一類對稱循環行列式的性質

【摘要】 本文利用引理1：∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！和引理2：∑ p-1 k=0 （-1）k（k+m）pCkP-1= 1 2 （-1）p-1（p-1+2m）p！ （這里m=1，2，…，p+1）研究和證明了p+1階行列式Dp+1=|dij|，dij=（i+j-1）pi，j=1，2，…，p+1的性質.

【關鍵詞】 行列式;代數余子式

設p是任意給定的正整數，令dij=（i+j-1）pi，j=1，2，…，p+1，對p+1階行列式Dp+1=|dij|，即

Dp+1=? 1p 2p 3p … pp （p+1）p2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p ? pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p（p+1）p （p+2）p （p+3）p … （2p）p （2p+1）p? ?.? （0）

文[1]給出了Dp+1的計算公式，并給出了相應的推論.由于Dp+1的對稱循環性，肯定還有其他優越的性質，探討它和dij的代數余子式Aij之間的關系，為求p+1階矩陣A=（dij）的逆矩陣做準備和鋪墊工作是很有必要的.

一、兩個引理

我們工作的基礎是引理1和引理2.

引理1 ?對任意給定的正整數p和m=1，2，…，p+1均有∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！

引理2 ?對任意給定的正整數p和m=1，2，…，p+1均有∑ p-1 k=0 （-1）k（k+m）pCkP-1= 1 2 （-1）p-1（p-1+2m）p！

證明方法見文[2].

二、Dp+1的性質

我們把文[1]中的定理作為性質1.

性質1 ?設p是任意給定的正整數，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1，則p+1階行列式：

Dp+1=|dij|= （-1） p+1 2 （p！）p+1，p為奇數，（-1） p 2 （p！）p+1，p為偶數.

性質2 ?設Aij，i，j=1，2，…，p+1是dij的代數余子式，則

Am1+Am2+…+Amp+1=

（-1）mCm-1p（-1） p+1 2 （p！）p，p為奇數，（-1）m-1Cm-1p（-1） p 2 （p！）p，p為偶數，

m=1，2，…，p+1.

證明 ?當p為奇數時，在（0）式中，從第一行到第p+1行分別乘C0p，-C1p，…，（-1）m-1Cm-1p，Cp-1p，-Cpp后累加到第m行.再將累加結果除以（-1）m-1Cm-1p，由引理1知第m行的元素均為- p！ （-1）m-1Cm-1p .

提取公因子- p！ （-1）m-1Cm-1p ，利用性質1得

Am1+Am2+…+Amp+1= （-1）mCm-1pDp+1 p！ =

（-1）mCm-1p（-1） p+1 2 （p！）p.

當p為偶數時，證明方法完全類同.

由性質2，容易看出.

性質3 ?∑ p+1 m=1 ∑ p+1 k=1 Amk=0.

性質4 ?（p+1）Am1+（p+3）Am2+…+（3p-1）Amp+（3p+1）Amp+1= 2（-1）m-1Cm-1p-1（-1） p+1 2 （p！）p，p為奇數，2（-1）mCm-1p-1（-1） p 2 （p！）p，p為偶數， ?m=1，2，…，p.

證明 ?當p為奇數時，在（0）式中，從第一行到第p行分別乘C0p-1，-C1p-1，…，（-1）m-1Cm-1p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后累加到第m行，再將累加結果除以（-1）m-1Cm-1p-1，由引理2知，第m行的元素依次為? 1 2 （p+1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，? 1 2 （p+3）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，…，? 1 2 （3p-1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，? 1 2 （3p+1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 .

提取公因子? 1 2 p！ （-1）m-1Cm-1p-1 后，利用性質1得

（p+1）Am1+（p+3）Am2+…+（3p-1）Amp+（3p+ 1）Amp+1= 2（-1）m-1Cm-1p-1Dp+1 p！ =2（-1）m-1Cm-1p-1（-1） p+1 2 （p！）p.

當p為偶數時，證明方法完全類同.

性質5 ?（p+3）Am1+（p+5）Am2+…+（3p+1）Amp+（3p+3）Amp+1= 2（-1）m-2Cm-2p-1（-1） p+1 2 （p！）p，p為奇數，2（-1）m-1Cm-2p-1（-1） p 2 （p！）p，p為偶數， ?m=2，3，…，p+1.

證明 ?在（0）式中，當p為奇數時，從第二行到第p+1行分別乘C0p-1，-C1p-1，…，（-1）m-2Cm-2p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后累加到第m行，再將累加結果除以（-1）m-2Cm-2p-1，由引理2 知，第m行的元素依次為? 1 2 （p+3）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，? 1 2 （p+5）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，…，? 1 2 （3p+1）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，? 1 2 （3p+3）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 .

提取公因子? 1 2 p！ （-1）m-2Cm-2p-1 后，利用性質1得

（p+3）Am1+（p+5）Am2+…+（3p+1）Amp+（3p+ 3）Amp+1= 2（-1）m-2Cm-2p-1Dp+1 p！ =2（-1）m-2Cm-2p-1（-1） p+1 2 （p！）p.

當p為偶數時，證明方法完全類同.

由性質4和性質5容易看出.

性質6 ?∑ p m=1 ∑ p+1 k=1 （p+2k-1）Amk=0∑ p+1 m=2 ∑ p+2 k=2 （p+2k-1）Amk=0.

性質7 ?（1）（p+1）Ap+11+（p+3）Ap+12+…+（3p-1）Ap+1p+（3p+1）Ap+1p+1=0;

（2）（p+3）A11+（p+5）A12+…+（3p+1）A1p+（3p+3）A1p+1=0.

證明 ?（1）在（0）式中

1pAp+11+2pAp+12+3pAp+13+…+ppAp+1p+（p+1）pAp+1p+1=0，2pAp+11+3pAp+12+4pAp+13+…+（p+1）pAp+1p+（p+2）pAp+1p+1=0，? （p-1）pAp+11+ppAp+12+（p+1）pAp+13+…+（2p-2）pAp+1p+（2p-1）pAp+1p+1=0，ppAp+11+（p+1）pAp+12+（p+2）pAp+13+…+（2p-1）pAp+1p+（2p）pAp+1p+1=0.

當p為奇數時，在上列方程組中，從第一個方程到第p個方程依次乘C0p-1，-C1p-1，C2p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后將p個方程累加得

∑ p-1 k=0 （-1）k（k+1）pCkp-1 Ap+11+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 Ap+12+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1 Ap+13+…+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+p）pCkp-1 Ap+1p+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+p+1）pCkp-1 Ap+1p+1=0.

利用引理2得：

1 2 （p+1）p！Ap+11+ 1 2 （p+3）p！Ap+12+ 1 2 （p+5）p！Ap+13+…+ 1 2 （3p-1）p！Ap+1p+ 1 2 （3p+1）p！Ap+1p+1=0，

整理得：

（p+1）Ap+11+（p+3）Ap+12+（p+5）Ap+13+…+（3p-1）Ap+1p+（3p+1）Ap+1p+1=0.

當p為偶數時，證明方法完全類同.同理可以證明（2）.

性質8 ?設a是任意實數，則|dij+a|=|dij|=Dp+1即

|dij+a|=

1p+a 2p+a … pp+a （p+1）p+a2p+a 3p+a … （p+1）p+a （p+2）p+a ? pp+a （p+1）p+a … （2p-1）p+a （2p）p+a（p+1）p+a （p+2）p+a … （2p）p+a （2p+1）p+a?? =

1p 2p … pp （p+1）p2p 3p … （p+1）p （p+2）p ? pp （p+1）p … （2p-1）p （2p）p（p+1）p （p+2）p … （2p）p （2p+1）p

=|dij|=Dp+1.

證明 ?由行列式的基本性質得

|dij+a|=

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p （p+1）p+a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p+a ? pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p （2p）p+a（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p （2p+1）p+a? =

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p （p+1）p2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p ? pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p （2p）p（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p （2p+1）p? +

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p a ? pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p a（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p a??? =

Dp+1+D.

在D中，若p為奇數，從第一行到第p+1行分別乘C0p，-C1p，C2p，…，Cp-1p，-Cpp后累加到第p+1行，將累加結果乘-1，由引理1得

D=? 1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p a ? pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p a0 0 … 0 0? = 0.

當p為偶數時，同理可得D=0.

從而|dij+a|=|dij|=Dp+1證畢.

三、結 語

要想進一步研究和探討Dp+1的性質，還需要創造求和公式∑ p-2 k=0 （-1）kkpCkp-2，∑ p-3 k=0 （-1）kkpCkp-3及相應的∑ p-2 k=0 （-1）k（k+m）pCkp-2，∑ p-3 k=0 （-1）k（k+m）pCkp-3，m=1，2，…，p+1，以及解題技巧和方法，望有興趣的讀者研究.

【參考文獻】

[1]田心.一類對稱循環行列式的解法[J].數學學習與研究（教研版），2018（21）：16-17.

[2]田心.一組有趣的組合公式[J].中學數學，2018（6上）：93-94.