基于多目標的平面折疊優化問題的研究

康彤，張紅

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

1 引言

創意平板折疊桌，來自設計師Robert van Embricqs的創意，算是平板餐桌的姐妹篇 ，它可以從一個平面的木板變成一個完整的邊桌，同時也可從一個造型優美的邊桌變成一個固態的平行木板。

2 問題敘述

本題一個關于在設計平板折疊桌的實際問題中同時要考慮桌子的穩定性、加工易度和材料用量的多目標優化問題。我們假定折疊桌的尺寸120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，通過觀察折疊桌動態變化過程，得到平板折疊桌在動態變化過程中，每條桌腿上的鋼筋到xoy平面的距離時刻相同，到xoz平面的距離也時刻相同。我們根據這些信息利用LINGO編程就可以得到給定折疊桌的動態變化模型、桌腿木條開槽位置以及桌腿木條開槽長度。

2.1 符號說明及名詞定義

Lboard 平板木材的長度Wboard 平板木材的寬度Tboard 平板木材的厚度dleg 平板折疊桌每條腿的寬度n 平板折疊桌桌腿數量的四分之一θi 第i個桌腿與桌面的夾角,其中i=(1,2,,n)lileg 第i條桌腿的長度,i=1,2,,ndicaomax 第i條桌腿的上開槽與桌腿底部的最遠距離,i=1,2,,ndisteel 折疊桌展開過程中,第i條腿上的鋼筋與桌腿底部的距離,i=1,2,,ndicaomin 第i條桌腿的上開槽與桌腿底部的最近距離,i=1,2,,nlicao 第i條桌腿的上開槽的長度,i=1,2,,ndsteel 第n條桌腿(最外側桌退)上鋼筋固定處與桌腿底部的距離Htable 平板折疊桌使用時的高度xi 第i個平臺不屬于時取1,屬于時取0tipi 第i個桌腳邊緣點tipxi 第i個桌腳邊緣點的x軸坐標tipyi 第i個桌腳邊緣點的y軸坐標tipzi 第i個桌腳邊緣點的z軸坐標

2.2 模型建立與求解

2.2.1 建模準備

首先我們建立以桌面底面中心為原點的空間直角坐標系O_xyz，其中平板長邊平行于y軸，寬邊平行于x軸(如圖1)。由于桌子關于坐標原點前后左右對稱，故以下大多地方的討論都是在第一卦限和第五卦限范圍內。從圖1中可以發現在第一卦限和第五卦限范圍內桌腿的數目是折疊桌總桌腿數量的1/4(n)，木條的數目是折疊桌總木條數目的1/2。

示意圖①

示意圖②圖1 空間直角坐標系中的折疊桌示意圖

2.2.2 桌面模型的設計

先把桌面看成一個規則的圓利用幾何畫板畫出桌面形狀(如圖2所示)。由于桌面上下左右對稱的，我們只需要考慮桌面在第一象限的的形狀即可。

圖2

利用MATLAB軟件建立一個只要輸入桌腿的個數、木板的長度、桌面半徑，就可以返回腿長的數據，其中里面的計算步驟是先求出節點(圖1中線段與圓的交點)的橫坐標，即

其中r表示圓的半徑、i表示第i個節點(節點編號從中心向外側依次為1、2、、r)。

關于桌腿的長度的計算我們先給出幾個計算的方案，最后發現當桌腿的長度取1/2板長與兩節點橫坐標之和的差值時，桌面比較好看(如圖3所示)，即

示意圖①

示意圖②圖3 桌面形狀示意圖

2.2.3 動態變化模型的建立

通過觀察分析折疊桌動態變化過程，得到平板折疊桌在動態變化過程中，每條桌腿上的鋼筋到xoy平面的距離時刻相同，到xoz平面的距離也時刻相同，因此可以分別記為Steelxoy和Steelxoz。根據第i條桌腿和桌面的位置關系(圖4)，可以得到：

(1)

(2)

其中Tboard為平板沿y軸方向的長度。

圖4 第i條桌腿和桌面的位置關系

同時我們發現折疊桌在動態變化過程中總是只有最外側的4條腿著地(圖5①)，故折疊桌的高度應取決于最外側的桌腿，也就是第n條腿(圖5②)。容易得到第n條桌腿與折疊桌變化過程中的高度htable的關系。

(3)

①

②圖5 第n條桌腿與折疊桌高度的關系

實際生活中，設計的折疊桌必須能夠實用才有意義(圖6①)，對于由活動鉸鏈連接的折疊桌，當所有桌腿與桌面的夾角都小于π/2，則在承載重物時將有失穩定性；當存在夾角大于π/2的桌腿，將形成剪式結構，使穩定性得到保障。另外，從物理學角度分析：若存在夾角大于π/2的桌腿，在桌腿之間的受力情況會出現如圖6②所示的情形，F1為地面對最外側桌腿(第n條腿)的支持力，F2為鋼筋對最內側腿(第1條腿)的支持力，F合為兩桌腿對桌面及其桌上物體的支持力。顯然此情況下桌腿的穩固性得到了保障。若所有桌腿與桌面的夾角都小于π/2，顯然最外側的桌腿所受合理的方向偏向左，左腿會向左滑動，折疊桌就失去了穩定性。

故折疊桌可以正常使用的充要條件是最外側桌腿滿足

(4)

另外，最內側的桌腿滿足

(5)

① ②圖6 桌子受力示意圖

綜上所述，聯立公式(1)-(5)，并考慮到變量的范圍可以建立刻畫平板折疊桌動態變化過程的初等模型

(1)動態變化模型

(2)給定折疊桌的桌腿長度的計算

利用MATLAB建立關于桌腿長度的程序文件，輸入此折疊桌的桌腿數量的1/4(10)、木板的長度120cm、桌面半徑25cm，就可以得到第一卦限和第五卦限內桌腿的長度(如表1所示)

表1 給定折疊桌的桌腿長度

3 總結

編程實現方面，使用了LINGO的子模型功能，大大降低代碼篇幅。完全使用文本文件實現MATLAB和LINGO間的數據傳遞，提高了自動化，降低了手工勞動量。