兩角差的余弦公式的不同推導方法

周炳

[摘? ?要]在學完任意角的三角函數后，接下來就是三角函數的恒等變換，而兩角差的余弦公式的推導過程是學習后面三角函數恒等變換的重要基礎，兩角和與差的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式都是在兩角差的余弦公式上變形得來的，所以兩角差的余弦公式的證明與推導作為基礎公式，得到了廣大高中教師與學生的高度關注.引導學生認真體會各版本教材的兩角差的余弦公式的推導方法，能提高學生對公式的理解與記憶能力，能幫助學生有效解決恒等變換問題.

[關鍵詞]兩角差;余弦公式;推導方法;單位圓;三角函數線

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0036-02

本文主要對不同版本高中數學教材的兩角差的余弦公式的推導方法以及筆者在貴州省榕江第一中學的一節公開課中所講解的兩角差的余弦公式的推導方法進行論述.

一、利用三角函數線的定義推導兩角差的余弦公式

[反思]“利用三角函數線的定義來推導兩角差的余弦公式”這一推導方法學生很難想到，需要畫的輔助線太多，但是輔助線畫出來以后容易理解. 另外，該推導方法的另一個難題在于，公式都是在角[α、β]均為銳角的情況下進行推導與證明的，所以還需進一步考慮角[α、β]從銳角向鈍角以及任意角的推廣問題.在實際教學中學生反饋“很難想到該方法”以及“任意角的推廣有難度”.

二、利用向量數量積推導兩角差的余弦公式

[反思]利用向量數量積的定義以及向量數量積的坐標運算推導余弦的差角公式可以避免煩瑣的幾何輔助線及對角度范圍的討論.將向量的數量積的概念與坐標運算的兩種形式有機結合起來，充分體現了向量在高中數學中的基礎作用.在實際教學中，由于我們還沒有學習平面向量，因此實際教學起來難度較大.

三、利用面積恒等推導兩角差的余弦公式

四、利用三角形全等的方法推導兩角差的余弦公式

五、利用兩點間的距離公式推導兩角差的余弦公式

（特約編輯 安 平）