基于拱肋合理成橋狀態的扣索索力優化計算

趙砥，胡成，劉夢迪

(合肥工業大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009)

0 引言

通常上承式拱橋結構主要包括主拱、主梁、立柱等主要構件，而拱橋結構整體的合理成橋狀態就是其主要的受力構件均達到其各自的合理內力狀態。

拱肋在不同的荷載工況組合下，要保證其成橋內力狀態合理，就要控制恒載彎矩在較小的范圍，盡量使得拱肋截面處于均勻受壓狀態。拱肋作為一種將豎向力轉化為水平推力的結構，只有當拱截面內力主要以受壓為主才能充分發揮這一特點。而拱肋截面偏心距的大小直接反映了拱肋的內力狀態，因此主拱在成橋狀態下應該保證較小的截面偏心距[1-2]。

本文的索力優化研究主要是以扣掛法懸拼拱橋整體成橋時拱肋的內力狀態作為其合理成橋狀態的控制目標，并以此來建立拱肋懸拼合龍前的索力優化分析模型，并借助白水江特大橋實際工程進行數值有限元分析，以證明該優化方法的準確及有效。

1 工程背景

白水江特大橋主橋橋面系跨徑布置為22×16=352 m，主拱跨徑330 m，是一座上承式鋼箱桁肋拱橋[3]。橋型布置見圖1所示。

圖1 主橋橋型布置圖(單位：cm)

主橋拱肋為鋼桁架結構，上、下弦桿為小鋼箱截面，拱肋在橫橋向分為三片，為等高桁架，桁高(上、下弦中心線間距)8.5 m，拱肋鋼箱斷面內輪廓尺寸為1.4 m×1.0 m，內部設有縱向加勁肋，鋼桁拱肋上、下弦桿鋼箱壁厚從拱頂至拱腳分節段變厚。

拱上立柱為三柱式鋼箱桁架柱，立柱縱橋向間距為16 m，立柱截面為等截面鋼箱，鋼箱截面橫橋向尺寸為1.0 m，順橋向尺寸為1.6～1.26 m，內部設有加勁肋與橫隔板。當立柱高大于12 m時柱間設置交叉斜撐，立柱頂與剛格構主縱梁焊接。

主跨橋面系鋼梁采用鋼混疊合梁，鋼格構主梁主要由縱梁、次縱梁、橫梁構成，橫梁與縱梁之間采用栓焊結合的連接方式。

主橋拱肋依照排架立柱所處位置共劃分為10對拱段和一個合龍段，均采用纜索吊裝斜拉扣掛法施工。其懸拼總體布置圖如圖2所示。

2 非線性規劃模型

2.1 概述

圖2 懸拼總體布置圖

非線性規劃在做優化分析時，要明確工程實際中涉及的目標值、變量和約束條件三個因素，從而根據三者的關系建立起數學模型。非線性規劃模型常見形式如式(1)表示[4]。

(1)設計變量

在建立優化模型時，需要根據實際工程選擇特定的參數，其中用來改變自身數值來影響目標值改變的這組參數即為設計變量，設計變量常用X表示，在優化模型中一般用x1,x2,…,xn表示，構成向量X={x1,x2,…,xn}T。

(2)目標函數

目標函數要選擇最能貼切反映研究對象目標狀態的某一參數，而且目標函數與上述設計變量之間一定要有直接或間接的聯系，目標函數常用minf(x1,x2,…,xi)表示。

(3)約束條件

約束條件可以使設計變量在一個相對合理且具有工程意義的范圍內變化，起到限制的作用，約束條件常用gi(x1,x2,…,xn)=0和gj(x1,x2,…,xn)≥0來表示。

非線性規劃的求解方法主要有罰函數法、障礙函數法等，本文主要借助Matlab軟件編程進行目標函數的優化求解[5]。

2.2 懸拼拱橋合龍前索力調整優化模型

對于大跨徑拱橋由于其拱肋節段數量較多，扣索索力調整的次數也隨之增加，如果索力優化時仍然選擇全部扣索進行索力調整將會繼續增加施工工作量，也會降低施工安全性。因此本優化過程，只選擇部分扣索進行索力調整，拱肋合龍前結構的計算簡圖如圖3所示：

圖3 拱肋合龍前結構計算簡圖

本優化模型選擇的設計變量數目為n，即所選擇的索力調整的扣索數目為n，設n根扣索的索力改變量分別為 Δx1,Δx2,…,Δxn，用向量 X 表示，形式如式(2)所示：

本模型以成橋后拱肋的內力狀態作為控制目標，保證成橋后拱肋偏離彎矩較小以盡量使截面均勻受壓。截面受壓偏心距最能反映偏離彎矩的大小，因此以成橋后拱肋截面受壓偏心距作為依據[6][7]。本文選取拱肋上m個截面作為偏心距控制截面，并求解其偏心距平方和的算數平方根。則目標函數如式(3)所示：

上式中，Mj表示為索力調整后的成橋拱肋的偏心距控制截面j的彎矩值，Nj表示為索力調整后的成橋拱肋的偏心距控制截面j的軸力值。

通過計算分析設計變量改變對目標函數的影響，可以得到目標函數與設計變量之間的關系。

選取未進行索力優化狀態下成橋拱肋的最大應力截面作為應力控制截面，假設該截面為p個，選取其截面應力為約束條件。

2.3 優化模型求解過程

(1)合龍前大懸臂狀態下不進行索力調整，得到成橋時拱肋偏心距控制截面的彎矩值M0j、軸力值N；再計算提取應力控制截面的上緣應力0j及下緣應力

(2)將設計變量中的相關扣索改變單位力，得到成橋后拱肋偏心距控制截面的彎矩影響矩陣A和軸力影響矩陣B，應力控制截面上緣應力影響矩陣C和下緣應力影響矩陣D；

(3)由上述過程得到成橋狀態下拱肋偏心距控制截面的彎矩及軸力表達式；再計算目標函數偏心距平方和的算數平方根以及約束條件中截面上、下緣應力表達式；

(4)通過Matlab軟件，結合求得的目標函數以及約束條件表達式，建立針對非線性規劃問題的數學模型。

2.4 Matlab求解流程編制

Matlab中有很多適用于解決不同目標函數的已編譯程序可以進行直接調用，如求解非線性規劃問題中的最小值求解程序fmincon函數[8]。

可直接調用上述優化函數fmincon，建立白水江特大橋合龍前索力調整求解主程序，具體可見文獻[3]。

2.5 計算要點

(1)由于白水江特大橋拱肋是由上、下箱形截面弦桿和豎向腹桿拼接的桁架結構，因此控制截面的彎矩值M和軸力值N以及其改變量，可由該處上、下弦桿(箱形截面)彎矩值和軸力值及其改變量的平均值來代替，而上緣應力即取值上弦桿頂板應力，下緣應力即取值下弦桿底板應力。

(2)為了避免實際張拉時扣索張拉次數過多，只選擇空間上分布較遠的幾根扣索作為設計變量，以減小扣索之間的互相影響。白水江特大橋合龍前的索力優化調整選取兩岸3號、6號、10號共6根扣索進行局部索力調整分析。

(3)白水江特大橋拱肋偏心距控制截面為9個，即彝良岸拱腳截面、L/8截面、L/4截面、3L/8截面、L/2截面、5L/8截面、3L/4截面、7L/8截面、昭通岸拱腳截面。

(4)選取成橋后拱頂截面上緣和拱肋L/4截面下緣作為應力控制截面，并將這兩處截面應力作為優化模型的約束條件。

(5)fmincon函數的初始設計變量值可取x0=()10,10,10,10,10,10，即6根索力值可從10 kN開始迭代，為保證索力調整時拱肋線形不至于發生過大變化，索力改變量下限值取-300 kN，上限值取+300 kN(計算影響矩陣時單位力取1 kN)。

2.6 優化模型計算

將上述規劃模型參數代入到Matlab優化程序中，經過了69步迭代之后輸出了目標函數最優值和對應的設計變量值。迭代過程及計算結果如圖4所示。

圖4 目標函數迭代過程圖

白水江特大橋目標函數在數學模型優化前后目標函數值如表1所示。

表1 數學模型目標函數優化前后對比

如表1所示，未優化狀態下的目標函數為0.3616，優化之后目標函數變為0.2474，優化比例達到31.58%，說明拱肋偏心距控制截面的偏心距整體減小，拱肋均勻受壓性能有所改善。

3 有限元法驗證

為證明上述優化方法的準確性，進一步使用Midas Civil軟件進行全橋建模計算，如圖5所示。

在本算例全橋有限元模型中選擇梁單元建立模型，全橋共2717個單元，1433個節點。

圖5 Midas Civil全橋模型示意圖

3.1 目標函數優化結果

通過上述Matlab程序計算后輸出得到的設計變量值：x1=196.46 kN，x2=272.91 kN，x3=-164.88 kN，x4=-170.86 kN，x5=282.41 kN，x6=192.44 kN，將所得的這6根扣索的索力調整值代入有限元模型中計算，得到成橋后拱肋偏心距控制截面的內力和彎矩，并計算目標函數值。目標函數值優化前后如表2所示。

表2 正裝模擬目標函數值優化前后對比

分析表明，初始迭代值為0.3616，優化后目標函數減小為0.2512，優化比例達到30.53%。與表1相比兩表中得到的目標函數值不同，是因為在計算軸力、彎矩影響矩陣的時候是逐根張拉扣索進行求解得到的，即不考慮設計變量之間的互相影響，這與實際張拉情況并不完全一致，因此將得到的索力調整值代入有限元模型計算得到的目標函數與優化模型得到的結果有所差異。但對比可知，該差異值較小，因此利用該數學模型進行優化計算是準確的。

3.2 成橋后拱肋內力優化

優化前后的成橋拱肋內力結果如表3及圖6所示(圖中橫坐標1～64表示從彝良岸至昭通岸各控制截面)。

表3 恒載作用下控制截面內力優化前后對比

由表3可看出，雖然索力優化后對拱肋軸力的影響值較小，但是各截面彎矩絕對值均得到有效減小，優化幅度達28%以上。

優化前后的成橋拱肋彎矩對比如圖6所示。優化前拱腳處的彎矩較大，優化后兩岸拱腳截面的彎矩得到有效控制，偏心距較大的L/4處拱肋截面彎矩也得到了大為減低，表明拱肋合龍前選擇較少數目的扣索進行調整即可達到優化拱肋成橋內力的作用。

圖6 Midas Civil全橋彎矩分布圖

優化前后的成橋拱肋截面上、下緣應力變化分別如圖7、圖8所示，圖中橫坐標1～64表示從彝良岸至昭通岸各控制截面。

圖7 拱肋截面上緣應力優化前后對比圖

圖8 拱肋截面下緣應力優化前后對比圖

分析可知，合龍前進行局部扣索索力優化調整后，成橋時拱肋截面上緣最大壓應力為-24.8 MPa(小于優化前-33.59 MPa)，拱肋截面下緣最大壓應力為-27.0 MPa(小于優化前-34.0 MPa)，拱肋截面上、下緣應力均有所降低。

4 結論

本文以實現白水江特大橋合理成橋狀態所進行的合龍前的扣索索力優化為研究對象，闡述了利用非線性規劃和Matlab來解決優化問題的具體分析過程，并結合此工程項目進行計算分析，得出以下結論：

(1)扣掛法拱橋懸拼施工的索力優化調整在編制優化模型的求解程序時可直接調用Matlab軟件中提供的已編譯函數fmincon，計算結果可行。

(2)以成橋后拱肋偏心距控制截面的偏心距平方和的算數平方根作為目標函數構建的合龍前索力優化的非線性規劃模型符合實現拱肋合理成橋狀態的要求。

(3)有限元計算及分析對比表明，本文的索力優化模型是合理可行的。通過局部的索力優化即可使拱肋成橋內力狀態得到了較好的改善，拱肋截面更接近均勻受壓，同時截面彎矩值降低幅度可達28%以上。