基于p的DTV圖像去噪模型

龐志峰, 張慧麗, 史寶麗

(河南大學數學與統計學院, 開封 475004)

圖像在形成和傳輸過程中由于受到噪聲的干擾導致質量下降, 擾亂人類感知事物的能力, 從而對圖像的后期處理(如邊緣檢測、特征提取等)造成影響, 因此對退化圖像進行有效的去噪具有重要的研究價值。圖像去噪實質就是提取有用信息, 抑制無用的噪聲信息。在去噪過程中, 噪聲與邊緣均呈現高頻性質, 因此如何有效地保護圖像的邊緣輪廓等重要的幾何特征已成為圖像去噪領域內的重要研究課題。

在眾多的去噪模型中, 基于能量泛函的模型由于具有有效刻畫圖像結構特征的數學性質, 在近十年來成為國內外研究的熱點[1]。其中, Rudin等[2]于1992年提出的全變分(TV)去噪模型(ROF模型)具有開創性, 其是以梯度信息作為圖像平滑性的度量來實現圖像去噪與修復。由于該模型中的正則項所在的函數空間在廣義若當測度意義下, 并不要求函數具有連續性, 因此能有效地保持圖像中不具有連續性的邊緣結構特征, 從而在圖像復原領域內得到了廣泛的應用[3], 并推動了基于能量泛函的圖像復原模型的發展。然而, ROF模型所依賴的梯度范數在模型中懲罰較小的躍遷信息時, 經常導致圖像的光滑漸變區域出現階梯現象。為此, 近年來基于ROF模型提出了眾多的改進模型，如高階全變分去噪模型[4]、廣義全變分去噪模型[5]、加權全變分去噪模型[6]、方向全變分(DTV)去噪模型[7]、邊緣自適應DTV去噪模型[8]、分數階全變分去噪模型[9-10]、零化多項式去噪模型[11]等。上述模型雖然在一定程度上能反映圖像的結構特征, 但是由于模型的固有屬性導致在數值計算過程中存在下述問題:①x與y方向的微分算子權重是對等的, 并沒有考慮圖像中結構特征的差異性; ②對于具有方向性的圖像, 在數值計算時僅僅利用水平和豎直方向的差分并不能有效刻畫圖像的方向特征。

為了有效克服上述缺陷, 文獻[7]通過耦合旋轉算子、各向異性加權算子與差分算子等3類算子提出了DTV去噪模型。隨后, 文獻[8]提出了具有邊緣自適應性的DTV去噪模型。上述2類模型在微分格式上具有方向性和加權性, 因此在去噪過程中能很好地保持圖像的方向特征。但是, 這些模型并未考慮圖像中的結構性特征, 而這些結構性特征在梯度意義下表現為稀疏性或者躍遷性, 因此對全變分算子進行有效的約束至關重要。為此, 本文提出了一種具有魯棒性的基于p的DTV去噪模型。在該模型中, 為了刻畫圖像中的不同結構特征, 正則項的指數p由圖像的結構來確定在(0,2)中自適應選取。同時, 根據圖像中局部紋理的方向信息, 構造旋轉算子和各向異性加權算子從而使得模型刻畫圖像的結構更具有魯棒性。由于本文模型是具有可分性的非光滑優化問題,提出了用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)[12-13]有效求解,可以保證算法的收斂性。通過對比實驗發現, 相比于ROF模型與 DTV去噪模型, 本文模型在有效去除噪聲的同時能更好地保留圖像的細節信息, 并能處理具有多個主方向的紋理圖片。

1 圖像去噪模型

令u為初始清晰圖像,f為被噪聲污染的圖像,n為干擾噪聲, 則退化圖像模型可以表示為

f=u+n

圖像去噪問題的目的是從退化圖像f中有效地復原初始圖像u。然而，在此過程中由于部分先驗缺信息缺失，直接求解將導致經典的病態問題。有效克服該問題的方法是正則化方法, 下面介紹幾類與本文有關的全變分正則化模型。

1.1 ROF模型

為了克服早期模型不能有效保持圖像邊緣的問題, Rudin等[2]于1992年提出了基于全變分的正則化去噪模型ROF。

(1)

式中：ξ=(ξ1,ξ2)T。顯然, 定義中不要求u具有連續性, 因此在去噪過程中能有效保持圖像邊緣。事實上, 該模型的最優性條件[14]含有曲率項，該項本質上對應求解各向異性擴散方程, 擴散過程主要是沿著切線方向, 因此可以保持圖像中大的躍遷結構。然而, 在求解過程中, 該模型的差分格式僅僅考慮水平和豎直2個方向, 并不能有效刻畫圖像中具有方向特征和像素值振蕩的情況。

1.2 DTV去噪模型

為了克服ROF模型不能有效描述圖像中帶有方向性結構特征的缺陷, 文獻[7]提出了DTV去噪模型。

(2)

式中：Rθ為旋轉矩陣, 用來刻畫圖像中特征結構方向性，θ為噪聲圖像f的旋轉角度；Λα為尺度矩陣, 用來耦合圖像在坐標方向的權重。

1.3 改進的圖像去噪模型

由于圖像中含有大量的冗余信息, 在一定的算子變換意義下表現為稀疏性, 因此近年來基于p擬模(0

(3)

式中：p∈(0,2)。當0

2 數值方法

本節考慮模型式(3)的求解方法, 其對應的離散形式為

(4)

其中：q=(q1,q2)。

上述差分格式可表示為如下五點差分格式，如圖1所示。

圖1 五點差分格式Fig.1 Five-point difference format

(5)

圖2 兩個差分方向取相同權重時的旋轉變換Fig.2 Rotation transformation when two differential directions take the same weight

圖3 兩個差分方向取不同權重時的旋轉變換Fig.3 Rotational transformation when two differential directions take different weights

利用增廣拉格朗日方法, 問題式(5)可轉化為極大極小值問題。

(6)

式中：β=(β1,β2)T,δ=(δ1,δ2)T,w=(w1,w2)T,β、δ為拉格朗日乘子；γ1、γ2>0為懲罰參數。顯然,鞍點問題式(6)為多變量優化問題, 因此可以利用ADMM求解：

δk+1=δk+γ2(wk+1-ΛαR-θvk+1) (7e)

下面考慮式(7)中各個子問題的具體求解過程。

1) 求解子問題式(7a)

基于引理1, 子問題式(7a)可轉化為

(8)

進一步便有

式中：γ和η如引理1所述。顯然該問題為光滑優化問題, 故可交替求解。

算法1ADM求解w子問題。

初始化：γ2>0，選擇w0和ε0初始值。

步驟1執行下述循環：

式中：ρ∈(0,1)為約束常數。

步驟2直到滿足終止條件，輸出w:=wk+1。

2) 求解子問題式(7b)

子問題式(7b)為光滑凸優化問題, 其最優化條件滿足:

γ2RθΛα(ΛαR-θv-wk+1)=0

(9)

顯然, 該問題對應二元線性方程組, 其解可表示為

vk+1=(γ1I+γ2RθΛαΛαR-θ)-1·

(10)

式中：I為單位矩陣。

3) 求解子問題式(7c)

子問題式(7c)依舊為光滑凸優化問題, 其對應的最優性條件為

(11)

由于本文假設的差分離散格式是循環邊界條件, 故用快速傅里葉變換求解：

(12)

式中：F與F-1分別表示傅里葉變換與傅里葉逆變換；Δ為拉普拉斯算子。

綜上, 求解問題式(4)的數值算法如下。

算法2求解問題式(4)。

輸入：初始變量v0、β0、δ0和參數λ、α、θ、γ1、γ2，以及最大迭代步數Maxiter和相對誤差Rerr。

步驟1利用算法1及式(10)、式(12)、式(7d)、式(7e)求解 (wk+1,vk+1,uk+1,βk+1,δk+1)。

步驟2若滿足終止條件, 算法終止, 輸出復原圖像u:=uk+1,否則令k=k+1, 返回步驟1。

3 數值實驗

由于本文主要考慮方向性圖像, 故選取圖4所示4幅圖像作為測試圖像, 其中圖4(a)、(b)具有單一的方向特征, 圖4(c)、(d)具有多結構的方向特征。

實驗中基于MATLAB2017(b)進行仿真實驗, 并采用信噪比SNR與結構相似度SSIM來衡量圖像去噪的有效性。另外,若最大迭代次數達到500次或相對誤差滿足下述條件：

則算法終止。

圖4 仿真實驗的原始圖像Fig.4 Original image of simulation experiment

3.1 參數選取

模型式(4)和算法2中主要存在尺度參數α、 旋轉角度參數θ、 正則化參數λ、 指數參數p與罰參數γ1、γ2。在這些參數中,λ為主參數,其取值嚴重影響數值結果， 若太小,則圖像過度平滑導致邊緣模糊;若太大,則復原圖像趨向于噪聲圖像, 達不到去噪的目的。有效選取該參數的方法有L曲線方法或廣義交叉方法等。然而, 由于本文主要考慮模型的有效性, 因此主要采用經驗選取的方法, 即在較大的范圍[a,b]中選取一個小區間[c,d]使得圖像在區間中取得較好的復原結果。然后令λ=(c+d)/2為最優參數值。針對方向參數θ與尺度參數α,根據圖像特征經驗性選取。模型中指數參數p的取值在影響模型凸性的同時也能判斷是否懲罰圖像結構特征的稀疏性， 若p≥1, 則模型為凸性, 算法2可收斂到初始問題式(4)的全局最優解， 尤其是若p接近2, 則有效保持圖像的光滑區域， 若p接近1, 則有效保持圖像的邊界區域， 反之, 若p∈[0,1), 則此時模型是非凸的, 由于其中的梯度算子為差分形式, 因此利用壓縮感知理論, 可知此時保持圖像的近似常數區域。實驗中主要利用圖像的結構特征對p進行試探性選取。若去噪圖像具有較高的SNR時, 選取p值為最優值。如圖5所示, 在復原圖像4(a)和(b)時通過比較可以發現，選取p=0.6和p=1.8比較合適。針對罰參數γ1與γ2,實驗中也采用經驗選取方法, 本文針對不同數據的實驗在[0.03，22]之間選取。

圖5 DTVP模型去噪過程中SNR隨參數p的變化Fig.5 Variation of SNR with p during denoising by DTVP model

3.2 實驗比較與分析

文獻[7]利用半隱式梯度下降法求解, 而該模型可以歸類于本文p=1的情況, 因此本文利用ADMM求解,記為ADMM-DTV, 并與ROF模型和DTV去噪模型進行比較。

本文采用信噪比SNR和結構相似度SSIM客觀評價質量指標對各種圖像處理結果進行評價，如表1所示。評價去噪效果時, SNR和SSIM的值越大, 表明去噪效果越好。本文中選取不同的圖像分別加入不同強度的噪聲(噪聲方差σ=0.01、0.05、0.1)進行實驗, 表1總結了不同去噪算法對不同圖像實驗結果的信噪比SNR和結構相似度SSIM值的比較結果。可以看出, DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型的SNR明顯高于ROF模型, 而且DTVP去噪模型比DTV和ADMM-DTV去噪模型的SNR和SSIM數值都大, 從側面反映出DTVP去噪模型的去噪效果更好, 不僅可以去除噪聲影響, 還可以重建出更多清晰的高頻段紋理, 當圖像紋理越強時, 去噪性能越優。所加噪聲為σ=0.01時, 對于圖4中方向單一的圖像(見圖4(a)、(b))，紋理性較弱, 圖像存在大面積平滑區域, DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型去噪獲得的SNR高于ROF 模型不足1 dB,DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型之間的SNR不太明顯。對于圖1中具有多結構的方向圖像(見圖4(c)、(d)), 圖像紋理性較強, 因此更能體現模型的優越性, DTVP模型的SNR高于 ROF模型1.5 dB左右。

從圖6中的實驗結果可以看出, ROF、DTV和ADMM-DTV的殘差圖像灰度值較大, 且波動較大, 而DTVP的殘差圖像灰度值較小, 圖像偏暗, 波動較小。殘差圖像灰度值越小，圖像去噪效果越好。實驗結果表明，DTVP去噪模型去噪的效果明顯優于ROF模型和DTV去噪模型, 去噪后的圖像紋理信息得到更好地保持。仿真實驗中所加噪聲為σ=0.05, 尺度參數α=2, 旋轉角度參數θ=0.5π, 指數參數p=0.8。

本文以圖4(b)為例對圖像去噪前后的結果進行對比, 如圖7所示。經過ROF、DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪實驗結果的SNR和SSIM分別為21.350 5 dB、21.530 8 dB、21.804 4 dB、22.024 1 dB、0.652 1、0.673 2、0.682 2和0.701 4。這從定量描述中反映出DTVP算法相比ROF、DTV、ADMM-DTV算法重建效果更佳。另外可以看到DTVP的去噪效果最好, 不僅提高了圖像的清晰度, 而且保留了圖像的紋理信息。仿真實驗中所加噪聲σ=0.01， 尺度參數α=2.3， 旋轉角度參數θ=0.75π， 指數參數p=1.89。

本文以圖4(d)為例對圖像去噪前后的結果進行對比, 如圖8所示。從處理結果可看出,噪聲基本被抑制, 并且圖像的邊緣和細節特征也得到保留。可近一步說明, 本文的模型有效地將噪聲圖像基本恢復到接近于原圖。

表1 不同去噪模型去噪后所得的SNR和 SSIM比較Table 1 Comparison of SNR and SSIM obtained after denoising by different denoising models

圖6 不同去噪模型去噪后的殘差圖像比較Fig.6 Compare residual image after denoising by different denoising models

圖7 不同去噪模型去噪后的復原圖像比較Fig.7 Compare restored images after denoising by different denoising models

圖8 不同去噪模型去噪后的直方圖比較Fig.8 Compare histograms after denoising by different denoising models

4 結 論

本文通過分析ROF模型和DTV去噪模型,針對其不足, 提出了正則項基于參數p的自適應模型, 并通過實驗證明：

1) 具有全變分去噪模型的優點, 更好地去除平滑區域的噪聲, 降低了全變分模型引入的階梯效應。

2) 具有DTV去噪模型的優點, 同時可以更好地刻畫圖像的結構信息。

仿真實驗表明, 本文提出的正則項基于參數p的自適應方法降噪效果明顯優于ROF模型和DTV去噪模型, 在去噪的同時保留了更多的圖像細節信息, 去除噪聲更充分,獲得更高的峰值信噪比和結構相似度。當圖像紋理方向性越明顯時, 去噪優越性越明顯, 主觀視覺效果方面更佳。另外,實驗表明針對方向性明顯的圖像通常取較大的權重α, 以利于模型對應的偏微分方程沿邊界切線方向擴散, 進而達到保持圖像邊緣的目的, 同時針對該類圖像可以有效地判斷方向角θ。然而，對于結構比較復雜和噪聲較大的圖像, 權參數α與方向角θ的判斷更具有挑戰性。因此,下一步工作將研究如何結合圖像的結構特征建立權重α與方向角θ具有自適應選取性質的圖像復原模型。