MIMO中繼系統的信道估計算法的研究

張魁元，李建平

(中國傳媒大學信息工程學院，北京100024)

1 引言

MIMO技術的出現改變了通信發展的新格局，帶來了新的研究熱潮。在MIMO通信系統中加入中繼模塊，可以減少信號傳輸的衰弱現象，還可以大幅度擴大網絡的覆蓋面積[1-2]。在MIMO中繼系統中，很多技術需要在知道信道狀態信息的情況下才能進行研究，比如功率分配[3]、編解碼技術[4]、天線選擇[5]、信道容量[6]等。但是，如果不能知道精確的信道狀態信息，就會造成系統性能的下降。因此，有效的進行信道估計對于中繼系統具有重要意義。

目前有很多對MIMO中繼系統的研究工作[7-8]。文獻[7]提出一種MIMO兩跳中繼信道進行估計的方法。這里和其他文獻一樣，也使用了AF協議。當發送功率受到一定的限制時，對信源到中繼節點的信道估計問題作出優化，并且將信號分解成多個分量，使得代價函數更加簡單。雖然求出了最佳的導頻信號，但是它使用的是不斷嘗試取值來求解最佳情況，這會消耗一定的復雜度。文獻[8]分析了發送節點的最佳信道訓練序列情況。但是，這里是利用從中繼到信宿的傳輸部分所得到的信道狀態信息的估計結果，來分析信源到中繼部分的狀態信息做估計。也就是說，將后一部分的估計結果作為條件來估計前一部分的內容，得到另一個估計的值。這樣的話如果已估計的值有一定誤差的話，就勢必會影響其他估計的值，可能會使得估計效果變得有問題。

本文是基于PARAFAC模型下的信道估計方法，通過構造具有分解唯一性的PARAFAC模型，利用文獻[1]相同的ALS算法，并在此基礎上，在算法里加入松弛因子，并對它選取適當的值。利用ALS算法的信道估計結果作為初始值，然后將初始值放到擁有松弛因子的ω-ALS的算法中進行迭代更新，最終使其收斂。通過對復雜度以及性能的分析，進一步提高了算法的收斂性，減少了ALS算法由于初始值的隨機性所造成的不穩定性，更進一步減小了算法迭代次數和算法復雜度。

2 引入松弛因子的結合算法的估計

2.1 系統模型的介紹

由圖1可知，MIMO系統由三個部分組成，它們分別是信源節點、單中繼以及信宿組成，中繼節點采用放大轉發形式。我們設定這三個節點分別有M、R以及N根天線數目。為了分析信道的估計，我們把模型簡單化，信源直接到信宿的信號傳輸不在本文的研究范圍之內，只是考慮中繼節點兩邊的信道。我們把兩個部分的信道用分別H1以及H2表示，這兩個信道我們定位準靜態平坦衰落信道，其中H1∈R×M、H2∈N×R，信道中的所有元素都服從復高斯隨機變量，即均值是0與方差是1的獨立同分布形態。

圖1 MIMO中繼系統模型

所提方法包括2個階段，第1個階段包含1個時間塊，第2個階段包含K個時間塊，其中，每個時間塊包含L個時隙。假設信道CSI(信道狀態信息)在這2個階段內是恒定不變的，且信宿已知2個階段的中繼放大矩陣。在第1階段，信源發送正交信道訓練序列S∈CN×L，其中SSH=IN。中繼接收的信號Yr∈CL×R和信宿接收的信號Yd∈CM×L分別表示為：

Yr=H1S+Wr

(1)

(2)

(3)

將式(3)的兩邊同時乘以 SH可得：

(4)

(5)

考慮一個H維矩陣X∈CM×N×P，它的PARAFAC模型的標量形式可表示為：

(6)

式中：m=1，2，3，...，M，n=1，2，...，N。X(m，n，p)是X的對應元素，H2∈(m，r)，H1∈(r，n)和Q∈(p，r)表示PARAFAC模型的三個加載矩陣，kH2，kQ與kH1分別表示H2，Q和H1的Kruskal秩[9]，若滿足：

kH2+kQ+kH1≥2R+2

(7)

則可以說明加載矩陣符合本質唯一性。將PARAFAC標量模型X(m，n，p)根據式(7)進行剖面展開得到三個式子：

(8)

(9)

其中，符號⊙表示Khatri-Rao矩陣乘積。

2.2 引入松弛因子的信道估計

本文提出一種ALS和ω-ALS兩種算法相結合的方式來擬合PARAFAC模型，利用ALS的估計結果來作為ω-ALS的初始值，從而估計出信道矩陣H1和H2，然后利用Kruskal-Rao的乘積公式將式(8)(9)相互迭代。首先隨機初始化H1和H2，并將Q的初始值提前設定。

松弛因子一般的作用是改善一個算法迭代的收斂情況，可以根據具體的情況或者要求來加快或者減慢算法的收斂速度。當然，減慢收斂速度肯定是對算法所帶來的穩定性有一定的要求。當ω等于1時，它相當于不使用松弛因子，和原算法一樣；當ω的值大于1時，我們稱為超松弛因子，它的作用是把指定算法的收斂速度變快；而當它的值小于1時，我們一般稱作欠松弛因子，它主要的目的是改善運算過程的穩定性。一般情況下，我們根據具體的情況來擇優松弛因子的數值。比如說如果算法的收斂情況不太好的時候，我們可以加入一個值小于1的欠松弛因子，這樣可能就會改善一定收斂條件。其中Fluent算法里就是加入了欠松弛因子，這樣的話兩次迭代值相差減小可以防止迭代過程中可能發生的發散現象。當然這樣的話收斂速度就會有些不理想。

一般情況下，松弛因子的取值在0到2之間。如果松弛因子越大，算法的計算速度越快，但是結果就會變得越不穩定，也就是說很難收斂。如果把松弛因子變小，結果容易穩定，但迭代次數會變多，收斂速度回變慢。當然松弛因子數值的選取，還要根據具體的模型算法來決定，適當的選取松弛因子的數值范圍，才能達到想要的效果。

對于ALS算法，通過每一次迭代，利用式(9)、(10)、(11)得到：

通過LS擬合來更新H1

=(Q⊙H2)+X(1)

(10)

(11)

通過式(11)(12)不斷更新來保持LS擬合。ALS算法在第t次迭代的代價函數上是：

(12)

(13)

(14)

其中松弛因子ω一般情況去固定的值，通常取1.2，1.3等。

然后將得到的新的估計值代入(11)(12)中進行迭代更新運算來提高LS擬合，直到滿足收斂條件為止。

結合算法的實現步驟總結如下：

結束。否則跳轉到步驟(2)

(7)根據步驟(2)(3)(4)求得估計值，如果|γ(t)-γ(t-1)|/γ(t)=ε(ε=10-6)，迭代更新結束。否則跳轉到步驟(7)。

2.3 算法復雜度的分析

—個具體數值為例，在下文的表中，當M=N=R=4和P=3時，ALS算法需要120次迭代才能達到收斂，每次迭代所需要的乘法數目為1764。結合算法第一部分需要58次迭代達到收斂條件，第二部分需要30次迭代達到收斂要求。一個算法的計算復雜度不僅僅是知道單次的迭代復雜度，還要知道收斂時所提的算法所需要的迭代次數。一般情況將以上兩點想成之后就會得到最終的算法復雜度。那么采用結合算法共需要88次疊法，因化采用結合算法，算法共節省了28%的乘法。

下面的表1表示了兩種算法在仿真運行時所需要的時間，其中時間以秒為基本單位，運算用時取到小數點后三位。一般情況下，CPU的用時可以說明一個算法在算法復雜度上的不同。那么由表1可知，不同的發射功率Q下，引入松弛因子的ALS算法在MIMO中繼模型下所需要的時間都比ALS算法更少，說明引入松弛因子ALS算法的工作效率更好，這也就是說它的算法復雜度更低，速度更快。

表1 不同算法CPU運行時間

3 仿真與分析

利用仿真技術對所提算法的性能進行簡單分析，并與原有的ALS算法進行比較。

所提算法的性能由歸一化均方誤差(NMSE)來表示，定義由式(15)表示：

(15)

我們假設，信源與信宿的天線數目相同，且導頻信號L與信源天線數相同，令N=M=L=4。其中松弛因子取1.4，中繼信噪比為20db。H1與H2矩陣為均值為0方差為1的獨立同分布的復高斯隨機矩陣.有圖顯示，隨著信噪比的不斷增加，所提算法的性能不斷降低。

圖2考察了引入松弛因子的算法與原算法ALS的性能比較，假設訓練塊P=3。由仿真圖可以看出，隨著信噪比增加，兩種算法的估計結果都越來越好。所提算法和原算法的曲線走勢幾乎重合，兩者的NMSE近乎相同。由算法復雜度的表格得知，所提算法在性能幾乎不變的前提下，一定量的降低了算法復雜度，提高了算法的收斂速度。

圖2 兩種算法的性能比較

圖3考察天線數對所提示算法的性能影響。當令M=N=R，當天線數分別為4和5時，顯示在不同信噪比下引入松弛因子后的性能曲線，從圖中表明，信噪比在增大，H1與H2的NMSE的值在變小。這樣一來，通過引入更多的天線數量，使得信道估計的結果更加準確，性能變得更好。這說明：在多天線系統中，雖然在信號傳輸過程中會存在信道衰弱現象，但是由于天線數的不斷增加，它們之間的分集作用越強，使得利用空間分集技術可以進一步的改善衰落現象。最終讓整個MIMO系統傳輸信號時更加穩定。

圖3 不同天線數的性能對比

圖4考察了在相關信道的條件下，強相關與弱相關對于所提算法H1與H2信道估計的影響。在本文中采用了Kronecker模型[11]：

圖4 加入信道相關性后性能的變化

圖5分析了信道訓練數目S對系統性能的影響。由圖可知，當信道訓練數目增加時，隨著信道訓練數目的增加，信道矩陣H1、H2的NMSE都變小了，得出所估計的系統性能變的更好。這說明由于訓練符號增多，導致可獲得的信道狀態信息更多。這樣一來，在信道估計時，能夠更加準確地得出結果。當然增加過多的訓練數目會導致浪費一部分的帶寬使用情況，使得頻帶使用率降低。

圖5 訓練數目不同對性能的影響

4 結論

本文提出了一種基于PARAFAC模型的信道估計算法，在算法中引入了松弛因子，將ALS算法分成兩個部分，其中一部分收斂到一定程度后再加入松弛因子進行迭代，直到達到收斂條件為止。在與原有算法性能精度幾乎一樣的前提下，降低了算法復雜度加快了收斂速度。對于MIMO中繼系統的研究有著一定的參考價值。