基于雙種群混沌鯨魚算法的自抗擾控制器參數(shù)整定

易 星 吳 昊

(南京交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息工程學(xué)院 江蘇 南京 211188)

0 引 言

自抗擾控制器(ADRC)[1]是一種具有強(qiáng)抗擾動(dòng)能力且不基于精確數(shù)學(xué)模型的強(qiáng)魯棒控制器。在控制過程中，自抗擾控制器可將模型內(nèi)擾和外負(fù)載擾動(dòng)作為總擾動(dòng)，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)并通過非線性誤差反饋控制率對(duì)所觀測(cè)擾動(dòng)給予補(bǔ)償。但非線性自抗擾控制器具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜且耦合參數(shù)過多的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)整定法難以整定出合理有效的參數(shù)[2]，導(dǎo)致在實(shí)際控制過程中常因參數(shù)整定不合理導(dǎo)致控制精度的丟失，很大程度上影響控制器的抗擾動(dòng)能力。因此非線性自抗擾參數(shù)整定問題成為當(dāng)下研究的重點(diǎn)[3]。

針對(duì)上述問題，大多學(xué)者結(jié)合了不同的智能優(yōu)化算法對(duì)非線性自抗擾參數(shù)進(jìn)行在線整定，如改進(jìn)的遺傳算法[4]、改進(jìn)的粒子群算法[5]、蟻群算法[6]、改進(jìn)的混沌粒子群算法[7]等。但絕大多數(shù)的智能算法尋優(yōu)機(jī)制過于簡(jiǎn)單，在自抗擾控制器參數(shù)尋優(yōu)的過程中，很有可能找到的都是局部最優(yōu)解，難以得到有效的控制參數(shù)，很大程度上降低了控制器的控制精度。因此本文提出一種基于雙種群混沌鯨魚優(yōu)化算法對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行在線尋優(yōu)。鯨魚優(yōu)化算法WOA[8](Whale Optimization Algorithm)是一種新的群體智能優(yōu)化算法，其優(yōu)點(diǎn)在于參數(shù)少，局部搜索能力強(qiáng)，但很難找到全局最優(yōu)解。針對(duì)此問題，本文提出雙種群協(xié)同機(jī)制和混沌策略對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，提高算法全局搜索能力，加快了算法后期的搜索速度。最后通過改進(jìn)后的鯨魚算法在線優(yōu)化自抗擾控制器，并以機(jī)械臂作為被控對(duì)象進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 自抗擾控制原理

自抗擾控制器由微分跟蹤器TD、非線性反饋NLSEF和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器ESO組成。其中：TD主要作用是提取系統(tǒng)輸入信號(hào)安排過渡過程；ESO將影響系統(tǒng)的“總擾動(dòng)”擴(kuò)張成新的狀態(tài)變量，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)并給予補(bǔ)償；NLSEF將誤差、誤差的微分和誤差積分三種信號(hào)以一種形式組合起來而形成的控制律。以二階非線性對(duì)象為例，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 非線性自抗擾結(jié)構(gòu)框圖

其中：v1和v2分別為TD給出的過度過程及其微分；NLSEF對(duì)誤差e1和e2進(jìn)行非線性組合，并輸出控制信號(hào)u0；ESO估計(jì)對(duì)象的各階狀態(tài)變量z1、z2和對(duì)象總擾動(dòng)實(shí)時(shí)作用量z3;b0為控制輸入放大系數(shù)。TD、ESO以及NLSEF的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

(1)

(2)

(3)

式中：r是快慢因子；h是步長(zhǎng)；β01、β02、β03、β1、β2是修正系數(shù)，也是控制器中待整定參數(shù)；函數(shù)fal(·)是一種非線性函數(shù)，是輸出誤差校正率，其表達(dá)式為：

(4)

其余參數(shù)由于一部分變化極其敏感，一部分對(duì)控制系統(tǒng)影響不大，因此可事先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)先行設(shè)定。本文選取TD中r=100，h=0.01；ESO中的a1=0.5，a2=0.25，δ=0.01。

針對(duì)非線性自抗擾參數(shù)難整定以至于影響控制精度和抗擾動(dòng)問題，選取ITAE作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，采用雙種群混沌鯨魚算法進(jìn)行在線優(yōu)化，其系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 基于DCWOA算法的ADRC系統(tǒng)框圖

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法是一種高效的新型啟發(fā)式優(yōu)化算法，其尋優(yōu)方式是基于模擬鯨魚狩獵所得出的。該算法主要包括三個(gè)階段：包圍獵物、螺旋狩獵和搜索食物。對(duì)于鯨魚優(yōu)化算法而言，鯨魚種群中任意一只鯨魚所在的位置都可以表示為一個(gè)決策變量。

(1) 包圍獵物：

座頭鯨在狩獵的時(shí)候要包圍獵物，其數(shù)學(xué)模型如下：

D=|CX*(t)-X(t)|

(5)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(6)

式中：t表示為迭代次數(shù);A和C為系數(shù)矩陣;X*(t)為當(dāng)前最優(yōu)的鯨魚位置向量;X(t)表示當(dāng)前鯨魚的位置向量，A和C由下面的公式得出：

A=2a×r1-a

(7)

C=2×r2

(8)

式中：r1和r2為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)；a的值在(0,2)之間并線性遞減；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

(2) 螺旋狩獵：

首先由于鯨魚在捕食過程中是以螺旋運(yùn)動(dòng)方式包圍獵物的，因此其捕食行為的數(shù)學(xué)模型如下：

X(t+1)=X*(t)+Dp·ebl·cos(2πl(wèi))

(9)

式中：Dp=|X*(t)-X(t)|代表鯨魚和獵物之間的距離；X*(t)表示迭代過程中最好的位置向量；b為常數(shù)，螺線的形狀隨b的取值而改變；l是(-1,1)中的隨機(jī)數(shù)。

其次鯨魚在通過螺旋狩獵游向獵物的同時(shí)還要收縮包圍圈。因此在該模型中，假設(shè)有Pi的概率選擇收縮包圍機(jī)制和(1-Pi)的概率選擇螺旋模型來更新鯨魚的位置，其數(shù)學(xué)模型如下：

(10)

由數(shù)學(xué)模型可得，鯨魚在靠近獵物時(shí)會(huì)減小a的值，這樣A的波動(dòng)范圍也隨a下降。在迭代過程中當(dāng)a的值從2到0下降時(shí)，A是在[-a,a]內(nèi)的隨機(jī)值，當(dāng)A的值在[-1,1]內(nèi)時(shí)，鯨魚的下一個(gè)位置可以是它現(xiàn)在的位置和獵物的位置之間的任意位置。

(3) 搜索獵物：

搜索獵物采用隨機(jī)個(gè)體位置尋找獵物，其數(shù)學(xué)模型如下：

D=|CXrand-X(t)|

(11)

X(t+1)=Xrand-A·D

(12)

式中：Xrand是隨機(jī)所得的位置向量，算法設(shè)定當(dāng)A≥1時(shí)，隨機(jī)選擇一個(gè)搜索領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體，并通過領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體的位置來更新其他鯨魚的位置，以此引導(dǎo)鯨魚離開當(dāng)前獵物，借此找到更合適的獵物，目的是加強(qiáng)算法的全局搜索能力。

2.2 雙種群混沌鯨魚優(yōu)化算法

WOA能有效地算法跳出局部最優(yōu)，本文提出一種基于混沌序列和雙種群尋優(yōu)策略的雙種群混沌鯨魚優(yōu)化算法DCWOA，改進(jìn)后的算法使得收斂速度和收斂精度大幅提升。

首先，針對(duì)算法隨機(jī)初始化導(dǎo)致算法收斂速度慢的問題，本文采用混沌序列代替算法傳統(tǒng)的隨機(jī)初始化方式。混沌現(xiàn)象是在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中表現(xiàn)的確定性、類隨機(jī)的過程。混沌運(yùn)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)初值極度敏感，可在一定范圍內(nèi)，按照一定的自身規(guī)律，不斷對(duì)所有的狀態(tài)進(jìn)行遍歷。因此，本文采用Logistic映射產(chǎn)生混沌序列來對(duì)WOA中粒子的位置進(jìn)行初始化，其表達(dá)式表示為：

xn+1=μxn(1-x)xn∈[0,1],μ∈[0,4],n=0,1，…

(13)

式中：當(dāng)μ=4時(shí)，式(13)呈現(xiàn)完全混沌狀態(tài)，得到的x序列為[0,1]的滿映射。由于傳統(tǒng)鯨魚優(yōu)化算法的初始化方式是隨機(jī)初始化，導(dǎo)致每次搜索結(jié)果差別較大，粒子初始化后分散性較大，采用混沌序列的方式對(duì)WOA算法進(jìn)行初始化，在保留粒子多樣性的基礎(chǔ)上，使算法具有較大范圍的搜索能力。

其次，加入混沌序列雖然有效提高了算法的收斂速度，但并沒有解決算法在尋優(yōu)中會(huì)陷入局部最優(yōu)的情況，因此本文考慮一種雙種群尋優(yōu)策略。將通過混沌初始化后的種群隨機(jī)平均分為兩個(gè)子種群s1和s2，其中：種群s1中的個(gè)體按基本鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu)；種群s2中的個(gè)體在尋優(yōu)過程中，加入變異策略，使算法在尋優(yōu)過程中具有一定的指引性。當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)跳變，使得個(gè)體跳出局部最優(yōu)。由于傳統(tǒng)鯨魚優(yōu)化算法和加入變異后的鯨魚優(yōu)化算法在產(chǎn)生新個(gè)體上的方式有所不同，因此，本文將兩者的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行了結(jié)合，并引入混沌序列對(duì)種群進(jìn)行初始化，提出了一種雙種群混沌鯨魚優(yōu)化算法。其變異公式為：

(14)

Step1通過混沌序列對(duì)WOA種群進(jìn)行初始化并隨機(jī)產(chǎn)生兩組規(guī)模為N/2的初始種群作為種群和種群。

Step2分別對(duì)種群s1和s2中每個(gè)個(gè)體求解相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值。

Step3若當(dāng)前迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)，跳轉(zhuǎn)Step8，否則繼續(xù)執(zhí)行Step4。

Step4種群s1依照DCWOA算法尋優(yōu)機(jī)制對(duì)粒子進(jìn)行更新。對(duì)種群s2采用WOA對(duì)粒子進(jìn)行更新，并計(jì)算更新后粒子的適應(yīng)度值，對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行保留。

Step5選擇：用m個(gè)部分隨機(jī)的新個(gè)體替換種群s1中適應(yīng)度函數(shù)值較差的m個(gè)個(gè)體。

Step6變異：利用基因突變方法從而改變種群s1中的部分個(gè)體的特性，并對(duì)變異后的個(gè)體進(jìn)行邊界處理。

Step7比較種群s1和種群s2中的最優(yōu)個(gè)體，判斷是否滿足交換條件，如滿足交換條件則將較好的個(gè)體交換到種群s1中，將較差的個(gè)體交換到種群s2中，之后轉(zhuǎn)入Step4。

Step8輸出最終計(jì)算結(jié)果。

3 算法性能測(cè)試

為了驗(yàn)證本文所提DCWOA算法的有效性，選取7個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果分別與基本鯨魚優(yōu)化算法(WOA)、混沌粒子群算法[7](CPSO)、改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法[9](AWOA)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。其中4種算法的種群規(guī)模為30，迭代次數(shù)均為200。具體的測(cè)試結(jié)果如表1所示，其中加粗字體表示最好的結(jié)果。

表1 7個(gè)不同測(cè)試函數(shù)的仿真計(jì)算結(jié)果

通過表1可得，DCWOA算法的整體性能比其他3種算法更為高效。對(duì)測(cè)試函數(shù)Ackley’s，相比其余3種算法而言，DCWOA尋找理論最優(yōu)值更加穩(wěn)定，搜索精度更高。對(duì)測(cè)試函數(shù)Beale’s、Booth’s、Threehump和Ackley’s來說，DCWOA算法在AWOA算法的基礎(chǔ)上大大提高了精度。對(duì)于Lévi來說，DCWOA在控制精度上是略低于CPSO算法，但依然優(yōu)于WOA和AWOA。對(duì)Easom而言，相比WOA算法，DCWOA在精度上略有不足，但卻優(yōu)于其他2種算法，同時(shí)也更加穩(wěn)定。結(jié)果表明，在絕大部分的測(cè)試函數(shù)上，相比其他3種算法，DCWOA算法可以找到精度更高，收斂速度更快的最優(yōu)解。因此DCWOA是一個(gè)具有高效性的優(yōu)化算法，并且可用于優(yōu)化自抗擾參數(shù)。

本文選取DCWOA算法對(duì)ADRC參數(shù)進(jìn)行在線優(yōu)化，并選取ITAE指標(biāo)做為算法的目標(biāo)函數(shù)，其中ITAE指標(biāo)[10]的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(15)

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，選取CPSO與DCWOA進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，具體結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 第一組參數(shù)尋優(yōu)

圖4 第二組參數(shù)尋優(yōu)

圖3和圖4為CPSO和DCWOA算法對(duì)兩組ADRC參數(shù)整定過程中的評(píng)價(jià)函數(shù)優(yōu)化曲線。DCWOA算法相較CPSO而言，具有更高的搜索精度，更快的搜索速度，很大程度上提高了ADRC的控制精度。在尋優(yōu)范圍上，DCWOA遠(yuǎn)大于CPSO。在算法尋優(yōu)初期，DCWOA算法得到的評(píng)價(jià)函數(shù)值的下降速度明顯優(yōu)于CPSO，說明DCWOA的尋優(yōu)初值要好于CPSO，因此可得到比CPSO更快的尋優(yōu)速度，使算法整體的優(yōu)化效率得到提升，且評(píng)價(jià)函數(shù)值更小，故DCWOA可以更好地得到控制器參數(shù)。最后為了驗(yàn)證本文方法的高效性，在MATLAB上獨(dú)立運(yùn)行DCWOA、AWOA、WOA和CPSO算法各50次，并記錄平均時(shí)間分別為5.34 s、6.88 s、7.33 s和6.02 s。因此驗(yàn)證本文算法復(fù)雜度更低，優(yōu)化時(shí)間更短。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文以兩自由度串聯(lián)機(jī)器人[11]為被控對(duì)象，通過DCWOA算法對(duì)ADRC參數(shù)進(jìn)行在線整定，并與其他3種控制算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法可以有效地整定ADRC參數(shù)。其中機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)方程為：

(16)

式中：D為慣性矩陣；C為離心力矩陣；G為重力矩陣；τ為控制率，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(17)

首先，通過DCWOA在線整定ADRC參數(shù)，其中：β01=98.375，β02=298.462，β03=95.42，β1=29.42，β2=30.25。

其次，通過優(yōu)化后的自抗擾控制器對(duì)兩自由度機(jī)械臂進(jìn)行軌跡控制，通過對(duì)比不同控制方式所得到的控制結(jié)果，驗(yàn)證了本文方法具有更好的控制效果。其控制結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 基于不同算法的q1誤差跟蹤對(duì)比圖

圖6 基于不同算法的q2誤差跟蹤對(duì)比圖

圖5、圖6分別為DCWOA整定后的ADRC與AWOA整定后的ADRC、CPSO整定后的ADRC、WOA整定后的ADRC以及經(jīng)驗(yàn)整定法整定后的ADRC對(duì)于角度q1和角度q2的控制誤差對(duì)比圖。從圖中可得DCWOA整定后的ADRC的控制精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他4種控制方法，且可以更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)時(shí)間更短。由此可得，本文算法可以有效地整定ADRC參數(shù)。

5 結(jié) 語

本文針對(duì)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)整定法難以整定非線性ADRC參數(shù)問題，提出了一種雙種群混沌鯨魚優(yōu)化算法。算法針對(duì)傳統(tǒng)鯨魚優(yōu)化算法尋優(yōu)緩慢的問題，通過引入混沌序列加以改進(jìn)。針對(duì)算法在尋優(yōu)過程中陷入局部最優(yōu)問題，提出了雙種群尋優(yōu)的方式加以改進(jìn)，克服了算法的原有缺陷，并先后通過測(cè)試函數(shù)和評(píng)價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證了算法的有效性。最后以兩自由度串聯(lián)機(jī)器人為被控對(duì)象進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，通過跟蹤誤差的對(duì)比結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的高效性，證明本文所提方法可以有效整定ADRC參數(shù)。