圓錐曲線問題在高考的常見題型及解題技巧

黃菊香

摘要：圓錐曲線在高考中命題趨勢近年來變化比較多，但是圓錐曲線的命題大部分題型與解題方式都比較固定。本文筆者將對圓錐曲線的命題趨勢、解題思路以及如何對學生進行訓練進行探討。

關鍵詞：圓錐曲線;解題思路

一、圓錐曲線的命題趨勢

（一）直線與圓錐曲線的位置關系的問題將仍是高考命題熱點，求曲線方程、求弦長、求面積、求最值、證明某種關系、證明定值、求軌跡、求參數的取值范圍、探索型、存在性討論等問題也很常見。同時由于導數的介入，切線問題將更多地引入到綜合性的問題中。

（二）圓錐曲線試題在試卷分布中有位置前傾的趨勢，其目的是加強對圓錐曲線的基本概念、基本方法、基本技能方面的考查，考查的方式更為靈活，試題的編制也更為新穎。圓錐曲線現在考試中的地位越來越重要。

（三）綜觀各套高考試題，多以直線與橢圓為載體。試題入口低、觀點高，突出考查解析幾何的基本知識、基本思想，兼顧對數學思想和數學能力的考查。

（四）現在圓錐曲線對于學生的要求及命題方向

“注重通性通法，淡化特殊技巧”是數學大綱中堅持的命題思路，歷年高考試卷都體現了這個指導思想高考注重考查學生對基本思想方法（如數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想等）的理解，要求學生不僅要有知識的積累，更要有解題方法的歸納，掌握常見的解題方法，并能研究通性通法，體會其中所蘊含的數學思想方法。其中涉及比較多的內容和方法有以下幾點。

（1）圓錐曲線的定義、標準方程及簡單幾何性質的應用。這是圓錐曲線的基礎內容，在2017年高考各省（區、市）的試卷中都有這方面內容的試題，重在考查基礎知識、基本方法，以選擇題、填空題為主，為中檔題目。

（2）求曲線方程的問題，所涉及的求解方法有定義法、軌跡法、待定系數法等，是高考中的常規題型，解題的關鍵是數形結合，建立起各變量間的等量關系。

（3）圓錐曲線結合了函數、向量、不等式、三角函數和幾何知識，是考查學生的綜合運用能力的重要載體。向量具有代數與幾何的雙重身份，因此解析幾何與平面向量的交匯整合是2017年高考命題的一個熱點;涉及圓錐曲線的弦長、三角形面積的最值問題，常常可以轉化為求函數的最值。因此三角函數、導數、不等式等知識為這類問題的解決提供了新視角，這類問題在2017年高考中也得到體現。

二、圓錐曲線解題思路

（一）解析幾何的核心思想一用代數的方 法解決幾何問題。其核心的解題方法是坐標法。所謂坐標法，就是建立坐標系，把幾何對象轉化為代數對象，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數工具、方法研究并獲得結論，然后再解釋幾何對象。

（二）求圓錐曲線軌跡方程的考察題型

求圓錐曲線的軌跡方程步驟可以簡單概括為：建設現代化。即建立坐標系、設曲線上任意一點即相關點的坐標、根據題目條件列出方程、化簡方程。

（三）求直線的斜率、線段長度、方程等問題

這類題通常和向量、三角函數等部分的知識聯合考察，對學生處理數學問題的綜合能力提出了較高的要求。

（四）圓錐曲線和直線的位置關系問題

直線和圓錐曲線的位置關系也是經常考察的內容，一般是從代數和幾何兩部分確定解題思路。直線和圓錐曲線之間有三種關系：相交、相切、相離。解答這種類型的題要充分掌握圓錐曲線的定義，利用數形結合的方法解答可以簡化問題。

（五）圓錐曲線和圓結合的問題

圓錐曲線和圓綜合考察的問題非常具有挑戰性，能夠充分考察學生的數學知識掌握能力和靈活運用能力。要熟練掌握圓的基本特性和計算的圓的方程，才能快速的和圓錐曲線連接起來，快速的解答出答案。

（六）圓錐曲線和向量的綜合問題

圓錐曲線和向量的結合考察通常是利用向量之間的關系來得出坐標之間的數量關系。有的是問題以向量形式出現，有的是求的問題用向量的形式考察，總而言之，用向量語言表達幾何關系是命題人越來越鐘愛的問題。學生在解答這類題型時一定要先掌握向量部分的基礎知識，了解向量的意義。解答圓錐曲線和向量的結合題目關鍵是利用向量的幾何意義和坐標化進行轉化，然后利用圓錐曲線的知識進行解答。這類題往往要用到向量的特性，而且需要結合一元二次方程。

三、教學問題

圓錐曲線的解題教學方面存在兩個不良傾向：

（1）刻意地把幾何條件的轉化當作所謂的‘亮點”有的教師選擇一些幾何條件復雜、不易轉化利用的題目，竭力分析如何巧妙轉化，這樣只能增加教師授課的吸引力，但沖談了解析幾何基本思想的落實。有的教師從幾何條件的分析轉化出發，列出多種方法，剩下的運算留待學生完成。事實上，幾何條件的轉化是為坐標法的順利實施提供支持的。綜觀各套高考試題，考生在讀懂題意方面沒有較大障礙，能夠盡快厘清條件信息，找到解題思路。其中，幾何條件的轉化并不復雜。

（2）過分的模式化訓練。好多教師習慣于題型歸類、方法總結。比如有的教師從易到難劃分題型：位置關系問題、最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性探索性問題，等等，并且加以解題訓練。通過各類題目總結許多“解題模式”，這樣會給學生帶來負面的“條件反射”事實上，不管何種題型、不論如何變化，說到底只有一種方法一坐標法。

四、如何提升學生解圓錐曲線題的能力

圓錐曲線的內容一直是中學數學學習的重點和難點，其知識點繁多，對考生運算能力、綜合性都要求很高，分析以上高考命題的特點和趨勢，我們在復習過程中始終要做好以下幾點。

（1）夯實基礎，回歸課本

要對課本中的圓錐曲線的定義、基本性質理解透徹，回到課本中去，回到基礎中去，理清知識發生的本源，搭建高中數學基礎知識的網絡。注重常規問題的基本解法，抓住通性通法。高考試題很多是源于課本的例題、習題，因此，對于課本上的例題、習題，我們應通過充分挖掘、延伸、變式，落實對知識點的深刻理解，起到舉一反三的作用。

（2）強化運算

在幾何問題代數化的過程中，必然會帶來繁雜的運算，中學階段對運算能力的要求集中體現在這里。在運算求簡的過程中，常見的方法有：回歸定義，以簡馭繁;設而不求，整體運算;充分運用圖形幾何性質，簡化計算;利用韋達定理化繁為簡;選用方程適當形式，減少運算量。

（3）訓練思維，提升方法

高考試題側重于考查知識的綜合靈活運用，著眼于知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過難，著眼于對數學思想方法、數學能力的考查，要求以數學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內在聯系。因此在學習過程中要看清知識發生的本源，看透知識的形成過程、推廣過程和運用過程，不僅能掌握具體的數學知識，而且也能感受、領會、形成、運用內在的思想方法。

參考文獻

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（作者單位：柳城縣中學）