關(guān)于平行線理論的探討

徐成照

[摘? ?要]著名的平行線理論是《幾何原本》的主要內(nèi)容之一，應(yīng)用極為廣泛.它在幾何史上爭論時(shí)間最為長久，爭論最為激烈，至今還沒有一個(gè)滿意的結(jié)果，主要是缺乏有效的證明.探討平行線理論的正確性，對(duì)于開闊教師視野，提高教師素質(zhì)具有積極的現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞]平行線理論;判定方法;性質(zhì)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0013-02

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材給出了平行線的三個(gè)判定方法和三個(gè)性質(zhì).簡言之，判定方法一：同位角相等，兩直線平行.判定方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.判定方法三：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.性質(zhì)一：兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)二：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.性質(zhì)三：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

由于以上的判定和性質(zhì)都不具備不證自明，卻給不出證明，因此直接把它當(dāng)作定理來使用，作為下一步的證題依據(jù)，顯然是不可取的，是沒有說服力的.本文采用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來探討平行線理論的正確性，有助于學(xué)生更好地理解平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，也能給教師的教學(xué)提供有益的參考.

引理：同平面兩直線，從一直線任取不同兩點(diǎn)，過該兩點(diǎn)均向另一直線作距離，兩直線必在距離小的一側(cè)相交.（如圖1）

判定方法1：同平面不重合兩直線，若一直線上的不同兩點(diǎn)到另一直線的距離相等，則兩直線平行.

已知L1與L2是同平面不重合的兩直線，AB、CD是L1與L2間的任意兩段距離，且AB = CD，求證：L1平行L2 .

證明：如圖2，假設(shè)L1與L2相交.（1）假設(shè)L1與L2在AB一側(cè)相交，根據(jù)引理，AB小于CD，這與AB = CD矛盾.

（2）假設(shè)L1與L2在CD一側(cè)相交，根據(jù)引理，AB大于CD，這與AB = CD矛盾.

因此，假設(shè)L1與L2相交不成立，所以L1平行L2.

判定方法2：同位角相等，兩直線平行.

證明：如圖3，在正方形ABCD中，延長BA至E，∠EAD=180°-∠BAD =180° - 90° = 90°，∠ABC = 90°，所以∠ABC = ∠EAD.又因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，AD平行BC，所以同位角相等，兩直線平行.

判定方法3：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

證明：如圖4，在正方形ABCD中，連接BD，AB = DC、AD = BC、BD = BD，所以△ABD [?]△DCB，故∠ADB = ∠DBC.又因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，AD平行BC，所以內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

判定方法4：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

證明：如圖5，在正方形ABCD中，∠ABC + ∠BAD = 180°，又因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，AD平行BC，所以同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

平行線的性質(zhì)1：兩平行線間的距離處處相等.

已知L1平行L2，AB與DC是L1與L2間的任意兩段距離，求證：AB = DC.

證明：如圖6，假設(shè)AB不等于DC，（1）假設(shè)AB大于DC，根據(jù)引理，L1與L2在DC一側(cè)相交，這與L1平行L2矛盾.（2）假設(shè)AB小于DC，根據(jù)引理，L1與L2在AB一側(cè)相交，這與L1平行L2矛盾.因此，假設(shè)AB不等于DC不成立，所以AB = DC.

平行線的性質(zhì)2：兩直線平行，同位角相等.

證明：如圖7，因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，AD平行BC.

又因?yàn)椤螮AD = 180° - ∠BAD = 180° - 90° = 90°，∠ABC=90°.因此，∠ABC = ∠EAD，所以兩直線平行，同位角相等.

平行線的性質(zhì)3：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

證明：如圖8，因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，AD平行BC.

又因?yàn)锳B = DC、AD = BC、BD = BD，所以△ABD [?]△DCB，∠ADB = ∠DBC.

因此，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

平行線的性質(zhì)4：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

證明：如圖9，因?yàn)锳B = DC，根據(jù)平行線的判定方法1，所以AD平行BC.

又因?yàn)椤螦BC + ∠BAD = 180°，所以兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

平行線的傳遞性：平行于同一直線的兩條直線互相平行.

已知：L1平行L2，L1平行L3，求證：L2平行L3.

證明：如圖10，在正方形ABCD中，AB邊上取點(diǎn)E，DC邊上取點(diǎn)F，使得AE = DF，連接EF.因?yàn)锳B = DC，所以L1平行L3.因?yàn)锳E = DF，所以L1平行L2.又因?yàn)镋B = AB - AE、FC= DC - DF，所以EB = FC，所以L2平行L3.

平行線傳遞性的推廣：平行于同一直線的所有直線互相平行.

已知：L平行L1，L平行L2，L平行L3，…，L平行Ln，求證：L平行L1平行L2…平行Ln.

證明：如圖11，在直線M上依次取點(diǎn)M，M1，M2，M3，…，Mn，過以上各點(diǎn)分別作直線M的垂線，垂線依次為L，L1，L2，L3，…，LN.（n屬于N）

從以上作圖可知，所有直線的同位角都相等，或任意兩直線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)平行線的判定方法2或方法4可知：L平行L1，L平行L2，L平行L3，…，L平行Ln.再根據(jù)平行線的傳遞性可得：L平行L1平行L2平行L3平行…Ln.

平行線的作法1：根據(jù)平行線的性質(zhì)1作已知直線的平行線.

已知直線L1，作L1的平行線.

作法：如圖12，（1）在已知直線L1上任取兩點(diǎn)A、B.過A、B依次作L1的垂線m、n.

（2）以A為圓心、AC為半徑畫弧交m于點(diǎn)C，以B為圓心、AC為半徑畫弧交n于點(diǎn)D，且C、D在L1的同側(cè).

（3）連接CD，并向兩端延長成L2，L2就是所作平行L1的直線.

平行線的作法2：根據(jù)平行線的性質(zhì)2及性質(zhì)4作已知直線的平行線.

已知直線L1，作L1的平行線L2.

作法：如圖13，（1）在L1上任取點(diǎn)A，過A作L1的垂線m.

（2）在m上任取點(diǎn)B，過B作m的垂線L2，L2就是所作平行L1的直線.

平行線的作法3：根據(jù)平行線的性質(zhì)3作已知直線的平行線.

已知直線L1，作L1的平行線L2 .

作法：如圖14，（1）在L1上任取A、B兩點(diǎn)，過A作∠BAC.

（2）過C作∠ACD，使得∠BAC = ∠ACD，延長CD成L2，L2就是所作平行L1的直線.

綜上所述，平行線理論是能夠給出合理證明的.平行線是絕對(duì)存在的，“不存在絕對(duì)平行線”的說法是不科學(xué)的、不正確的.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）