太陽影子定位的模型構建及求解

張紅，康彤

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

1 引言

如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數據分析的重要方面，太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，來確定拍攝視頻的時間和地點的。

2 相關工作

2.1 問題分析

我們假設在明確了具體日期和當天時刻的情況下，確定影子的實際長度。為了預測長度和實際度更為接近，運用非線性最小二乘模型。根據我們求出影子的長度和赤緯角，然后以桿的長度為變量，假定經緯度初始值，建立數學模型，得出可能的地點坐標，根據太陽高度角的正弦值，把不符合的條件的坐標舍去，再根據所給日期，找出最終坐標，從而確定相應的地理位置。最后用兩種方法檢驗，一種是同時作出預測長度與實際影子長度差值擬合曲線圖，一種是影子向量與正北方向的夾角圖。

2.2 模型建立與求解

2.2.1 最小二乘法原理

測量中經常要觀測兩個有函數關系的物理量。根據兩個量的許多組觀測數據來確定它們的函數曲線，這就是實驗數據處理中的曲線擬合問題。在兩個觀測量中，往往總有一個量精度比另一個高得多，為簡單起見把精度較高的觀測量看作沒有誤差，并把這個觀測量選作x，而把所有的誤差只認為是y的誤差。設x和y的函數關系由理論公式

y=f(x，c1，c2，…cn)

(1)

給出，其中c1，c2，…cn是n個要通過實驗確定的參數。對于每組觀測數據(xi，yi)i=1，2，…N。都對應于xy平面上一個點。若不存在測量誤差，則這些數據點都準確落在理論曲線上。只要選取n組測量值代入式(1)，便得到方程組

yi=f(x，c1，c2，…cn)

(2)

式中i=1，2，…n求n個方程的聯立解即得n個參數的數值。顯然N

在N>n的情況下，式(2)成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得n個參數值，只能用曲線擬合的方法來處理。根據y的觀測值yi圍繞著期望值[f(x，c1，c2，…cn)]擺動，所以分布為正態分布，則yi的概率密度為

式中σi是分布的標準誤差。為簡便起見，下面用C代表(c1，c2，…cn)。考慮各次測量是相互獨立的，故觀測值(y1，y2，…yn)的似然函數

取似然函數L最大來估計參數C，應使

(3)

2.2.2 建立模型確定地點

根據附件1給出的北京時間、x坐標以及y坐標，運用勾股定理，可以計算出在這個時間段內的影子長度，并且我們運用MATLAB軟件檢驗了計算出桿的影子長度mi(x)，i=1…20。結果如表3所示。(代碼見附錄程序8)

表3 附件1根據坐標求出的影子長度

根據附件1，了解到當天日期為2015年4月18日，所以n為108，δ為10°16′，時間間隔Δt為3，初始時間t0為162分，最后時刻(t0+Δt)為222分。假設直桿所在的地理位置為(θ，φ)，由附件1我們得到2015年4月18日t→t+Δt時間段內影子的xy坐標，要想求出直桿所在的地理位置，我們計算出影子長度公式

mi(x)=G(φ，θ，t，n，l)

經度φ、緯度θ、時間t、一年中的天數n、桿長l為決策變量。以下分三種情況討論：

(1)假定桿長l為1.5米。根據6.1.3中影子長度計算公式，計算得到桿的影子長度ni(x)，i=1…20，運用最小二乘法原理，得到影子長度差值和的最小值

在不同初始條件下，建立模型：

從而可以計算出四個地點的坐標，如表4所示：

表4 桿長為1.5時可能地點的坐標

我們發現其中兩個地點的南北緯度大小相同，經度相差180度。但是日光能否照射是一大影響因素，根據太陽高度角的正弦值判斷，只有兩個點符合條件，且分別位于東經南北半球上。又由于時間為4月18日，所以可以確定只有(13.3708，117.9054)符合條件。利用Google地圖，確定出地點在南海。根據此地點得到的預測影子長度與實際長度擬合曲線圖如圖1所示。

圖1 影子長度差值擬合曲線圖

從圖中可以看出，影子長度mi(x)與ni(x)擬合程度相當好，從而可以看出我們得到的坐標準確且得當。

模型檢驗

為了驗證模型的有效性，我們通過附件2和附件3中給定的坐標轉動的角度值與在一小時內影子變化角度做出對比，如果變化角度相近，則說明該模型有效。

通過MATLAB軟件，計算出任意時刻中兩個變化角度中相差最大的一組值，繪出圖形如下(圖2)

圖2 影子向量與正北方向夾角圖

根據上圖2，由給定坐標影子長度變化與一小時內影子長度變化畫出的圖像，運用兩影子長度與x軸的余弦值，通過影子的之間的變化角度，判斷兩影子是否相近，說明模型是否有效。

(2)假定桿長l為0.5米，在不同初始數據下，通過建立的模型，從而可以計算出四個地點的坐標(-18.8243°，-70.7608°)(舍)，(1.7126°，-73.0371°)(舍)，(-1.7128°，106.9629°)(舍)，(18.8244°，109.2392°)，又由于時間為4月18日，所以可以確定只有(18.8244°，109.2392°)符合條件。確定出地點在海南。

(3)假定桿長l為4.5米，根據不同初始數據，由約束條件，計算出四個地點的坐標為(24.5156°，84.3270°)，(-3.8316°，83，2678°)(舍)，(-24.5156°，-95.6730°)(舍)，(3.8316°，-96.7322°)(舍)。這時確定出地點在印度。

3 總結

本文通過大量閱讀文獻，建立了一系列科學的假設，模型建立時將很多現實生活中影響到影子長度變化的因素進行分析，使得通過模型在現實生活中根據影子就可以來定位。此模型還可以應用于解決樓房采光問題，可以利用該模型建造更加經濟和科學的樓房。還可以應用與人影路燈長度的關系，利用此模型便可以判斷人的身高。