都為剛體，二維顆粒為圓盤形，球形顆粒用來組合形成巖土體本身，墻體則作為約束邊界施加荷載。

1.2 Burgers模型及其參數確定

顆粒流程序(Partide Flow Code,PFC)軟件中常用顆粒間的接觸模型主要有接觸模型、滑動模型和接觸黏結模型等，但是這三種模型都不能很好地模擬出巖體的應變隨時間延長而緩慢變化的性質，因此本文中將選用PFC軟件中的Burgers接觸模型(以下簡稱Burgers模型)，同時為了體現其剛度特征，還將采用線性接觸模型與Burgers接觸模型相串聯,通過控制Burgers模型中的參數來分析巖石的蠕變性能。

Burgers模型是屬于常用的元件組合模型的一種，它是由麥克斯韋(Maxwell)模型和開爾文(Kelvin)模型串聯而成的，其基本原理見圖1。

圖1 Burgers模型示意圖Fig.1 Burgers model

設Maxwell模型和Kelvin模型的應變分別為ε1、ε2，應力分別為σ1、σ2，兩個模型串聯后總的應變為兩個應變的相加，而應力相等，故有ε=ε1+ε2,σ=σ1=σ2。

Burgers模型中細觀參數是模型中兩個接觸部件接觸點處力學性質的描述，但是在做試驗時，只能觀測到宏觀上的變化，很難直接測得細觀參數，因此需要通過建立細觀參數與宏觀參數之間的關系，間接地得到細觀參數[5]。Burgers模型中的9個細觀參數詳見表1。其中,摩擦因數f為試樣模型中兩個顆粒之間的摩擦因數，定義為

表1 Burgers模型中的細觀參數

顆粒之間的接觸特性與梁的兩端連接2個顆粒的作用特性相同，因此顆粒之間的黏彈性特性選用兩端作用一定力和力矩的黏彈性梁來描述離散單元之間的接觸特性，從而推導出黏彈性宏觀參數與細觀參數之間的關系，其基本原理見圖2[9]。

圖2 黏彈性梁示意圖Fig.2 Viscoelastic beam diagram

在平面問題中，設顆粒單元的厚度為h,則梁的截面面積為A=L·h[10],則可得到黏彈性宏觀參數與細觀參數的關系式[9]如下：

Kmn=Emh

(1)

Cmn=ηmh

(2)

Kkn=Ekh

(3)

Ckn=ηkh

(4)

根據彈性模量(E)與剪切模量(G)的關系式：

E=2(1+υ)G

(5)

可得到4個剪切細觀參數如下:

(6)

(7)

(8)

(9)

上式中：L為黏彈性梁的長度，即相鄰單元的球心距(m)；Em和Ek分別為Maxwell模型和Kelvin模型中彈簧單元的彈性模量(GPa)；ηm和ηk分別為Maxwell模型和Kelvin模型中黏壺單元的黏度系數(GPa·s)；υ為泊松比，取值0.25。

2 Burgers模型中細觀參數對巖石變形特征的影響

Burgers模型中影響巖石蠕變的因素主要包括作用于巖石的恒定應力σ、Maxwell模型和Kelvin模型中彈簧的彈性模量Em和Ek、Maxwell模型和Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηm和ηk以及加載時間t。

本次試驗的巖石試樣采用100 mm×50 mm(高×直徑)的柱狀模型(見圖3)，模型的平均粒徑設置為1.064 mm,其中最大顆粒半徑為1.328 mm，最小顆粒半徑為0.8 mm。對每組的每個巖石試樣的頂部施加豎直向下的恒定荷載，荷載值為巖石試樣單軸抗壓強度的90%，即為74.4 MPa。

圖3 巖石試樣模型Fig.3 Sample model

針對上述參數，進行了A、B、C、D、E 5組對照試驗，每組試驗3次，同一組內的試驗之間只變化一個參數，其余參數均取為相同，由此得到各參數對巖石蠕變特性的影響，每組對照試驗參數取值見表2。

表2 對照試驗參數取值

2.1 Maxwell模型中彈簧的彈性模量對巖石蠕變特性的影響

A組試驗主要考慮了Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em對巖石蠕變特性的影響。A組試驗Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek為40 GPa、黏壺的黏度系數ηk為7×107MPa·s，Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηm為7×1040MPa·s,摩擦因數f為0.5。

圖4為Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em分別為35 GPa、40 GPa、45 GPa所對應的巖石應變時間圖像。

圖4 Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em對巖石蠕變 過程的影響Fig.4 Influence of spring elastic modulus on rock creep process in Maxwell model

由圖4可見，Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em對巖石的瞬時蠕變值影響較大，隨著彈簧彈性模量的增大，巖石試樣的瞬時蠕變值隨之減小，其中Em值分別為40 GPa和45 GPa兩種巖石試樣的瞬時蠕變值相差較??；在初始蠕變階段，Em值為35 GPa巖石試樣的蠕變速率較大，該曲線上具有較明顯的轉折點，而進入穩定蠕變階段以后，3種巖石試樣的蠕變速率大致相同。

2.2 Maxwell模型中黏壺的黏度系數對巖石蠕變特性的影響

B組試驗主要考慮了Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηm對巖石蠕變特性的影響。B組試驗Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em為40 GPa、Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek為40 GPa、黏壺的黏度系數ηk為7×107MPa·s、摩擦因數f為0.5。

圖5為Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηm分別為7×1040MPa·s、7×1045MPa·s、7×1050MPa·s所對應的巖石應變時間圖像。

圖5 Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηk對巖石蠕變 過程的影響Fig.5 Effect of Maxwell model viscosity on creep strain

由圖5可見，當Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηm取不同值時，3條曲線完全重合，巖石初始蠕變階段到穩定蠕變階段經歷的時間相同，到達穩定蠕變階段的時間也相同。由此可知，Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηk對巖石試樣的蠕變變形幾乎沒有影響。

2.3 Kelvin模型中彈簧的彈性模量對巖石蠕變特性的影響

C組試驗主要考慮了Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek對巖石蠕變特性的影響。C組試驗Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em為40 GPa、黏壺的黏度系數ηm為7×1040MPa·s,Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk為7×107MPa·s，摩擦因數f為0.5。

圖6為Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek分別為35 GPa、40 GPa、45 GPa所對應的巖石應變時間圖像。

圖6 Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek對巖石蠕變 過程的影響Fig.6 Influence of spring elastic modulus on rock creep process in Kelvin model

由圖6可見，隨著Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek的增大，巖石試樣的瞬時蠕變值也隨之增大，其中Ek值分別為40 GPa和45 GPa兩種巖石試樣的蠕變速率幾乎相同，只有Ek值為35 GPa巖石試樣在初始蠕變階段的蠕變速率較其他兩種巖石試樣更大，在進入穩定蠕變階段以后，3種巖石試樣的蠕變速率則大致相同。

2.4 Kelvin模型中黏壺的黏度系數對巖石蠕變特性的影響

D組試驗主要考慮了Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk對巖石蠕變特性的影響。D組試驗Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em為40 GPa、黏壺的黏度系數ηm為7×1040MPa·s,Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek為40 GPa、摩擦因數f為0.5。

圖7為Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk分別為7×106MPa·s、7×107MPa·s、7×108MPa·s所對應的巖石應變時間圖像。

圖7 Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk對巖石蠕變 過程的影響Fig.7 Effect of viscous pot viscosity on rock creep process in Kelvin model

由圖7可見，隨著Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk的增大，巖石施加荷載時的瞬時應變值相應增大，到達穩定蠕變階段時的應變值隨之增大，其中ηk分別為7×107MPa·s和7×108MPa·s兩種巖石試樣的瞬時應變值相差不大；而在初始蠕變階段巖石試樣的蠕變速率卻與ηk值近似呈負相關關系，即隨著ηk值的增大巖石試樣的蠕變速率逐漸減小。

2.5 摩擦因數對巖石蠕變特性的影響

E組試驗主要考慮了摩擦因數f對巖石蠕變特性的影響。E組試驗Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em為40 GPa、黏壺的黏度系數ηm為7×1040MPa·s,Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek為40 GPa、黏壺的黏度系數ηk為7×107MPa·s。

圖8為摩擦因數f分別為0.4、0.5、0.8所對應的巖石應變時間圖像。

圖8 摩擦因數f對巖石蠕變過程的影響Fig.8 Effect of friction factor on rock creep process

由圖8可見，隨著摩擦因數f的增大，巖石試樣的瞬時蠕變值也隨之增大；在初始蠕變階段巖石試樣的蠕變速率也隨著f的增大而逐漸增大，而進入穩定蠕變階段以后，3種巖石試樣的蠕變速率大致相同。

3 結 論

針對顆粒流程序PFC中Burgers接觸模型參數選擇的問題，本文模擬了巖石在單軸壓縮狀態下的蠕變試驗。模擬試驗運用控制變量法，研究了Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em、黏壺的黏度系數ηm，Kelvin模型中彈簧的彈性模量Ek、黏壺的黏度系數ηk以及摩擦因數f對巖石蠕變特性的影響,得到如下結論：

(1) Maxwell模型中黏壺的黏度系數ηm對巖石試樣蠕變過程的影響不顯著。

(2) Kelvin模型中黏壺的黏度系數ηk、彈簧的彈性模量Ek、摩擦因數f均對巖石試樣的瞬時蠕變值有影響，且都呈正相關關系；Maxwell模型中彈簧的彈性模量Em也對巖石試樣的瞬時蠕變值有影響，但呈負相關關系。

(3)ηk、Em、Ek、f都對巖石試樣初始蠕變階段的蠕變速率有影響，其中ηk、Ek、Em均與巖石試樣的蠕變速率近似呈負相關關系，而f與巖石試樣的蠕變速率近似呈正相關關系。